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年河南省五市高三第二次联考
２０２５
数学参考答案
一、选择题：本题共 小题 每小题 分 共 分 在每小题给出的四个选项中 只有
８ ， ５ ， ４０ ， ，
一项是符合题目要求的
．
题号
１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８
答案
Ｃ Ａ Ｄ Ｃ Ｂ Ｃ Ｂ Ｄ
二、选择题：本题共 小题 每小题 分 共 分 在每小题给出的选项中 有多项符
３ ， ６ ， １８ ， ，
合题目要求 全部选对的得 分 部分选对的得部分分 有选错的得 分
． ６ ， ， ０ ．
题号
９ １０ １１
答案
ＢＤ ＡＢＤ ＡＣＤ
三 填空题：本题共 小题 每小题 分 共 分
． ３ ， ５ ， １５ ．
３ ３ { }
１２．４ １３． １４． ３，５，７
４
四 解答题：本大题共 个小题 共 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤
． ５ ， ７７ ， ，
分
１５．（１３ ）
解析 设等比数列{ａ }的公比为 ｑ 由题意知
【 】（１） ｎ ， ：
当 ｎ 时 ａ ａ ｑ ｂ
＝１ ： １ ＋２ １ ＝２ ①
当 ｎ 时 ａ ａ ｑ ａ ｑ２ ｂ 分
＝２ ： １ ＋ １ ＋２ １ ＝２ ② ………………………………… ２
联立 解得 ａ ｂ ｑ １． 分
①②， １ ＝ ， ＝ …………………………………………………… ３
２
因为 ｂ
＝１，
æ öｎ －１
所以数列{ａ }的通项公式 ａ ç １÷ ． 分
ｎ ｎ＝è ø ……………………………………… ５
２
æ öｎ －１
由 知 ａ ｂ ç１ ÷ 分
（２） （１） ｎ＝ ·è ø …………………………………………………… ６
２
方法一 故当 ｎ ｎ ｎ １９时 原式可化为
： １９－ ＞ ， ＜ ，
２
ａ ａ ａ ． 分
ｎ ＋１ ｎ ＋２… １９－ ｎ＝１ ……………………………………………………………… ７
因为 ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ ２ 所以 ａ ａ ａ ａ １９－２ ｎ
ｎ ＋１ １９－ ｎ＝ ｎ ＋２ １８－ ｎ＝…＝ ９ １１ ＝ １０ ， ｎ ＋１ ｎ ＋２… １９－ ｎ＝ １０ ＝１；
所以 ａ ． 分
１０ ＝１ …………………………………………………………………… ９
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１ （ ７ ）
{#{QQABCQSUogigQAJAABgCQwHQCgKQkBAAAaoOBBAUMAIBAQNABAA=}#}同理当 ｎ ｎ 即１９ ｎ 时 原式可化为 ａ ａ ａ ａ２ ｎ －１９
１９－ ＜ ， ＜ ＜１９ ， ２０－ ｎ ２１－ ｎ… ｎ＝ １０ ＝１，
２
所以 ａ ． 分
１０ ＝１ …………………………………………………………………… １１
æ ö９
所以 ｂ ç１ ÷
·è ø ＝１，
２
解得 ｂ ． 分
＝５１２ …………………………………………………………………… １３
方法二
：
æ ö１＋２＋…＋（ ｎ －１） æ ö１＋２＋…＋（１８－ ｎ ）
原式可化为 ａ ｎ ç１ ÷ ａ １９－ ｎ ç１ ÷ ． 分
１ ·è ø ＝ １ ·è ø ………………… ７
２ ２
æ ö ｎ（ｎ ２ －１） æ ö（１９－ｎ） ２ （１８－ｎ）
即 ａ ｎ ç１ ÷ ａ １９－ ｎ ç１ ÷ ． 分
１ ·è ø ＝ １ ·è ø ………………………………………… ９
２ ２
æ ö１８ ｎ －９×１９ æ æ ö９ö２ ｎ －１９
即 ａ ２ ｎ －１９ ç１ ÷ çｂ ç１ ÷ ÷ ． 分
１ ·è ø ＝１，è ·è ø ø ＝１ ……………………………… １１
２ ２
æ ö９
所以 ｂ ç１ ÷
·è ø ＝１
２
解得 ｂ ． 分
＝５１２ …………………………………………………………………… １３
． 分
１６ （１５ ）
解析 因为四边形 ＢＣＣ Ｂ 为菱形 所以 Ｂ Ｃ ＢＣ ． 分
【 】（１） １ １ ， １ ⊥ １ …………………… １
因为 ＡＢ 平面 ＢＣＣ Ｂ Ｂ Ｃ 平面 ＢＣＣ Ｂ 所以 ＡＢ Ｂ Ｃ． 分
⊥ １ １， １ ⊂ １ １， ⊥ １ ……………… ２
又因为 ＡＢ 平面 ＡＢＣ ＢＣ 平面 ＡＢＣ ＡＢ ＢＣ Ｂ
， ⊂ １， １⊂ １， ∩ １ ＝
所以 Ｂ Ｃ 平面 ＡＢＣ ．
１ ⊥ １
因为 ＡＣ 平面 ＡＢＣ
１⊂ １，
所以 Ｂ Ｃ ＡＣ ． 分
１ ⊥ １ ………………………………………………………………… ６
方法一
（２） ：
因为 Ｂ ＢＣ °所以 Ｂ ＢＣ 是等边
∠ １ ＝６０ △ １
三角形 取 ＢＣ 中点 Ｍ 连接 Ｂ Ｍ 则 Ｂ Ｍ
， ， １ ， １ ⊥
Ｂ Ｃ 以 Ｂ 为坐标原点 分别以 Ｂ Ｍ Ｂ Ｃ
１ １， １ ， １ ， １ １，
Ｂ Ａ 所在的直线为 轴 轴和 轴 建立
１ １ ｘ ，ｙ ｚ ，
空间直角坐标系 如图所示．
，
ａ
设 ＢＢ ａ 则 Ｂ Ａ ３ａ
１ ＝ ， １（０，０，０）， （ ，－ ，
２ ２
４），
ａ ａ
Ｃ ａ ．所以Ｂ→Ａ ３ Ｂ Ｃ→ ａ ．
１（０， ，０） １ ＝（ ，－ ，４）， １ １ ＝（０， ，０）
２ ２
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２ （ ７ ）
{#{QQABCQSUogigQAJAABgCQwHQCgKQkBAAAaoOBBAUMAIBAQNABAA=}#}ì
ï ï ｍ Ｂ→Ａ
设平面 ＡＢ Ｃ 的法向量为 ｍ ｘ ｙ ｚ 则í · １ ＝０
１ １ ＝（ ， ， ），
î
ïïｍ
Ｂ Ｃ→
· １ １ ＝０
ì ï ａ ａ
ï ３ ｘ ｙ ｚ æ ａö
即í － ＋４ ＝０令 ｘ 得 ｍ çç ３ ÷÷． 分
ï ２ ２ ＝１， ＝ è１，０，－ ø …………………………… ９
î ï ａｙ ８
＝０
由条件知Ｂ Ａ→ 为平面 Ｂ Ｃ Ｂ 的一个法向量． 分
１ １ ＝（０，０，４） １ １ …………………… １０
设二面角 Ａ Ｂ Ｃ Ｂ 的平面角为 θ 易知 θ 为锐角．
－ １ １ － ，
ａ
３
ｍ Ｂ Ａ→
则 θ ｜ · １ １｜ ２ ２１ 解得 ａ ． 分
ｃｏｓ ＝ ＝ ＝ ， ＝４ ……………………… １３
ｍ Ｂ Ａ→ ａ２
７
｜ ｜·｜ １ １｜ ３
４ １＋
６４
因为三棱柱 ＡＢＣ Ａ Ｂ Ｃ 的高为 Ｂ Ｍ 且 Ｂ Ｍ
－ １ １ １ １ ， １ ＝２ ３，
所以其体积 Ｖ Ｓ Ｂ Ｍ １ ． 分
＝ ΔＡＢＣ· １ ＝ ×４×４×２ ３ ＝１６ ３ ………………………… １５
２
方法二 因为 Ｂ ＢＣ ° 所以 ＢＢ Ｃ
： ∠ １ ＝６０ ， ∠ １ １
°
＝１２０
过 Ｂ 做ＢＯ Ｂ Ｃ 交Ｃ Ｂ 的延长线于Ｏ
⊥ １ １ １ １ ，
连接 ＡＯ 因为 ＡＢ Ｂ Ｃ 所以 Ｂ Ｃ 平面
， ⊥ １ １， １ １⊥
ＡＢＯ 所以 ＡＯ Ｂ Ｃ 所以 ＡＯＢ 是二面角 Ａ
， ⊥ １ １， ∠ －
Ｂ Ｃ Ｂ 的平面角． 分
１ １ － ……………………… ９
所以 ＡＯＢ ２１ 所以 ＡＯＢ
ｃｏｓ∠ ＝ ， ｔａｎ∠ ＝
７
２ ３ 即ΑΒ ２ ３ 因为 ＡＢ 所以 ＯＢ
， ＯＢ＝ ， ＝４， ＝２ ３
３ ３
在 ＢＯＢ 中 解得 ＢＢ ． 分
△ １ ， １ ＝４ ………………………………………………… １３
又 ＢＯ 平面 Ａ Ｂ Ｃ 所以三棱柱 ＡＢＣ Ａ Ｂ Ｃ 的高为 ＯＢ
⊥ １ １ １， － １ １ １ ，
所以其体积 Ｖ Ｓ ＯＢ １ ． 分
＝ ΔＡＢＣ· ＝ ×４×４×２ ３ ＝１６ ３ ………………………… １５
２
． 分
１７ （１５ ）
æ ｐ ö
解析 对于抛物线 ｙ２ ｐｘ 其焦点坐标 Ｆç ÷ 分
【 】（１） ＝２ ， è ，０ø， …………………… １
２
因为焦点 Ｆ 在直线 ｘ ｙ 上
３ － －３＝０ ，
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３ （ ７ ）
{#{QQABCQSUogigQAJAABgCQwHQCgKQkBAAAaoOBBAUMAIBAQNABAA=}#}ｐ
所以
３× －０－３＝０，
２
解得 ｐ ．
＝２
所以抛物线 Ｃ 的方程为 ｙ２ ｘ． 分
＝４ ……………………………………………… ３
设直线 ｌ 的方程为 ｘ ｍｙ ｎ Ａ(ｘ ｙ ) Ｂ(ｘ ｙ )
（２） ＝ ＋ ， １， １ ， ２， ２ 。
{ｘ ｍｙ ｎ
联立 ＝ ＋ 把 ｘ ｍｙ ｎ 代入 ｙ２ ｘ 得 ｙ２ ｍｙ ｎ
ｙ２ ｘ ， ＝ ＋ ＝４ －４ －４ ＝０，
＝４
所以 Δ ｍ２ ｎ ｙ ｙ ｍ ｙ ｙ ｎ． 分
＝１６ ＋１６ ＞０， １ ＋ ２ ＝４ ， １ ２ ＝－４ ………………………………… ５
因为 Ａ Ｂ 在 ｘ 轴同侧 所以 ｙ ｙ ｎ 所以 ｎ ． 分
， ， １ ２ ＝－４ ＞０， ＜０ ………………………… ６
方法一 因为 Ｆ( ) 则Ｏ→Ｆ ( ) Ａ→Ｆ ｘ ｙ ) Ｂ→Ｆ ( ｘ ｙ )
： １，０ ， ＝ １，０ ， ＝（１－ １，－ １ ， ＝ １－ ２，－ ２ ，
所以Ｏ→Ｆ Ａ→Ｆ Ｏ→Ｆ Ｂ→Ｆ Ａ→Ｆ Ｂ→Ｆ ( ｘ ) ( ｘ ) [ (ｘ ｘ ) ｘ ｘ ｙ ｙ ]
· ＋ · － · ＝ １－ １ ＋ １－ ２ － １－ １ ＋ ２ ＋ １ ２ ＋ １ ２
ｘ ｘ ｙ ｙ
＝１－
１ ２
－
１ ２
＝－４，
所以 ｘ ｘ ｙ ｙ ． 分
１ ２ ＋ １ ２ ＝５ ……………………………………………………………… ７
ｙ ２ ｙ ２
又 ｘ １ ｘ ２
１ ＝ ， ２ ＝ ，
４ ４
ｙ２ｙ２
所以 １ ２ ｙ ｙ 即 ｎ２ ｎ
＋
１ ２
－５＝０， －４ －５＝０
１６
解得 ｎ 或 ｎ 舍去
＝－１ ＝５（ ）
所以 ｎ ．
＝－１
所以直线 ｌ 的方程为 ｘ ｍｙ 恒过定点 ． 分
＝ －１， （－１，０） …………………………… ９
方法二
：
因为
Ｏ→Ｆ Ａ→Ｆ Ｏ→Ｆ Ｂ→Ｆ Ａ→Ｆ Ｂ→Ｆ Ａ→Ｆ Ｏ→Ｆ Ｂ→Ｆ Ｏ→Ｆ Ｏ→Ｆ Ｂ→Ｆ Ｏ→Ｆ２ Ａ→Ｆ Ｏ→Ｆ Ｏ→Ｆ
· ＋ · － · ＝ （ － ）－ （ － ）＋ ＝（ － ）（ －
Ｂ→Ｆ Ｏ→Ａ Ｏ→Ｂ ｘ ｘ ｙ ｙ
）＋１＝１－ · ＝１－ １ ２ － １ ２，
所以 ｘ ｘ ｙ ｙ
１－
１ ２
－
１ ２
＝－４
所以 ｘ ｘ ｙ ｙ ． 分
１ ２ ＋ １ ２ ＝５ ……………………………………………………………… ７
ｙ ２ ｙ ２
又 ｘ １ ｘ ２
１ ＝ ， ２ ＝ ，
４ ４
ｙ２ｙ２
所以 １ ２ ｙ ｙ 即 ｎ２ ｎ
＋
１ ２
－５＝０， －４ －５＝０
１６
解得 ｎ 或 ｎ 舍去
＝－１ ＝５（ ）
所以 ｎ ．
＝－１
所以直线 ｌ 的方程为 ｘ ｍｙ 恒过定点 ． 分
＝ －１， （－１，０） …………………………… ９
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４ （ ７ ）
{#{QQABCQSUogigQAJAABgCQwHQCgKQkBAAAaoOBBAUMAIBAQNABAA=}#}ｙ
方法一 直线 ＯＡ 方程为 ｙ １ｘ ４ｘ 直线 ＯＢ 的方程为 ｙ ４ｘ
（３） ： ＝ｘ ＝ｙ ， ＝ｙ ，
１ １ ２
æ ｔö æ ｔö
所以于 Ｍçｔ ４ ÷ Ｎçｔ ４ ÷
è ，ｙ ø， è ，ｙ ø，
１ ２
因为 ＡＮ ＢＭ 所以直线 ＡＮ 与直线 ＢＭ 的斜率相等
‖ ， ，
即 ｋ ｋ 分
ＡＮ＝ ＢＭ， …………………………………………………………………… １１
ｔ ｔ
４ ｙ ４ ｙ
ｙ － １ ｙ － ２ ｔ ｙ ｙ ｔ ｙ ｙ
所以 ２ １ 即 ４ － １ ２ ４ － １ ２ ．
ｙ ２ ＝ ｙ ２ ， ｙ ２ｙ ＝ ｙ ２ｙ
ｔ １ ｔ ２ ｔｙ １ ２ ｔｙ ２ １
－ － － －
２ １
４ ４ ４ ４
因为 ｙ ｙ
１ ２
＝４，
ｔ ｔ
所以 ４ －４ ４ －４ ． 分
ｔｙ ｙ ＝ｔｙ ｙ …………………………………………………………… １３
－ －
２ １ １ ２
即 ｔ ｔ ｙ ｙ
（ －１）（ ＋１）（ １ － ２）＝ ０
所以 ｔ ｔ
（ －１）（ ＋１）＝ ０，
所以 ｔ ． 分
＝±１ …………………………………………………………………… １５
方法二
：
ｙ
直线 ＯＡ 方程为 ｙ １ｘ ４ｘ 直线 ＯＢ 的方程为 ｙ ４ｘ
＝ｘ ＝ｙ ， ＝ｙ ，
１ １ ２
æ ｔö æ ｔö
所以于 Ｍçｔ ４ ÷ Ｎçｔ ４ ÷
è ，ｙ ø， è ，ｙ ø，
１ ２
因为 ＡＮ ＢＭ 所以有 ＡＯＮ ＭＯＢ
‖ ， △ ∽△
ＯＡ ＯＮ
所以 ． 分
ＯＭ ＝ ＯＢ …………………………………………………………… １１
ＯＡ ｘ ＯＮ ｔ
因为 １
ＯＭ ＝ ｔ ， ＯＢ ＝ ｘ ，
２
ｘ ｔ
所以 １ ．
ｔ ＝ ｘ
２
所以 ｘ ｘ ｔ２． 分
１ ２ ＝ ………………………………………………………………… １３
ｙ２ｙ２
即 １ ２ ｔ２
＝
１６
由 知 ｙ ｙ ｍｙ ｙ
（２） １ ＋ ２ ＝４ １ ２ ＝４，
所以 ｔ２
＝１，
所以 ｔ ． 分
＝±１ …………………………………………………………………… １５
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５ （ ７ ）
{#{QQABCQSUogigQAJAABgCQwHQCgKQkBAAAaoOBBAUMAIBAQNABAA=}#}． 分
１８ （１７ ）
解析
【 】
函数 ｆ ｘ ( ｘ) ｘ １ｘ２ 的定义域为 Ｒ
（１） （ ）＝ １－ ｅ ＋ －１ ，
２
ｆ′ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ( ｘ)． 分
（ ）＝ － ｅ ＝ １－ｅ ……………………………………………………… ２
当 ｘ 时 ｘ 则 ｆ′(ｘ) 当 ｘ 时 ｘ 则 ｆ′(ｘ)
＜０ ，１－ｅ ＞０， ＜０； ＞０ ，１－ｅ ＜０， ＜０，
所以函数 ｆ(ｘ)在( ¥ ¥)上为减函数． 分
－ ，＋ ……………………………………… ５
又因为 ｆ( )
０ ＝０，
故函数 ｆ(ｘ)有且只有一个零点 ． 分
０ …………………………………………… ６
证明 函数 Ｆ(ｘ)的定义域为 ¥
（ｉ） ： （－１，＋ ），
当 ｆ(ｘ) ｇ(ｘ)时 Ｆ(ｘ) ｆ(ｘ) ｇ(ｘ) ｆ(ｘ) ｇ(ｘ) ｆ(ｘ)
⩾ ， ＝ ＋ ＋ － ＝２ ，
当 ｆ(ｘ) ｇ(ｘ)时 Ｆ(ｘ) ｆ(ｘ) ｇ(ｘ) ｆ(ｘ) ｇ(ｘ) ｇ(ｘ)
＜ ， ＝ ＋ － ＋ ＝２ ，
所以 Ｆ(ｘ) {ｆ(ｘ) ｇ(ｘ)}． 分
＝２ｍａｘ ， ………………………………………………… ９
由 知 当 ｘ £ 时 ｆ(ｘ) ｆ( )
（ｉｉ） （１） ， －１＜ ０ ， ⩾ ０ ＝０，
又 Ｆ(ｘ) {ｆ(ｘ) ｇ(ｘ)} ｆ(ｘ)
＝２ｍａｘ ， ⩾２ ，
所以当 ｘ £ 时 Ｆ(ｘ) 恒成立
－１＜ ０ ， ⩾０ ，
因为当 ｘ 时 ｆ(ｘ) ｆ( ) 恒成立
＞０ ， ＜ ０ ＝０ ，
所以 Ｆ(ｘ) 等价于当 ｘ 时 ｇ(ｘ) 恒成立 分
⩾０ ＞０ ， ⩾０ …………………………… １２
且 ｇ′(ｘ) ｘ ａ．
＝ｌｎ（ ＋１）＋１－
若 ａ £ 当 ｘ 时 由 ｇ′(ｘ) ｘ ａ
１， ＞０ ， ＝ｌｎ（ ＋１）＋１－ ＞０，
所以 ｇ(ｘ)在( ¥)上递增 所以此时 ｇ(ｘ) 恒成立 分
０，＋ ， ⩾０ …………………… １４
若 ａ 当 ｘ 时 ｇ′(ｘ) ｘ ａ 解得为 ｘ ｅａ －１
＞１， ＞０ ， ＝ｌｎ（ ＋１）＋１－ ＜０ ０＜ ＜ －１，
ｇ(ｘ)在( ｅａ －１ )上递减 此时 ｇ(ｘ) ｇ( ) 不符合题意． 分
０， －１ ， ＜ ０ ＝０， ……………… １６
综上可知 存在实数 ａ 满足题意 ａ 的取值范围是( ¥ ]． 分
： ， － ，１ ………………… １７
． 分
１９ （１７ ）
解析 由题意 前 次的得分分别为 对 对 错 或 错
【 】（１） ， ３ ２０（ ），４０（ ），１０（ ） １０（ ），２０
对 对 分
（ ），４０（ ）， ……………………………………………………………………… ２
３
所以甲前 次答题的得分之和为 分的概率为 Ｐ １ １． 分
３ ７０ ＝２×（ ） ＝ ………… ４
２ ４
甲第 次答题得分 分 分的概率分别为１ １
（２）（ⅰ） １ ２０ ，１０ ， ，
２ ２
则 Ｅ(Ｘ ) １ １ 分
１ ＝２０× ＋１０× ＝１５，………………………………………………… ５
２ ２
高三数学答案 第 页 共 页
６ （ ７ ）
{#{QQABCQSUogigQAJAABgCQwHQCgKQkBAAAaoOBBAUMAIBAQNABAA=}#}甲第 次答题得分 分 分 分的概率分别为１ １ １
２ ４０ ，２０ ，１０ ， ， ，
４ ４ ２
则 Ｅ(Ｘ ) １ １ １ 分
２ ＝４０× ＋２０× ＋１０× ＝２０，………………………………………… ６
４ ４ ２
甲第 次答题得分 分 分 分的概率分别为１ １ １ １
３ ８０ ，４０ ，２０，１０ ， ， ， ，
８ ８ ４ ２
则 Ｅ(Ｘ ) １ １ １ １ 分
３ ＝８０× ＋４０× ＋２０× ＋１０× ＝２５， ……………………………… ７
８ ８ ４ ２
当 ｉ 时 因为甲第 ｉ 次答题所得分数 Ｘ 的数学期望为 Ｅ(Ｘ )
⩾２ ， －１ ｉ －１ ｉ －１ ，
所以第 ｉ 次答对题所得分数为 Ｅ(Ｘ ) 答错题所的分数为 分 其概率为１
２ ｉ －１ ， １０ ， ，
２
所以 Ｅ(Ｘ ) Ｅ(Ｘ ) １ １ Ｅ(Ｘ ) 分
ｉ ＝２ ｉ －１ × ＋１０× ＝ ｉ －１ ＋５， …………………………… １０
２ ２
可猜想 Ｅ(Ｘ ) Ｅ(Ｘ ) ｉ ． 分
： ｉ ＝ ｉ －１ ＋５， ⩾２ …………………………………………… １２
由 知数列{Ｅ Ｘ }是以 为首项 为公差的等差数列 分
（ｉｉ） （ｉ） （ ｉ） １５ ，５ ，………… １３
根据等差数列的求和公式 可得
，
ｎ ｎ ｎ ｎ２ ｎ
Ｅ Ｘ ｎ （ －１） ５ ＋２５ 分
∑ｉ （ ｉ）＝ １５ ＋ ×５＝ ， ……………………………………… １５
＝１ ２ ２
当 ｎ 时 ９ Ｅ Ｘ 当 ｎ 时 １０ Ｅ Ｘ
＝９ ，∑ｉ （ ｉ）＝ ３１５＜３２０， ＝１０ ，∑ｉ （ ｉ）＝ ３７５＞３２０，
＝１ ＝１
所以实数 ｎ 的最小值为 ． 分
１０ ………………………………………………… １７
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{#{QQABCQSUogigQAJAABgCQwHQCgKQkBAAAaoOBBAUMAIBAQNABAA=}#}
