文档内容
高三数学考试参考答案
题序 ! # $ % & ’ ( ) " !* !! !# !$ !%
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答案 + , , - + - . - .- .+, ., #% $
#(
评分细则!
!!"第!!)题"凡与答案不符的均不给分!
!#"第"!!!题"全部选对的得’分"有选错的不得分"部分选对的得部分分#第"题和第!!题
每选对一个得$分"第!*题每选对一个得#分$!
!$"第!#!!%题"凡与答案不符的均不给分!
!!+!!解析"本题考查集合#考查数学运算的核心素养!
"/%0!"*"!"#"$&"#"$/%*"!"#&"###"$$/%0!"$&!
"
#!,!!解析"本题考查复数#考查数学运算的核心素养!
% 0!21
因为 /!01"所以%/ /!21!
%0! 1
$!,!!解析"本题考查三角恒等变换#考查数学运算的核心素养!
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因为345#!2" $/345!345"0516!516"/ "345#!0" $/345!345"2516!516"/0 "所
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以516!516"/0 !
"
%!-!!解析"本题考查平面向量#考查数学运算的核心素养!
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因为#&/ ##’0#$$"所以$&/$#2#&/$#2 ##’0#$$/ ##’0$#$$"
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&#’&$/#&’$&/ ##’0#$$’ ##’0$#$$/ ##’#2$#$#0%#$’#’$/#!
# # %
&!+!!解析"本题考查统计#考查数学运算的核心素养!
这组数据的平均数(/#7*!$2%7*!%2’7*!$/%!
方差)#/*!$7##0%$#2*!%7#%0%$#2*!$7#’0%$#/#!%!
’!-!!解析"本题考查三角函数#考查逻辑推理的核心素养!
! #! $
令函数*/(2 "当(& "!* 时"*&(#"!*!!$"$"’!*!!’%""函数+/516*在(#"!*!!$
( !*
! #! $
上有$个零点"分别为""#""$"!又因为(2 /""#""$"在 "!* 上各有#个解"所以
( !*
#! $
,#($在 "!* 上有’个零点!
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(!.!!解析"本题考查抽象函数#考查逻辑推理的核心素养!
!高三数学"参考答案!第!!!!!页#共"页$% !!"()"
!"#$%%&’
书书书结合函数的图象可得".选项符合题意!
)!-!!解析"本题考查立体几何#考查直观想象$数学运算的核心素养!
记该象牙镂雕套球的球心为-"圆- 与圆- 所在平面的夹角即为(--- #或其补角$"
! # ! #
--#2--#0--# (
-- /-- /槡’#0## /%槡#"345(--- / ! # ! # / "516(--- /
! # ! # #-- ’-- !’ ! #
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$槡#$
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"!.-!!解析"本题考查函数#考查逻辑推理$数学运算的核心素养!
!
当()*时"0(’*",#0($/ 2#!若,#($是奇函数"则,#($/0,#0($/
0(0!
! ! !
0 0#/ 2."解得./0#".正确!若,#($是减函数"则 2.**"解得.*
0(0! (2! *2!
0!"-正确!
!*!.+,!!解析"本题考查抛物线#考查数学运算的核心素养!
因为线段/0的垂直平分线上的点到点/"0的距离相等"且
点1在抛物线’上"根据定义可知"+10+/+1/+"所以线段
/0的垂直平分线经过点1".正确!
# 2
不妨设点1 在第一象限"设1#("槡#2( $"0 0 "
* * #
槡#2(
$
"/
#2
"*
$
"线段/0的中点坐标为
#
*"
槡#2( *$
!结
* # #
合.选项的结论可得"线段/0的垂直平分线的斜率为
槡#2(
*
槡#2( 0
* # 槡#2(
/ * !由+#/#2("可得+/槡#2("+3
(0* #(
* *
/
槡#2(
"所以过点1的切线的斜率为
槡#2(
*"所以过点1的切线与线段/0的垂直平分
#( #(
*
线重合"即过点1且与抛物线’相切的直线垂直平分线段/0"+正确!
%%$ # 2 $%%$ %%$ %%$
/1/ (0 "槡#2( "/0/#02"槡#2( $"若直线0/与直线1/垂直"则/1’/0/
* # * *
# 2$ 2
02’ (0 2#2(/*"解得2/*或(/0 "都不符合题意"所以直线0/与直线
* # * * #
1/不可能垂直"-错误!
#2 $
若,10/是直角三角形"结合-选项的结论"只能是(01//"*8"所以1 "92 "直线
#
-1的斜率为9#",正确!
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!"#$%%&’!!!.,!!解析"本题考查概率#考查逻辑推理的核心素养!
记甲的投中次数为4"则4!$#5"*!"$!
对于.选项"当5/$时"甲通过考核最少要投中#次"1 /-#*!"#7#!0*!"$2*!"$/
! $
*!"(#".正确!
对于+选项"当5/#*时"将甲的投中次数分为以下$种情况"分别为4-!!"4/!*"4*"!
1 /1#4-!!$21#4/!*$!
#
当5/#!时"甲通过考核最少要投中!!次!若前#*次里投中次数不少于!!"则第#!次不
管投中与否都通过考核)若前#*次投中!*次"则第#!次投中才能通过考核)若前#*次里
投中次数不超过""则第#!次不管投中与否都不能通过考核!
1 /1#4-!!$2*!"1#4/!*$"显然1 )1 "+错误!
$ # $
对于-选项"当5/!"时"将甲的投中次数分为以下$种情况"分别为4-!*"4/""4*)!
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当5/#*时"若前!"次里投中次数不少于!*"则第#*次不管投中与否都通过考核)若前
!"次投中"次"则第#*次投中才能通过考核)若前!"次里投中次数不超过)"则第#*次不
管投中与否都不能通过考核!
1 /1#4-!*$2*!"1#4/"$"显然1 )1 "-错误!
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对于,选项"当5/#*时"将甲的投中次数分为以下%种情况"分别为4-!!"4/!*"4/
""4*)!
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当5/##时"甲通过考核最少要投中!!次!若前#*次里投中次数不少于!!"则第#!"##次
不管投中与否都通过考核)若前#*次投中!*次"则第#!"##次至少要投中!次才能通过考
核)若前#*次投中"次"则第#!"##次都投中才能通过考核)若前#*次里投中次数不超过
)"则第#!"##次不管投中与否都不能通过考核!
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!#!#%!!解析"本题考查等差数列#考查数学运算的核心素养!
.2.2.2,2./%#.2.$/#%!
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!$! !!解析"本题考查一元函数的导数及其应用#考查数学运算的核心素养!
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因为原不等式的解集是%(+().且(..2!&"所以,#($/#(0.$((0#.2!$*#!,3#($
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!"#$%%&’/((0#.2!$*#2##(0.$((0#.2!$*/((0#.2!$*#$(0$.0!$!令,3#($/*"解得
! # !$ # ! $
(/.2!"(/.2 !,#($在 0:".2 和#.2!"2:$上单调递增"在.2 ".2!
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# !$ ! # #$# %
上单调递减",#($ /,.2 / 7 0 / !
极大值 $ $ $ #(
!%!$!!解析"本题考查直线和圆的方程#考查直观想象$数学建模的核
心素养!
可构建如图所示的平面图形"
6
设球的半径为6"则&’/ /槡$6"
;<6$*8
$%!#
所以#’/)62#槡$6/$%!#"解得6/ /$!
)2#槡$
!&!!解析"本题考查解三角形#考查数学运算的核心素养!
解!#!$过点$作$//’7"垂足为/!
%槡$ #槡$
易得$//#7/#"所以$’/ "$&/ !,,,,,,,,#分
$ $
! ! #槡$ 槡$
,#$&的面积为 #$’$&’516(#$’/ 7#7 7 /!!,
# # $ #
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,&分
$7 ’7 槡$
##$连接$7!在,$’7中"由正弦定理得 / "解得516(’$7/ !,,
516(’ 516(’$7 #
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,)分
" # #"$ "
因为(’/ "所以(’$7& *" "所以(’$7/ " ,,,,,,,,,,,,"分
$ $ $
("
所以,$’7为等边三角形"$’/’7/#槡#"$&/槡#"(#$&/ !,,,,,,,!*分
!#
在,#$&中"由余弦定理知#&/槡#$#2$�##$’$&345(#$&/槡$2!!,!$分
评分细则!
-!.若最终结果正确"前边有关键步骤即给满分!
-#.若最终结果错误"则按得分点给分!
!’!!解析"本题考查双曲线#考查数学运算的核心素养!
1./!"
8
#!$解!由题意可得0 /#" 解得8/#"9#/$"
.
28#/.#29#"
+#
所以双曲线#的方程为(#0 /!!,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,%分
$
# 槡$$
##$证明!设直线:!(/;+0#;) "点1#("+$"0#("+$"则<#0("0+$!,
$ ! ! # # # #
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,’分
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联立0 +# 得#$;#0!$+#0!#;+2"/*"
(#0 /!"
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+2+/ "++/ ! ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,)分
! # $;#0! ! # $;#0!
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#! ># >$
从%.&中随机选取$项"这$项可以构成%.&的等比子列的情况如下!!"#"%)!"$"")!"%"
5 5
!’)!"&"#&)#"%"))#"’"!))$"’"!#)%"’"")%")"!’)%"!*"#&)&"!*"#*)’"!#"#%))"!#"!))""
!#"!’)""!&"#&)!’"#*"#&!共!’种情况",,,,,,,,,,,,,,,,,,,)分
!’ %
故这$项可以构成%.&的等比子列的概率为 / !,,,,,,,,,,,,,"分
5 -$ &(&
#&
#$$只考虑%.&的等比子列的公比情况"则从%.&中选取$项研究即可!
5 5
假设. ". ". 是等比数列"其公比为?!
>! ># >$
因为%.&共有!**项"所以!*. ’. ’. *!**!
5 >! ># >$
当?为整数时"?的最小值为#!,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,!*分
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!"#$%%&’5#.
当?为分数时"设?/
5
#
5
为最简分数"且
5
)!$"则. /
>!!
; ; ; >$ ;#
5#.
因为%.&的各项都是整数"所以
>!为整数"所以;#是.
的约数!
5 ;# >!
设. /*;##*为整数$"则. /*;5". /*5#!,,,,,,,,,,,,,,,,!#分
>! ># >$
5 5 5 ;2!
因为 为最简分数"且 )!"所以?/ - !,,,,,,,,,,,,,,,!$分
; ; ; ;
当?取最小值时"5/;2!". ". ". 即*;#"*;#;2!$"*#;2!$#!,,,,,,!%分
>! ># >$
;2!
要使得 取最小值"则;取最大值!,,,,,,,,,,,,,,,,,,,!&分
;
*#;2!$#*!**"当*/!时"#;2!$#取最大值"最大值为!**"即;的最大值为""
;2! !*
所以 的最小值为 !
; "
!*
故%.&的等比子列的公比的最小值为 !,,,,,,,,,,,,,,,,,,!(分
5 "
评分细则!
-!.对于第#!$问"若答案正确"无解题过程"或解题过程含糊不清"得#分!
-#.对于第##$问"按步骤给分!
-$.对于第#$$问"若答案正确"无解题过程"或解题过程含糊不清"得%分!
!"!!解析"本题考查一元函数的导数及其应用#考查逻辑推理$数学运算的核心素养!
%
解!#!$当./#时",#($/槡(#2)0((2 ",#!$/*!
(
( % $#
,3#($/ 0(0 ",3#!$/0 !,,,,,,,,,,,,,,,,,,,#分
槡(#2) (# $
$#
故曲线+/,#($在点#!",#!$$处的切线方程为+/0 #(0!$"
$
即$#(2$+0$#/*!,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,%分
#.
##$,#($)*"即槡(#2%.)##.#0!$(0 !
(
槡# #.
#当*’.* 时"##.#0!$(0 ’*"原不等式恒成立!,,,,,,,,,,,,&分
# (
槡# #. ##.#0!$(#2#.
$当.) 时"令函数@#($/##.#0!$(0 "@3#($/ )*"
# ( (#
所以@#($在#*"2:$上单调递增!
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令@#($/*"解得(/槡 !,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,’分
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当(*槡 时"@#($**"原不等式恒成立!
#.#0!
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!"#$%%&’#. ( #.*#
当()槡 时"@#($)*"原不等式等价于#槡(#2%.$#) ##.#0!$(0 "
#.#0! (
化简得#.#0!$(%0#.(#2!’*!,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(分
令函数A#($/#.#0!$(%0#.(#2!"A3#($/%#.#0!$($0%.(/%((#.#0!$(#0.*!
若./!"则当()槡#时"0#(#2!’*恒成立"即原不等式恒成立!,,,,,,,,)分
#. #. # #. $
若.)!"则存在(/槡 )槡 "A槡 /!)*"所以#.#0!$(%0#.(#2!’
.#0! #.#0! .#0!
*不恒成立"即原不等式不恒成立!,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,"分
槡# # #. $
若 ’.’!"则A3#($’*"A#($在 槡 "2: 上单调递减!
# #.#0!
# #. $ !0%.# #.
因为A槡 / ’*"所以当()槡 时"A#($’*"即原不等式恒成立!
#.#0! #.#0! #.#0!
综上".的取值范围为#*"!*! ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,!*分
#$$当.)!时"由##$可得5(&#*"2:$",#($’*"不符合题意!,,,,,,,,!!分
# .$ .# # .$ #. .# .
当*’.*!时", 0 /槡2%.2#!0#.#$0 2 /槡2%.0 2.$0%*
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! . 槡!( . 槡!(
槡2%0 2!0%/ 0 0$’ 0$’*"不符合题意!,,,,,,,,,!#分
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当./*时",#($/槡(#2(/ 满足,#($-*"符合题意!,,,,,,,!$分
*"(’*"
当.’*时"(#2%.-*"解得(*0#槡0.或(-#槡0."所以,#($的定义域为#0:"
0#槡0.*6(#槡0."2:$!
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,#0#槡0.$/#!0#.#$#0#槡0.$2 ",##槡0.$/#!0#.#$##槡0.$2
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要使得7(&7",#($-*"则必须满足,##槡0.$/,#0#槡0.$/*"
#. ! !
即#!0#.#$#0#槡0.$2 /*"解得./0 #./*"./ 舍去$!,,,,!&分
0#槡0. # #
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当./0 时",#($/槡(#0#2 (0 ",#($的定义域为#0:"0槡#*6(槡#"2:$"
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当()槡#时",3#($)*!
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当(’0槡#时" ’ " /0槡!2 ’0!",3#($/ 2 2 /
(# # 槡(#0# (#0# 槡(#0# (# #
!高三数学"参考答案!第!!!!)页#共"页$% !!"()"
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0槡!2 2 2 ’0!2 2 /*!
(#0# (# # # #
,#($在#0:"0槡#$上单调递减"在#槡#"2:$上单调递增!
因为,#0槡#$/,#槡#$/*"所以7(�:"0槡#*6(槡#"2:$",#($-*"满足题意!
% !&
综上".的取值集合为 *"0 !,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,!(分
#
评分细则!
-!.第#!$问求导正确给#分!
-#.其他按步骤给分!
-$.其他解法酌情给分!
!高三数学"参考答案!第!!!!"页#共"页$% !!"()"
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