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2024~2025 学年度 2022 级高三下学期开学考试
数学答案
1．【答案】B【详解】由 可得， ，所以 ，所以所以 ，故
选:B.
2．【答案】B【详解】由复数的几何意义可知 ，则
．故选：B.
3．【答案】C【详解】如图，因为点 为边 的中点，点 在 上，且 ，
所以 ，又 ，
所以 ，故选：C．
4. 【答案】 A 【详解】当 时， ，满足值域为 ，成立： 当 时，应有
， 综上 ，则函数 值域为 的一个充分不必要条件是A选
项。
5.【答案】D【详解】若 ，则μ= ，故D选项错误.
6.【答案】C【详解】选题来自人教版高中数学教科书必修一第255页第17题。
解：由 得 （舍去），或 。
1。则
所以
，选C。
另解：对 两边平方得 ，解得 。结合题意
π 1
0≤α≤π得0≤2α≤2π，所以0≤2α≤π，所以0≤α≤ 。结合sinα−cosα= >0 得，sinα>cosα,所以
2 5
π π π
≤α≤ ，所以 ≤2α≤π。
4 2 2
。则
所以
，选C。
7. 【 答 案 】 D 【 详 解 】 由 ， ， 成 等 差 数 列 得 ： + =2 ， 即
|PF | |PF | |F F | |PF | |F F | |PF |
1 2 1 2 1 1 2 2
) ， 解 得 ， 所 以 。 由 得 ：
|PF |+2c=2(|PF |+2a |PF |=2c−4a |PF |=|PF |+2a=2c−2a PF ⊥PF
1 1 1 2 1 1 2
|PF | 2+|PF | 2=|F F | 2，即 (2c−4a) 2+(2c−2a) 2=(2c) 2 ，解得 c=a （舍去）或者 c=5a ，所以离心率
1 2 1 2
c
e= =5.选D.
a
8.【答案】A【详解】设等差数列 的公差为 ，由题意得 ，解得 ，则
，
则
，
则数列 的前 项和为：
2.故答案为： .
9.【答案】ABD【详解】对于A，由于 // ， 故 // ,所以直线 //平面
故A正确；对于B，如图，连接 ，因为 分别为棱 的中点，所以 ，
所以直线 与 所成的角即为直线 与 所成的角，又因为 是等边三角形，所以直线 与 所成
的角为 ，故直线 与 所成的角是 ，故B正确；对于C，因为 ，所以
与 不垂直，直线 与平面 不垂直，故 C 错误；对于 D,由于 平面 ， 平面
，故直线 与 是异面直线
10．【答案】BCD【详解】因为 ， ，所以 ，
所以 ，即 ，所以 是周期为6的周期函数，所以A不正确；
因为 ，所以 的图象关于直线 对称，所以C正确；
在 中，令 ，得 ，则 ，
因为 ，又 的图象关于直线 对称，所以 ，
所以 ，所以B正确；
由函数 的对称性和周期性可得 ，
因为 ，即 ，
所以 ，
则 ，
3结合函数 是以6为周期的周期函数，可得 ，所以D正确．故选：BCD.
11.【答案】AD【详解】
对于A，因为 ，所以点 到 中每条直线的距离 ，可判断
为圆 的全体切线组成的集合，所以存在圆心在 ， 半径大于1的圆与 中所有直
线相交, 故A正确；
对于B，因为 中的直线与以 为圆心，半径为1的圆相切，所以 中的直线所能围成的等边三角形面积不
全相等，反例如图， 与 均为等边三角形而面积不等，故B错误；
选项C，由圆的方程 得圆心为 ，半径 ，又因圆 ：
与圆 ： 有四条公切线，则 ，
即 ，解得 且 ，故C错误.
选项D，圆系的圆心坐标为 ，所以圆心在直线 上，且圆系的半径不变，
则圆系的公切线平行于圆心的轨迹，可设圆的切线方程为 ，即 ，圆心轨迹与切线之间的
距离为圆的半径 ，所以 ，即 ，所以直线方程为， ，其中 到直线
4的距离 ，由A选项结论，可判断直线 是直线系
中的一条直线，故D正确，故选：AD
π tanA+tanB 6
tanC=−tan(A+B)= = =1
12. 【答案】
4 tanAtanB−1 7−1
.
13. 【答案】 【详解】①当 且 时，
由 知，当 时 为一次函数，
②当 且 时，由 知，当 时， 为上凹函数；所以
14. 【答案】 ，0，2； /0.375
【详解】对数列 的前4项列举如下： ， ．
0 1 2 3
0 1 2 1
0 1 0 1
0 1 0
0 0 1
0 0
0
0
515.【详解】
（1）
..................................................................2分
（2）
当 为奇数，则 ；.........................................4分
当 为偶数，则 ..............................................6分
即 ..............................................6分
（可以统一化简，不化简也给满分）。
（3）发现 ..............................................8分
故 当 为偶数时， .................10分
同理
故 当 为奇数时 ................12分
所以 ............................................................................................13分
16.【详解】【详解】（1）
...............3分（每写一个给1分）
所以原式可化为 ...................................................4分
由正弦定理得： ........................................................................................5分
由余弦定理得： .............................................................6分
6..........................................................................................................7分
（2）设 中点为 则 且 三点共线，同理可得
点 为△ABC三条中线的交点，点 为△ABC 的重心，.....................................................8分（能说明结论就给1
分）
为 中点， ,.....................................................................................9分
,平方得： .........................10分
①............................................................................................................11分
又由余弦定理得： 即 ②................................12分
由①②得： ，............................................................................................................13分
.................................15分（面积公式1分，结果1分）
17.【详解】(1) ， 是 的中点，
---------------------------------------------------（1分）
∵ 平面 ，
,
---------------------------------------------------（2分）
---------------------------------------------------（3分）
---------------------------------------------------（4分）
7∴平面 平面 ---------------------------------------------------（5分）
（漏写一个判定条件反扣1分）
（2）（i）以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系
----------------------- （ 6
z
分）
--------------------------- （ 7
分）
设平面 的法向量为 y
x
解得
则
---------------------------------（9分）
---------------------------------（10分）
（ii）
-------------------------（11分）（设出两个向量的关系或设出点N的坐标就给分）
设平面 的法向量为
则 解得 -----------------------（13分）
-------------------------（14分）
化简得 ，解得 ， ------------------------（15分）
818、【解析】(1) 设 P(x ,y ) ,则 OP2=x2+ y2=b2+ ( 1−
b2
x2 ) ,...........1分
0 0 0 0 a2 0
因为 ,所以 ,...........2分
x2∈[0,a2] OP2∈[b2,a2]
0
则 b2=3,a2=4 ,...........3分
x2 y2
所以椭圆 E 的标准方程为 + =1 ...........4分
4 3
(2) 由 (1) 知 ,设 ,则点 的纵坐标为 ,点 的纵坐标
A(−2,0) l :y=k (x+2),l :y=k (x+2) S y = 2k T
1 1 2 2 S 1
为 y =2k ,...........5分
T 2
设点 是直线 上异于点 的任意一点,点 是点 关于直线 +2 的对称点.
C(x,y) l A C (x ,y ) C y=x
1 0 0 0
y+ y x+x
由 0= 0+2 得 y−x=x −y +4 ①
2 2 0 0
由 y−y 得 ②...........6分
0=−1 y+x= y +x
x−x 0 0
0
联立①②解得
{x= y
0
−2
............7分
y=x +2
0
代入直线 可得 ............8分
l :y=k (x+2) x +2=k y
1 1 0 1 0
又由点 在直线 上,有 ............9分
C (x ,y ) l :y=k (x+2) y =k (x +2)
0 0 0 2 2 0 2 0
所以有 ,...........10分
(x +2)y =k k y (x +2)
0 0 1 2 0 0
从而由 y ≠0,x ≠−2 可得 k k =1 ,...........11分
0 0 1 2
则 ............12分
|OS||OT|=4k k =4
1 2
(3) 设 ,设直线 ,由 { x=my+t ,
M(x ,y ),N(x ,y ) MN:x=my+t(m≠0,t≠−2)
1 1 2 2 3x2+4 y2=12
消 得 ,
y (3m2+4)y2+6mty+3t2−12=0
设 ,所以 ,
M(x ,y ),N(x ,y ) Δ=(6mt) 2−4(3m2+4)⋅(3t2−12)>0
1 1 2 2
6mt 3t2−12 ...........14分
y + y =− ,y y = ,
1 2 3m2+4 1 2 3m2+4
由(2)知 ,即 y y ,
k k =1 1 ⋅ 2 =1
1 2 x +2 x +2
1 2
即 (1−m2)y y =m(t+2)(y + y )+(t+2) 2 ,
1 2 1 2
9即 ,...........15分
(1−m2)(3t2−12)=m(t+2)(−6mt)+(t+2) 2(3m2+4)
化简得 t2+16t+28=0 ,解得 t=−14 (或 t=−2 舍去),...........16分
所以动直线 MN 恒过 x 轴上的定点 D(−14,0) ............17分
19.
【解析】（1）
，所以切线的斜率为 且
所以切线方程为y=x-1
（2）
对任意的正整数 n 恒成立等价于 ，即 ，由（1）知
，所以当 时， ， 在 上单调递增，当 时， ，
在 上单调递减，由于 n 为正整数，所以 ，又
，所以有 ，结合 的图像可知，整数a的值只能为3
，其中
（3）记这样的九位数为
种这样的九位数，
所以总共有
则
又因为 均为奇数，所以 为奇数
所以 只能取11，9，7，5，3，1，-1，-3，-5，-7.
若 =11，则只有313131313一种
故
若 =9，只需将上式中的 中的一个 3 换成 1，或者将
中的一个1换成3即可，故有 种
故
若 =7，只需将上式中的 中的两个 3 换成 1，或者将
10中的两个1换成3，或者将 中的一个3换成1，且将 中的一个1换成3即
可，故有 种
故
依次类推可得，
若 =5，
则
，
若 =3，
则
，
若 =1，
则
，
若 =-1，
则
，
若 =-3，
则
，
若 =-5，
则
，
若 =-7，
则
，
所以X的分布列为
11X 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10
P
12
