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石嘴山市第一中学 2025-2026 学年第一学期高三年级
月考 数学试题
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.
1. 已知集合 ， ，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 复数 ，则 的虚部为（ ）
A. 3 B. C. D.
3. 已知向量 ， ，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
4. 存在函数 满足：对任意 都有（ ）
A. B.
C D.
5. 已知函数 ，对任意的 、 ，且 时，满足
，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知 是奇函数，函数 是偶函数，当 时， ，则 （ ）
A －1 B. 0 C. 1 D. 2
7. 已知 为无穷数列，若 是递增数列， 是递减数列，则（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
第 1页/共 4页8. 已知数列 中， ，且 ，若存在正整数 ，使得 成立，则
实数 的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.
9. 已知 ，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知曲线 ，点 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A. 曲线 关于直线 对称
B. 曲线 上存在点 ，使得
C. 直线 与曲线 只有一个交点
D. 曲线 上第一象限内的点到直线 与 的距离之积为定值
11. 已知函数 ，则下列说法错误的是（ ）
A. 的最小正周期是
B. 的最大值是
C. 在 上是增函数
D. 直线 是 图象的一条对称轴
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 若一个等比数列的各项均为正数，且前 4 项的和等于 4，前 8 项的和等于 68，则这个数列的公比等于
_________.
13. 已知 为坐标原点， ， 为椭圆 的左、右焦点， ， 是椭圆上异
于顶点的一点，点 是以 为底的等腰三角形 的内切圆圆心，过 作 ，垂足为 ，
第 2页/共 4页，则椭圆的离心率为_____
14. 设函数 在 内有且只有两个极值点，且对任意实数 在
上存在零点，则 取值范围为_____.
四、解答题：本题共 77 分.
15. 为了研究学生的性别和是否喜欢跳绳之间的关联性， 随机调查了某中学的 100 名学生， 整理得到如
下列联表:
男学生 女学生 合计
喜欢跳绳 45 25 70
不喜欢跳绳 15 15 30
合计 60 40 100
（1）依据 的独立性检验，能否认为学生的性别和是否喜欢跳绳有关联？
（2）现按照性别比例，采用分层抽样的方法，从这 100 名学生中抽取 5 名，再从这 5 名学生中选出 2 名参
加运动会的跳绳项目，记这两名学生中男生的人数为随机变量 ，求 的分布列和数学期望.
附: ，其中
0.1 0.05 0.01
2 706 3.841 6.635
16. 在 中，角 的对边分别为 ．已知 ， ， ．
（1）求 A 的值；
（2）求 c 的值；
（3）求 的值．
第 3页/共 4页17. 已知数列 的前 n 项和 ．若 ，且数列 满足
．
（1）求证：数列 是等差数列；
（2）求证：数列 的前 n 项和 ；
（3）若 对一切 恒成立，求实数 的取值范围．
18. 已知函数 在 处取得极值 ．
（1）求 ；
（2）函数 图象与函数 图象关于点 对称，若存在 使 成立，
求实数 的取值范围；
（3）过点 作曲线 的一条割线 和一条切线 （T 为切点，与 P 不重合）， 均在曲
线 上，若 ，求 的值．
19. 已知函数 ，其中 为自然对数的底， .
（1）求证： ；
（2）是否存在实数 ，使得 恒成立？若存在，求 的取值集合，若不存在请说明理由.
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