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2025年湖北省八市高三(3月)联考
数学参考答案与评分细则
一、单选题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D D B C C A A D
二、多选题
题号 9 10 11
答案 AD ABD BCD
三、填空题
2π 5 7
12.15 13. (1200) 14.(1) (2)
3 8 24
部分试题解析
7.对于残差图(1)对应的散点，随机误差满足E(e )=0的假设，但是方差σ2随着x的变化而
1 1
变化，不满足D(e )=σ2的假设；对图(2)对应的散点，均匀分布在水平带状区域内，随机误
1 1
差满足E(e )=0的假设，方差σ2不随x的变化而变化，满足D(e )=σ2的假设.故选A
2 2 2 2
8.当a<0时，x<0，f(a)=a2ea0时，x>0，f(x)≤g(x)即axex+ln ≤x2-x⇔axex+x+ln ≤x2
x x
a
⇔axex+x+ln +lnx2≤x2+lnx2⇔ex+ln(ax)+x+ln(ax)≤x2+lnx2
x
x
∵y=x+lnx为增函数，∴ex+ln(ax)≤x2，即axex≤x2⇔a≤
ex
x 1 1
由题意，只需a≤( ) = ，所以02)
2 n 1 24
5
事实上,可以证明：①∀n∈N*，P(A )= ；
n 8
7
②∀n>2，P(A A |A )= (n∈N*)；
2 n 1 24
7
③∀n>m≥2，PA A |A )= (m∈N*，n∈N*)．
m n 1 24
四、解答题。关注湖北升学通获取最新动态
15.解：(1)m⋅n=2(b+c)⇒ 3asinC+acosC=b+c
⇒ 3sinAsinC+sinAcosC=sinB+sinC
⇒ 3sinAsinC+sinAcosC=sinAcosC+cosAsinC+sinC
⇒ 3sinAsinC=sinC(cosA+1)
π
∵C∈(0,π),sinC≠0∴ 3sinA-cosA=1即2sinA-
6
=1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
π π 5π
又A∈(0,π),A- ∈- ,
6 6 6
π π π
，故A- = ，即A= ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分
6 6 3
(2)BM =2MC⇒AM -AB=2(AC-AM)
1 2
∴AM = AB+ AC
3 3
1 2 |AM|2= AB+ AC
3 3
2 = 1 AB2+ 4 AC2+ 4 AB⋅AC⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分
9 9 9
又AB=c=2 3，AC=b，AM=2即|AM|=2
1
∴4= 2 3
9
4 4 π
2+ b2+ b⋅2 3cos
9 9 3
∴b2+ 3b-6=0 ∴b= 3或b=-2 3(舍)
1 3 3
故S = bcsinA= ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分
ΔABC 2 2
1
16．解：(1)∵f(x)=lnx-mx2，∴f'(x)= -2mx
x
当m=0时，f(x)=lnx,显然x=0不是f(x)的切线，不合题意；
1 1
f(1)=- m , -m=- m , m2=1,
当m≠0时，由题意
1
⇒
1
⇒
2m2-m-1=0
,解得m=1.
f'(1)=- , 1-2m=-
m m
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分
·3·x-b x b
(2)证明：g(x)=lnx+1- =lnx- +1+
a a a
1 1 a-x
g'(x)= - = ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分
x a ax
因为a>0，所以g(x)在(0,a)上单调递增，在(a,+∞)上单调递减，
b
所以g(x) =g(a)=lna+ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分
max a
b
g(x)≤0，当且仅当g(x) ≤0，即lna+ ≤0⇒b≤-alna，
max a
所以ab≤-a2lna⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分
1
设h(x)=-x2lnx，x>0，则h'(x)=-2xlnx-x2⋅ =-x(2lnx+1)
x
-1 -1
h'(x)>0⇒0e 2，关注湖北升学通获取最新动态
∴h(x)在0,e
-1
2 上单调递增，在e
-1
2,+∞ 上单调递减，
∴h(x) =he
-1
2
max
1 1 1
= ，所以-a2lna≤ ,所以ab≤ .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯15分
2e 2e 2e
17.解：(1)连接A B交AB 于点F，则F为A B的中点，连接D F，
1 1 1 1
因为平面AB D ⎳平面BDC ，
1 1 1
平面AB D ∩平面BA C =D F，平面BDC ∩平面BA C =C B,，所以D F ⎳BC
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1
所以D 为A C 的中点，所以λ= ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分
1 1 1 2
因为平面AB D ⎳平面BDC ，
1 1 1
平面AB D ∩平面ACC A =AD ，平面BDC ∩平面.ACC A =C D，
1 1 1 1 1 1 1 1 1
所以AD ⎳DC ，又AD⎳D C ，所以四边形ADC D 为平行四边形，
1 1 1 1 1 1
1 1
所以AD=D C = AC，所以μ=
1 1 2 2
1
故λ=μ= ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分
2
(2)(i)∵A C⊥平面AB D ，B D ⊂平面AB D ，∴A C⊥B D
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
又AA ⊥平面A B C ，B D ⊂平面A B C ，∴AA ⊥B D
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
又AA ∩A C=A ，AA ⊂平面AC ，A C⊂平面ACC A ，
1 1 1 1 1 1 1 1
∴B D ⊥平面ACC A 关注湖北升学通获取最新动态
1 1 1 1
∵D,D 分别为AC,A C 的中点，所以DD ⎳BB ，DD =BB ,
1 1 1 1 1 1 1
所以四边形BB D D为平行四边形，∴B D ⎳BD，∴BD⊥平面ACC A
1 1 1 1 1 1
又AC⊂平面ACC A ，∴BD⊥AC⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分
1 1
(ii)因为A C⊥平面AB D ，AD ⊂平面AB D ，所以A C⊥AD ，所以ΔAA D ∾ΔCAA ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
·4·AA A D
∴ 1 = 1 1 ⇒AC= 2AA ，又AB= 2AA ，所以AC=AB
CA AA 1 1
1
由(i)BD⊥AC且D为AC中点，∴AB=BC，∴AB=BC=AC⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分
设AB=2a，则AA = 2a，关注湖北升学通获取最新动态
1
如图，以D为坐标原点，以DA为x轴，DB为y轴，DD 为z轴建立空间直角坐标系，
1
a 2 2a
则A (a,0, 2a),B(0, 3a,0),C(-a,0,0),E ,0,
1 3 3
,C (-a,0, 2a)，
1
a 2 2a
∴BE= ,- 3a,
3 3
,BC =(-a,- 3a, 2a),A C=(-2a,0,- 2a),⋯⋯⋯13分
1 1
设平面EBC 的法向量n=(x,y,z)，则
1
a 2 2a
n⋅BE=0 x- 3ay+ z=0
⇒ 3 3
n⋅BC =0 -ax- 3ay+ 2az=0
1
不妨令x= 2，可得z=4,y= 6，即n=( 2, 6,4)
又向量A C为平面BC D的法向量，且A C=(-2a,0,- 2a)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14分
1 1 1
|n⋅A C| 6 2a 2
设二面角E-BC -D的平面角为θ，则cosθ= 1 = =
1 |n |⋅|A C| 2+6+16⋅ 6a 2
1
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯15分
方法二：关注湖北升学通获取最新动态
连接C E并延长交A A于点H，则H为A A的中点，二面角E-BC -D即二面角
1 1 1 1
H-BC -D.
1
因为A C⊥平面AB D ，平面AB D ⎳平面BDC ，∴A C⊥平面BDC ，
1 1 1 1 1 1 1 1
因为HD∥A C，所以HD⊥平面BDC
1 1
设AB=2a，则AA = 2a，则
1
DC = a2+( 2a)2= 3a，DB= (2a)2-a2= 3a=DC
1 1
∴ΔDC B为等腰三角形，取C B的中点S，连接DS，
1 1
则DS⊥BC
1
连接HS，则∠DSH即为二面角H-BC -D的平面角.
1
1 6a
∵ΔBDC 为直角三角形，所以DS= C B= .
1 2 1 2
1 6a
又DH= A C= ，所以DH=DS
2 1 2
DH 2
所以tan∠DSH= =1，故cos∠DSH = ，
DS 2
2
即二面角E-BC -D的余弦值为 .
1 2
·5·(x-2)2+y2
18.解：(1)设M(x,y)，由题意： = 2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分
|x-1|
⇒(x-2)2+y2=2(x-1)2⇒x2-y2=2
所以曲线C的方程为：x2-y2=2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
(2)(i)由(1)知|PF|= (x -2)2+y2= 2(x -1)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分
2 1 1 1
因为曲线C为双曲线，且F，F 为焦点，点P在右支上，所以
1 2
|PF|-|PF|=2 2⇒|PF|=2 2+ 2(x -1)= 2(x +1)
1 2 1 1 1
|PF| x +1
∴ 1 = 1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分
|PF| x -1
2 1
(ii)设点Q(x ,y )，
2 2
∵PF =λFQ即(2-x ,-y )=λ(x -2,y )
2 2 1 1 2 2
2-x =λ(x -2) x +λx =2λ+2
∴ 1 2 即 1 2 ⋯⋯⋯⋯(1)
-y =λy y +λy =0
1 2 1 2
∵x2-y2=2,x2-y2=2，∴x2-y2-λ2(x2-y2)=2-2λ2
1 1 2 2 1 1 2 2
∴(x2-λ2x2)-(y2-λ2y2)=2-2λ2
1 2 1 2
∴(x -λx )(x +λx )-(y -λy )(y +λy )=2-2λ2
1 2 1 2 1 2 1 2
将(1)代入上式得x -λx =1-λ，又x +λx =2λ+2
1 2 1 2
λ+3
联立解得x = ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分
1 2
由(i)知 PF 1
PF 2
x +1 5+λ |PQ| 1+λ = 1 = ，又 =
x -1 1+λ |PF| λ 1 2
由题意 PN = PF 2
S |PQ|⋅|PF| |PQ|⋅|PF| 5+λ
，∴ 2 = 1 = 1 = ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯15分 S |PN|⋅|PF| |PF|⋅|PF| λ
1 2 2 2
S +λS S 5+λ 5
∴ 2 1 = 2 +λ= +λ= +λ+1≥2 5+1(等号成立仅当λ= 5)
S S λ λ
1 1
S +λS
所以 2 1 的最小值为2 5 +1. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯17分
S
1
方法二:
当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为：y=k(x-2)
联立
x2-y2=2
⇒(1-k2)x2+4k2x-4k2-2=0 关注湖北升学通获取最新动态
y=k(x-2)
4k2 4k2+2
∴x +x = ，x x = (k≠±1)
1 2 k2-1 1 2 k2-1
3 3x -4
∴- (x +x )+x x =-2⇒x = 1
2 1 2 1 2 2 2x -3
1
λ+3
又x +λx =2λ+2，联立解得x =
1 2 1 2
当直线PQ的斜率存在时，上式也成立.
以下同解法一.
4+36
19.解：(1)当a=2,b=6时，a =4,a =36,m=33,S = ×33=660
1 m m 2
A={4,9,16,25,36}∴T=4+9+16+25+36=90⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分
T 90 3
故 = = ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
S 660 22
m
a -a b2-a2
(2)因为公差d= m 1 =1，即 =1，∴m=b2-a2+1
m-1 m-1
·6·又A中元素的个数为b-a+1，
b-a+1 1
由题意 = ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分
b2-a2+1 100
整理得b2-a2+1=100(b-a)+100⇒b2-a2-100(b-a)=99
∴(b-a)(b+a-100)=99
因为a,b均为正整数，且b>a
b-a=1 b-a=3 b-a=9 b-a=11
所以 或 或 或
b+a-100=99 b+a-100=33 b+a-100=11 b+a-100=9
b-a=33 b-a=99
或
或
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分
b+a-100=3 b+a-100=1
a=99 a=65 a=51 a=49 a=35 a=1
解得 或 或 或 或 或
b=100 b=68 b=60 b=60 b=68 b=100
故满足条件的数对有(1,100)，(35,68)，(49,60)，(51,60)，(65,68)，(99,100)⋯⋯⋯10分
(3)由题意，“漂亮数”一定是完全平方数，又322=1024，992=9801，故此时数列{a }中的
n
数全部是四位数.关注湖北升学通获取最新动态
可设{a }中的“漂亮数”为p2=100x+y且p=x+y，
n
其中32≤p≤99,x为两位数，y为两位数或一位数.
∴(x+y)2=100x+y
∴(x+y)2-(x+y)=99x，即(x+y)(x+y-1)=99x
∴99整除(x+y)(x+y-1)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分
注意到99=1×99=3×33=9×11，又32≤x+y≤99
①若x+y=99，则x+y-1=x，此时x=98,y=1，∴9801是一个“漂亮数”.⋯⋯⋯14分
②若x+y<99，注意到(x+y)(x+y-1)为相邻整数，不可能同时为3的倍数，所以必有
9整除x+y，11整除x+y-1，或者11整除x+y，9整除x+y-1.
下面分两种情况进行讨论.
(i)x+y=9m，x+y-1=11n，4≤m≤10，m,n∈N*
9m-1
两式相减可得9m-11n=1，即n=
11
∵n∈N*，所以m只能取5，此时n=4，∴x+y=45，∴452=2025是一个“漂亮数”.
(ii)x+y=11m，x+y-1=9n，3≤m≤8，m,n∈N*
11m-1
两式相减可得11m-9n=1，即n=
9
∵n∈N*，所以m只能取5，此时n=6，∴x+y=55，∴552=3025是一个“漂亮数”.
综上所述，当a=32，b=99时，数列{a }中的“漂亮数”有2025，3025，9801，共3个，且都
n
属于集合A⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯16分
而集合A中元素的个数为68 关注湖北升学通获取最新动态
3
故从A中任取一个元素，且该元素为“漂亮数”的概率为 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯17分
68
(解答题若有其他解法，参照评分细则酌情给分)
·7·
