文档内容
巴蜀中学高 2025 届 4 月适应性月考（八）
数 学 试 题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．已知复数z满足z·(1+i)=i，则|z|=
1 ❑√2
A． B． C．1D．❑√2
2 2
2．对于正项等比数列{a }，“a ＞a ”是“数列{a }是单调递增数列”的()条件．
n 4 2 n
A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要
3．已知∣⃗a+⃗b∣=∣⃗a∣,∣⃗b∣=1,则向量a在b方向上的投影向量为
1 1
A．−2⃗bB．− ⃗bC． ⃗bD．2⃗b
2 2
4．空间中有三组平行平面，第一组有3个，第二组有2个，第三组有4个，不同两组的平面都相交且交线不都
平行，则这些平面可以构成平行六面体的个数为
A．12B．18C．24D．30
5．如图，正方形ABCD的边长为a，取ABCD的各边中点E，F，G，H作第二个正方形EFGH，然后再取
EFGH的各边中点，作第三个正方形，依此方法一直继续下去，那么所有的正方形的面积之和趋近于
A．a²B．2a²C．3a2D．4a²
1 1 a
6．已知2x=3y=5z(x,y,z≠0)，且 + = ，则a=
x y z
A．log₂3B．log₂5C．log₃5D．log₅6
1 1
7．已知cos(α−β)= ，且tanαtanβ= ，则cos(2α+2β)=
3 2
学科网（北京）股份有限公司79 80 79 80
A．− B．− C． D．−
81 81 81 81
x2 y2
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知双曲线 − =1(a>0，b>0)的左焦点为F，左、
a2 b2
右顶点分别为A₁、A₂，P点为双曲线左支上一点且满足PF⊥x轴，点M为线段PF上一点，直线MA₁交y轴于
点E，直线M A 交y轴于点G，若∣⃗OE∣=3∣⃗OG∣，则该双曲线的离心率为
2
A．❑√2B．❑√3C．2D．3
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．
全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．
( π) ( π)
9．已知函数f (x)=sin 2x+ ，g(x)=cos 2x− ，则下列说法正确的有
3 3
( π )
A． − ,0 是f(x)图象的一个对称中心
6
π
B．x= 是g(x)图象的一条对称轴
12
C．f(x)的周期也是g(x)的周期
π
D．g(x)图象可以由f(x)图象向右平移 个单位得到
6
( 2 )
10．已知二项式 x− 的展开式中只有第5项的二项式系数取得最大，则下列说法正确的是
❑√x
A．n=9B．展开式中无常数项
C．展开式中共有5个有理项D．展开式的所有项的系数和为1
11．将长为❑√3，宽为1的长方形ABCD沿着对角线AC旋转一周形成几何体M，记M的外轮廓所围几何体为
I，则下列说法正确的是
❑√3 3
A．I能容纳底面半径为 ，高为 的圆锥
2 2
B．能容纳工的最小球的半径为1
2π
C．若圆柱的轴为直线AC，则l能容纳的这类圆柱的最大体积为
3
学科网（北京）股份有限公司❑√3
D．I能容纳的最大球的半径大于
3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知等差数列{a }，Sₙ为其前n项和，若S =3，a 与a 的等差中项为4，则a = _____．
n 3 2 5 n
1
13．圆心在射线y= x(x≥0)上，与y轴相切，且被x轴所截得的弦长为2❑√3的圆的方程为_____．
2
14．已知关于x的方程eax+ea(2−x)=−x2+2x+b有解，则b-a+1的最小值为_____．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分13分)
已知 a，b，c 分别为锐角△ABC 三个内角 A，B，C 的对边，S 为三角形△ABC的面积，且满足
ccosA+❑√3csinA=b+a.
(1)求角C的大小；
(2)若S=4❑√3，求b的取值范围．
16．(本小题满分15分)
为了研究高三学生的性别与身高是否大于170cm的关联性，调查了某中学所有高三年级的学生，整理得到如下
列联表一；然后从该校所有高三学生中获取容量为100的样本，整理后得到如下的列联表二：
表一：
身高
性别 低 于 不低于 合计
170cm 170cm
女 360 90 450
男 100 450 550
合计 460 540 1000
表二：
身高
性别 低 于 不低于 合计
170cm 170cm
女 25 15 40
男 25 35 60
合计 50 50 100
X²独立性检验中的几个常用的小概率值和相应的临界值表：
α 0．1 0．05 0．01 0．005 0．001
x 2．706 3．841 6．635 7．879 10．828
α
(1)从表一中随机抽取一人，分别用A₁、A₂表示抽到男生、女生，用B表示抽到学生身高不低于170cm，计算
P(B∣A )，P(B∣A )，并判断该中学高三年级学生的性别和身高是否有关联？
1 2
学科网（北京）股份有限公司(2)请根据表二、依据α=0．01的独立性检验、能否认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联？对比第一问
的结论，请分析两种判断方式的可靠性．为了得到准确的结论，请提出可行性建议：
(3)现在从表二中，抽取样本容量为10的样本，其中女生样本数据为：156、157、165、172(单位:cm)，男生样
本数据为：163、166、168、171、174、176(单位:cm)；求出这个样本的第70百分位数，并从低于第70百分位
数的样本数据中抽取3人，记X为抽到的男生人数，求X的分布列及数学期望．
17．(本小题满分15分)
如图，在三棱锥P-ABC中，平面APB⊥平面PBC，平面APC⊥平面PBC．
(1)求证：AP⊥平面PBC；
(2)若 PB=PC，二面角 A-BC-P 的大小为60∘，PA=3❑√3，BC=6，若 Q 为平面 PBC 内一动点，满足
QB+QC=2❑√11，求AQ与平面PBC所成角的正弦值的最小值．
18．(本小题满分17分)
x2 y2
如图，A₁，A₂分别为双曲线 − =1(a＞0，b>0)的左、右顶点，A A =2，双曲线的两条渐近线方程
a2 b2 1 2
为y=±❑√3x.
(1)求双曲线的标准方程；
1
(2)点P在直线x= 上运动，直线PA₁交双曲线左支于点M，直线PA 交双曲线右支于点N(M，N与A₁，A₂不
2 2
重合)．
①求直线A₁M与A₂M的斜率之积；
②问直线MN是否过定点？如果过定点，请求出定点坐标；如果不过定点，请说明理由．
学科网（北京）股份有限公司19．(本小题满分17分)
ex−e−x
已知函数f (x)= +msinx(m∈R)，其中e=2．71828…．
2
1
(1)当m=− 时，求曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
2
(2)若对于∀x∈R，f’(x)≥m+1恒成立，求m的取值范围；
2∣x∣
(3)对于定义域为D的函数d(x)，规定F (x)= (x∈D,−x∈D,d(x)≠d(−x)).当m=-1时，令
d d(x)−d(−x)
g(x)=e1−∣x∣ ⋅F (x).求关于x的不等式g(x2+x−6)≥g(−2x2+4x+6)的解集．
f
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