文档内容
2024-2025 学年高二数学上学期期中模拟卷（天津）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教A版2019选择性必修第一册第一章~第三章
5．难度系数：0.6。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符
合题目要求的．
1．空间四边形 中， ， ， ，点 在 上， ，点 为 的中点，
则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】如图，连结 ，因 ，点 为 的中点，则 ，
于是， .故选B.
学科网（北京）股份有限公司2．过点 且与直线 平行的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】与直线 平行的直线方程可设为 ，
因为点 在直线 上，
所以 ，
即过点 且与直线 平行的直线方程是 ，
故选A
3．抛物线 的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】抛物线 的标准形式为 ，则 ，解得 ，
即抛物线的准线为 ，故选 .
4．在平行六面体 中，其中 ，则
（ ）
A．12 B． C．6 D．
【答案】D
【解析】根据条件，以 ， ， 作为一组基底，
因为 ，
所以 ，
即 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ,
因为 ，
所以 ，
所以 .故选D.
5．已知圆 与圆 相交，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】圆 化为标准方程得 ，
则其圆心 ，半径 ，
圆 化为标准方程得 ，
则其圆心 ，半径 ，
因为两圆相交，所以 ，
即 ，解得 ，
所以 的取值范围为 .
故选A.
6．已知双曲线 的左，右焦点分别为 ， ，过 作一条渐近线的垂线，垂足为 ，
延长 与另一条渐近线交于点 ，若 为坐标原点 ，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】求点到直线的距离、求双曲线的离心率或离心率的取值范围
【分析】利用已知条件求出 点坐标，求出点 到渐近线 的距离 ，结合
可以得到点 到渐近线 的距离为 ，进而利用点到直线的距离公式求出 与
的关系，然后求解双曲线的离心率.
【解析】由题意知，双曲线 的两条渐近线方程分别为 ， ，
学科网（北京）股份有限公司过点 且与渐近线 垂直的直线方程为 ，
联立 ，可解得 ，
点 到渐近线 的距离 ，
因为 ，所以点 到渐近线 的距离为 ，
所以 ，即 ，所以 ，即双曲线的离心率为 .
故选D．
7．如图所示，ABCD—EFGH为边长等于1的正方体，若P点在正方体的内部且满足
，则P点到直线BC的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，以D为坐标原点， 所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
学科网（北京）股份有限公司则 ， ， ， ，
所以 ， ， ，
，
， ，
，
所以点P到 的距离 ．
故选B.
8．在平面直角坐标系xOy中，若圆 (r>0)上存在点P，且点P关于直线
的对称点Q在圆 上，则r的取值范围是（ ）
A．(2，+∞) B．[2，+∞) C．(2，8) D．[2，8]
【答案】D
【解析】 圆心坐标 ，
设 关于直线 的对称点为 ，
由 ，可得 ，
所以圆 关于直线 对称圆的方程为 ，
则条件等价为： 与 有交点即可，
两圆圆心为 ， ，半径分别为 ，3，
学科网（北京）股份有限公司则圆心距 ，
则有 ，
由 得 ，由 得 ，
综上： ，
所以r的取值范围是 ，
故选D.
9．已知双曲线 的右焦点到其一条渐近线的距离等于 ，抛物线 的焦点
与双曲线的右焦点重合，则抛物线上一动点M到直线 和 的距离之和的最小值
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】双曲线 的渐近线 ，右焦点 ，
依题意， ，解得 ，因此抛物线的焦点为 ，方程为 ，其准线为 ，
由 消去x并整理得： ， ，即直线 与抛物线 相离，
过点F作 于点P，交抛物线于点M，过M作 于点Q，交直线 于点N，
则有 ，
在抛物线 上任取点 ，过 作 于点 ，作 于点 ，交准线于点 ，连
，如图，
显然 ，当且仅当点 与点 重
学科网（北京）股份有限公司合时取等号，
所以抛物线上一动点M到直线 和 的距离之和的最小值为 .
故选D
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分．
10．直线 被圆 截得的弦长的最小值为__________．
【答案】
【解析】直线 恒过定点 ，
而圆 的圆心为 ，半径 为2，
可得 在圆 内，经过点 与线段 垂直的弦的长度最短，
此时弦长为 ．
故答案为： ．
11．如图，正四棱柱 中，设 ，点 在线段 上，且 ，则直线
与平面 所成角的正弦值是__________.
【答案】 /
【解析】以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，
则 ，
学科网（北京）股份有限公司设平面 的法向量为 ，
则 ，
令 ，则 ，故 ，
设直线 与平面 所成角大小为 ，
则 ，
故答案为：
12．已知直线 被圆 截得的弦长为 ，则 的值为__________.
【答案】1
【解析】依题意可得圆心 ，半径 ，
则圆心到直线的距离 ，
由勾股定理可知， ，代入化简可得 ，
且 ，解得 ．
故答案为： ．
13．在平面直角坐标系 中，动点 与两个定点 和 连线的斜率之积等于 ，记点 的轨
迹为曲线 ，直线 ： 与 交于 ， 两点，则 的方程为__________；若 则直
线 的斜率为__________．
【答案】
学科网（北京）股份有限公司【解析】令 ，由题意得： ，即得 ，
设直线 与曲线 的交点 ， ，联立曲线E与直线 的方程 ，整理得：
， ，
∴ ，而 ，代入整理：
，
即有 或 (舍去），故 .
故答案为： ；
14．如图，在平行六面体 中， ， ，点E
为线段 上靠近于点B的三等分点，设 ， ， ，则 __________（用含有 ，
， 的表达式表示）；若点G为棱 上的一个动点，则 的最小值为__________.
【答案】 /2.75
【解析】由题意得
；
设 ,则 ，
，
由题意可知 ，
故
学科网（北京）股份有限公司，
当 时， 取得最小值 ，
即则 的最小值为 ，
故答案为： ； .
15．若对圆 上任意一点 ， 的取值与 无关，则实数a
的取值范围是__________．
【答案】
【解析】设 ，
则 可以看作点 到直线 ，
与到直线 的距离之和的 倍．
因为 的取值与 无关，
所以上述距离之和与点 在圆上的位置无关．
如图，当直线m平移时，点P到直线m，l的距离之和均为m与l间的距离，
即此时圆在两直线之间．
当直线m与圆 相切时，
，化简得 ，
解得 或 （舍去）．
所以 ，即 ．故答案为：
三、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
学科网（北京）股份有限公司16．（14分）
已知 的三个顶点 ， ， .
(1)求边 所在直线的方程；
(2)求边 上的高所在直线的方程．
【解析】（1）直线 的斜率为 ，
直线 的方程为 ，
即 .（7分）
（2）由（1）知直线 的斜率为 ，
所以由垂直关系可得 边高线的斜率为 ，
因为 上的高过点 ，
所以 上的高线方程为 ,
化为一般式可得： .（14分）
17．（15分）
已知 ， .
(1)当 时，求实数 的值;
(2)当 时，求实数 的值.
【解析】（1）解：因为 ， ，
所以 。
∵ ， ，解得 ；（7分）
（2）因为 ，
所以 ，
所以 ，
解得 .（15分）
18．（15分）
已知双曲线过点 ，它的渐近线方程为 .
(1)求双曲线的标准方程；
学科网（北京）股份有限公司(2)设 和 是这双曲线的左、右焦点，点 在这双曲线上，且 ，求 的大小.
【解析】（1）解：根据题意，双曲线的渐近线方程为 ，
可设双曲线的方程为 ， ；
双曲线过点 ，将 的坐标代入可得 ，解得 ，
则所求的双曲线方程为 ；（7分）
（2）解：设 ， ，则 ，
又由双曲线的几何性质知 ，
即有 ，
又 ，
所以 是直角三角形，则 ．（15分）
19．（15分）
已知抛物线 ： 与离心率为 的椭圆 ： 的一个交点为 ，
点 到抛物线 的焦点的距离为2.
（Ⅰ）求 与 的方程；
（Ⅱ）设 为坐标原点，在第一象限内，椭圆 上是否存在点 ，使过 作 的垂线交抛物线 于
点 ，直线 交 轴于点 ，且 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】解：（Ⅰ）因为抛物线方程为 ，则准线方程为： ，点 到焦点的
距离等于到准线的距离，所以有 ，解得： ，抛物线方程为： .
则 或 ，且点 在椭圆上，有 ，又椭圆离心率为 ，即 ，即 ，
联立求解： ，所以椭圆方程为 .（6分）
（Ⅱ）由题意，直线 斜率存在且大于0，设直线 的方程为： ，因为 ，则
有直线 的方程为： ，
学科网（北京）股份有限公司由 得： ，即 ；
由 得： ，即 .（10分）
设直线 与 轴交于点 ，因为在第一象限内，满足 ，又 ，所
以有 ， ，所以 ，即 为线段 中点，所以 ，
即 ， 无解，所以不存在点 的坐标使得 .（15分）
20．（16分）
如图，四棱锥 中，侧棱 平面 ，点 是 的中点，底面 是直角梯形，
.
(1)求证： 平面 ；
(2)求异面直线 和 所成角的余弦值；
(3)点 在线段 上，平面 和平面 的夹角为 ，求 的值.
【解析】（1）证明： 平面 ，以 为原点，分别以 、 、 的方向为
轴， 轴， 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
，点 是 的中点，
, ，
则
平面 ， 平面 的一个法向量为 .
学科网（北京）股份有限公司，
平面 ， 平面 ；（5分）
（2）
设异面直线 和 所成的角为 ，
异面直线 和 所成角的余弦值为 .（10分）
（3） ，
设 ，则 ，
设平面 的法向量为 ，则有
不妨令 ，得 ， .
设平面 的法向量为 ，则有
不妨令 ，得 ，
，
平面 和平面 的夹角为 ，
，
，
，
. （16分）
学科网（北京）股份有限公司
