数学参考答案_2025年9月_250912湖北省武汉市部分学校2026届高三上学期九月调研考试（全科）_数学

武汉市 2026 届高三年级九月调研考试 数学试卷参考答案及评分标准 选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C A D D B B B D ACD BD BCD 填空题： 9 2 15 12. 7 13. 14. 8 5 解答题： 15.（13分）解： （1）零假设为H :这次考核结果与经验丰富与否无关，根据列联表中的数据， 0 n(ad bc)2 500(20050100150)2 250 可得2     3.968 6.635，  ab  cd  ac  bd  300200350150 63 根据小概率值0.01的独立性检验，没有充分证据推断H 不成立，因此可以认为H 成立，即认 0 0 为这次考核结果与经验是否丰富与否无关. …………5分 （2）采用分层抽样的方法抽取10名教师， 200 300 其中经验不丰富教师人数为 10 4，经验丰富教师人数为 106． 500 500 随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3,4. P  X 0  C0 4 C 6 4  1 ，P  X 1  C1 4 C3 6  8 ， C4 14 C4 21 10 10 P  X 2  C2 4 C 6 2  3 ，P  X 3  C3 4 C1 6  4 ，P  X 4  C4 4 C0 6  1 . C4 7 C4 35 C4 210 10 10 10 故随机变量X 的分布列如下： X 0 1 2 3 4 1 8 3 4 1 P 14 21 7 35 210 则E  X 0 1 1 8 2 3 3 4 4 1  8 . …………13分 14 21 7 35 210 5 16.（15分）解： （1）取BC中点Q，连接PQ，FQ.由题意，EF  // 1 BB ，PQ  // 1 BB ，得EF  // PQ. 1 2 1 2 1 所以四边形EFQP是平行四边形，有PE∥QF . 又QF 平面BCF ，PE 平面BCF ，所以PE∥平面BCF . …………6分 1 1 1 2 （2）建立如图所示的空间直角坐标系.B(1,0,0)，C(0,1,0)，B (1,0,1)，F(0,0, ). 1 3    2 CB (1,1,1)，CF (0,1, )，BC (1,1,0). 1 3  设平面BCF 的法向量n(x,y,z)， 1    nCB 0   x yz 0 由  1 ，即 2 ， nCF 0   y 3 z  0  取z 3，得到平面BCF 的一个法向量n(1,2,3). 1 设直线BC与平面BCF 所成角的大小为， 1     |nBC| 3 3 7 所以直线BC与平面BCF 所成角的正弦值sin|cos n,BC |     . 1 |n||BC| 14 2 14 …………15分17.（15分）解： sin A sinB sin AcosB cosAsinB sin(AB) （1）tan AtanB     . cosA cosB cosAcosB cosAcosB sinC 2sinC 又sin(AB)sinC ，所以  . cosAcosB cosB 1 由sinC 0，整理得：cosA . 2  又0 A，所以A . …………5分 3 （2）由余弦定理：BC2  AB2 AC2 2ABACcosA 49，故BC 7. AB2 BC2 AC2 1 cosB   . …………10分 2ABBC 7 4 3 （3）sinB  1cos2B  . 7  3 1 13 sinADC sin(B ) sinB cosB . 6 2 2 14 CD AC 56 3 由正弦定理：  ，代入解得：CD  . …………15分 sin A sinADC 13 18.（17分）解： p （1）由题意，当点A横坐标为2时，点A到准线x 的距离为3， 2 p 即2 3，解得 p 2，所以抛物线E的标准方程为： y2 4x. …………3分 2 （2）点F(1,0)，设A(x ,y ),B(x ,y ). 1 1 2 2 1 此时直线l的斜率为2，l的方程可写为x y3. 2 与抛物线方程联立得： y2 2y120. 由韦达定理， y  y 2， y y 12. 1 2 1 2 1 此时FAB面积为 |FP|| y y | (y  y )24y y 2 13 . …………8分 2 1 2 1 2 1 2 （3）设直线l的斜率为k，显然k 0. 1 4 将直线l方程x y3与抛物线方程联立得： y2  y120. k k 4 由韦达定理， y  y  ， y y 12. 1 2 k 1 2    FA FB 由题意：FT ∥(    ). |FA| |FB|   FA FB x 1 y x 1 y 2(x x 1) x y x y  y  y    ( 1 , 1 )( 2 , 2 )( 1 2 , 1 2 2 1 1 2) . |FA| |FB| x 1 x 1 x 1 x 1 x x x x 1 x x x x 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2  又FT (1,2)，所以x y x y  y  y  4(x x 1). 1 2 2 1 1 2 1 2 代入抛物线方程化简得： y2y  y y2 4(y  y ) y2y2 16. 1 2 1 2 1 2 1 2 即(y y 4)(y  y )(y y 4)(y y 4) . 1 2 1 2 1 2 1 2 又 y y 480，故 y  y  y y 4. 1 2 1 2 1 2 4 1 即 124，解得：k  . …………17分 k 419.（17分）解： （1）由题意，函数(x) x2 kx1在区间(0,1)和(1,)上各有一个零点. (0)0 所以 ，解得：k 2. …………3分 (1)0 x2 kx1 （2） f '(x)(2xk)lnx . x x ,x 是方程x2 kx10的两根，所以x x k ，x x 1. 1 2 1 2 1 2 f '(x )(2x k)lnx ，将k  x x 代入，得 f '(x )(x x )lnx . 1 1 1 1 2 1 1 2 1 切线方程为 y  f '(x )(xx )，在 y轴上得截距为x f '(x ). 1 1 1 1 1 1 有S  x |x f '(x )| x2(x x )lnx . 2 1 1 1 2 1 1 2 1 S 1  x2lnx ，其中0 x 1. x x 2 1 1 1 2 1 1 1 设F(x) x2lnx(0 x1) ，F'(x)x(lnx ) . 2 2 1 令F'(x)0，得x . e 1 1 当0 x 时，F'(x)0，F(x)单调递增；当  x1时，F'(x)0，F(x)单调递减. e e S 1 1 故 的最大值为F( ) . …………9分 x x e 4e 2 1 k 1 （3）记 f '(x)的导函数为 f ''(x)，有 f ''(x)2lnx  3，显然 f ''(x)是增函数. x x2 又 f ''(1)2k 0，x时， f ''(x)，故存在x (1,)，使得 f ''(x )0. 0 0 当0 x x 时， f ''(x)0， f '(x)单调递减；当x x 时， f ''(x)0， f '(x)单调递增. 0 0 又 f '(x ) f '(1)2k 0，x0时， f '(x)；x时， f '(x). 0 所以存在m(0,x )，n(x ,)使得 f '(m) f '(n)0. 0 0 此时 f(x)在(0,m)和(n,)单调递增，在(m,n)单调递减. 所以t (0,m)，t (n,). 1 2 设曲线 y  f (x)在点(x ,0)处的切线l 的方程为 y l (x)，则l (x) f '(x )(xx ). 1 1 1 1 1 1 设函数g (x) f(x)l (x)(0 xm). 1 1 g '(x) f '(x) f '(x )，g ''(x) f ''(x)0，所以g '(x)单调递减，又g '(x )0. 1 1 1 1 1 1 所以0 x x 时，g '(x)0，g (x)单调递增；所以x  xm时，g '(x)0，g (x)单调递减； 1 1 1 1 1 1 故g (x) g (x )0，有g (t ) f(t )l (t )0. 1 1 1 1 1 1 1 1 设直线 y a与直线l 交点的横坐标为x'，l (t ) f(t )l (x')a. 1 1 1 1 1 1 1 根据l 斜率 f '(x )(x x )lnx 0，有t  x'. 1 1 1 2 1 1 1 相同地，设曲线 y  f (x)在点(x ,0)处的切线l 的方程为 y l (x)，则l (x) f '(x )(xx ). 2 2 2 2 2 2 设函数g (x) f(x)l (x)(x n) . 由xn时， f ''(x)0，可得g (x)0. 2 2 2 设直线 y a与直线l 交点的横坐标为x'，由g (t ) f(t )l (t )0. 2 2 2 2 2 2 2 l (t ) f(t )l (x')a l 的斜率 f '(x )(2x k)lnx (x x )lnx 0 ，有t  x'. 2 2 2 2 2 ， 2 2 2 2 2 1 2 2 2 所以t t  x'x'. 2 1 2 1 又 f '(x )(x x )lnx ， f '(x )(x x )lnx ，根据x x 1，有 f '(x ) f '(x ). 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 即l ∥l ，可得x' x'  x x ，所以t t  x x . …………17分 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1