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广西 2025 届高三下学期开学考
高三数学试卷
试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.已知命题 ，则 为（ ）
A. B.
C. D.
2.已知随机变量 ，且 ，则 （ ）
A. B. C. D.
3.已知向量 ，若 ，则 （ ）
A. B.5 C. D.
4.已知过原点的直线 的倾斜角为 ，若点 在直线 上，则 （ ）
A. B. C. D.
5.已知 ，则（ ）
A. B.
C. D.
学科网（北京）股份有限公司6.文娱晚会中，学生的节目有6个，已经排好出场顺序，现临时增加2个教师的节目，如果教师的节目既
不排在第一个，也不排在最后一个，并且6个学生的节目先后出场顺序不变，则晚会的出场顺序的种数为
（ ）
A.30 B.42 C.56 D.3960
7.已知双曲线 的一个焦点到一条渐近线的距离为 ，则 的离心率为（ ）
A. B. C.2 D.3
8.已知集合 ，现将 中的元素从小到大依次排列，则第
20个元素为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.在 中，内角 所对的边分别为 ，若 ， ，且
，则（ ）
A. 的外接圆直径为
B.
C. 的面积为3
D. 的周长为
10.已知函数 的图像向左平移 个单位长度后得到 的图象，则（ ）
A.
B. 是偶函数
C. 的图像关于点 对称
学科网（北京）股份有限公司D.当 时， 取得最小值
11.如图，在正三棱柱 中， 分别为 的中点， 为线段
上的动点， 四点均在球 的表面上，则（ ）
A.三棱锥 的体积为1
B.球 的表面积为
C. 的最小值为
D.球 的表面与侧面 的交线长为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.复数 的虚部为__________.
13.过抛物线 的焦点 的直线与 交于 两点，且点 在点 的上方，已知 ，若
点 在线段 的垂直平分线上，则直线 的斜率为__________.
14.已知函数 ，若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取
值范围是__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）据统计，某地一特色饭店2024年8月份共有1000个网上点餐订单，好评率为0.85.为了提高服
务质量，饭店进行了服务改进，已知服务改进后该饭店9月份共有1500个网上点餐订单，其中好评订单有
1400个.
（1）根据所给数据填写下列 列联表，并依据小概率值 的独立性检验，分析能否认为该饭
学科网（北京）股份有限公司店9月份订单的好评与服务改进有关；
好评订单个数 非好评订单个数 合计
服务改进前
服务改进后
合计 2500
（2）若从8月、9月这两个月网上点餐的订单中按照是否好评对总体进行分层，用分层随机抽样的方法抽
取10个订单分析顾客的意见，再从这10个订单中随机抽取4个订单进行电话访谈，求其中恰好有3个订
单为好评订单的概率.
附： .
0.01 0.005 0.001
6.635 7.879 10.828
16.（15分）如图，在直三棱柱 中， ，侧面 为正方形，
与 交于点 为 的中点.
（1）证明： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
17.（15分）已知函数 .
（1）求函数 的单调区间；
（2）证明：0为 的极小值点.
18.（17分）已知椭圆 的左、右顶点分别为 ，且上顶点 与 都在直线
学科网（北京）股份有限公司上.
（1）求 的方程；
（2）若点 为 上的一个动点，点 ，求 的最小值；
（3）若过点 的直线交 于 两点，点 是线段 上异于 的一点，且 ，
证明： .
19.（17分）若数列 是递减数列，且数列 也是递减数列，则称数列 是“暴跌数列”.
（1）判断数列 是否为“暴跌数列”，并说明理由；
（2）若数列 是“暴跌数列”，求 的取值范围；
（3）已知等差数列 是“暴跌数列”，且首项 ，公差 ，又数列
，记数列 的前 项和为 ，设 ，若存在不相
等的正整数 和 ，使得 ，求 所有可能的值.
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高三数学参考答案及评分细则
1.【答案】B
【解析】将“ ”改为“ ”，将“ ”改为“ ”，故 ：
.故选B.
2.【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，解得 .故选A.
3.【答案】A
【解析】依题意， ，故 ，因为
，故 .故选A.
4.【答案】D
【解析】由题意知， ，所以 .故选D.
学科网（北京）股份有限公司5.【答案】D
【解析】 ，所以 .故选D.
6.【答案】A
【解析】由题意可知，先排教师的节目全排列有 种排法，然后学生按照原有顺序进入余下的六个
空，只有一种，所以全部排法有30种.故选A.
7.【答案】B
【解析】设 的右焦点为 ，则 ，点 到渐近线 的距离为
，所以 的离心率 .故选B.
8.【答案】C
【解析】数列 中的项为： ，经检验，数列 中的
都是数列 中的项，观察归纳可得 ，所以 中元素从小到大依次排列的
第20个元素为 .故选C.
9.【答案】ABD（每选对1个得2分）
【解析】因为 ，由正弦定理可得外接圆直径 ，故A正确；由
易得 ，所以 等价于 ，由正弦定理得 ，故B正确；由余弦
定理可得 ，代入 ，解得 ，所以 的周长
学科网（北京）股份有限公司为 的面积为 ，故C错误，D正确.故选ABD.
10.【答案】BC（每选对1个得3分）
【解析】
故 .对于A， ，故A错误；对于B，
，而 ，故 为偶函数，故B正确；对于C，令
，则 ，故 的图象的对称中心为 ，当
时，对称中心为 ，故C正确；对于 ，当 时，
取得最大值，故D错误.故选BC.
11.【答案】BCD（每选对1个得2分）
【解析】如图，正三棱柱 中， 分别为 的中点，所以 平面
学科网（北京）股份有限公司平面
，又 ，所以
，故A错误；因为 与
均为以 为斜边的直角三角形，所以点 为 的中点，所以球 的表面积为
，故B正确；因为
，所以 ，所以
，所以 ，当且仅当 为线段 的中点时等号成立，故C正确；取
的中点 的中点 ，连接 ，则 平面 ，因为球 的
半径为 ，所以球 的表面与平面 相交所得截面圆的半径
，又 中， ，所以 ，
学科网（北京）股份有限公司所以球 的表面与侧面 的交线长为 ，故D正确.故选BCD.
12.【答案】
【解析】 ，其虚部为 .
13.【答案】
【解析】易得 ，由点 在线段 的垂直平分线上可得点 的横坐标为 ，代入 的方
程可得 ，所以 ，故直线 的斜率为 .
14.【答案】
【解析】函数 的定义域为 ，且 ，所以 为偶函
数，又当 时， ，所以 在 上单调递增，所以不等
式 对任意 恒成立，转化为 ，即 ，
所以 且
在 上恒成立，①若 在 上恒成立，则 ，解得
；②若 在 上恒成立，则 ，解得 ，综上所
学科网（北京）股份有限公司述，实数 的取值范围是 .
15.解：（1）8月份的订单中，好评订单有 个，
非好评订单有 个.
9月份的订单中，非好评订单有 个.
故补全的 列联表如下表所示：
好评订单个数 非好评订单个数 合计
服务改进前 850 150 1000
服务改进后 1400 100 1500
合计 2250 250 2500
零假设 ：该饭店9月份订单的好评与服务改进无关.
，
所以根据小概率值 的独立性检验，我们推断 不成立，即该饭店9月份订单的好评与服务改进
有关，该推断犯错误的概率不超过0.001.
（2）利用分层随机抽样的方法抽取10个订单，则好评订单应抽取 个，
非好评订单应抽取 个.
设“从这10个订单中随机抽取4个订单进行电话访谈，其中恰好有3个订单为好评订单”为事件 ，
则 .
16.（1）证明：因为 为直三棱柱，
所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以 ，
因为 ，且 平面 ，所以 平面 ，
学科网（北京）股份有限公司又因为 平面 ，所以 ，
因为侧面 为正方形，所以 ，
又 ，且 平面 ，
所以 平面 .
（2）解：依题意 两两垂直，以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴，建立
如图所示的空间直角坐标系，设 ，
则 ，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，则
令 ，则 ，平面 的一个法向量为 .
设直线 与平面 所成的角为 ，
所以 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
17.（1）解：易得 的定义域为 ，
学科网（北京）股份有限公司，
因为 ，故 ，令 ，可得 ，
故当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，
综上所述， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
（2）证明：由题意可知， 的定义域为 ，且 ，
设函数 ，则 ，
当 时， ，
可得 ，
故 在区间 上单调递增，又 ，
故当 时， ，即 ；当 时， ，即 ，
故 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
所以0是 的极小值点.
18.（1）解：在直线方程 中，令 ，得 ，
即 ，所以 ，
令 ，得 ，即 ，所以 .
学科网（北京）股份有限公司所以 的方程为 .
（2）解：设 ，则 ，
整理得 ，
因为 ，故 ，故 .
（3）证明：当直线 的斜率为0时，不妨记 ，
则 ，
则 .
当直线 的斜率不为0时，设 ，直线 的方程为 .
由 得 ，
则 ，所以 .
且 .
如图，因为 ，所以点 在线段 的垂直平分线 上，则 .
易知 .
设 ，则 ，
学科网（北京）股份有限公司则 .①
又点 在直线 上，所以 ，
则 ，
所以 ，则 .
整理，得 .②
由①②，得 .
所以 ，则 ，所以 .
综上 .
19.解：（1）因为 是递减数列，
是递增数列，
故 不是“暴跌数列”.
（2）因为 是“暴跌数列”，所以 和 均是递减数列，
故 ，且 ，
，即 对 恒成立，得 .
，
即 对 恒成立，当 时，数列 取最小值4，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，得 .
所以 ，即 的取值范围为 .
（3）因为 是递减数列，所以 ，
由 ，得 .
又 是递减数列，
所以 ，
故 恒成立，得 ，又 ，故 .
所以 ，
，
，
两式相减得
，
，
故 ，
因为当 时， 单调递减，
所以当 时， ，故 ，即 ，
学科网（北京）股份有限公司故 ，故若 ，则不存在 和 ，使得 .
从而 .
，由 ，得 ，得 ，满足 ；
，由 ，得 ，得 ，满足 ；
，由 ，得 ，得 ，不满足 ；
当 时， ，
故不存在大于4的正整数 ，使得 .
综上， 所有可能的值为3和4.
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