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2025 届高三三校联考数学试题参考答案
一、二单选多选答案:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
D C C A D B B A ABC ABD BC
三、填空题答案:
π
12.48 13. 14.8
四、解答题答案:
15.(1)证明：设P到底面ABCD的距离为h，
1 8 16√3
∴V = S ⋅ℎ = ⋅ℎ = ⇒ℎ =2√3，
P−ABCD 3 △ABCD 3 3
取CD中点O，连接PO，∵△PCD为等边三角形，且CD=4，∴PO=2√3=
ℎ
，
∴PO⊥平面ABCD （3分）
又BC⊂平面ABCD，∴PO⊥BC，又∵BC⊥CD，PO∩CD=O，PO，CD⊂平面PCD
∴BC⊥平面PCD，∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PCD. （6分）
(2)如图建系.
则A(2,−2,0) ，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(0,−2,0)，P(0,0,2√3)，E(0,1,√3)
⃗ ⃗
AB=(0,4,0) ， AP=(−2,2,2√3). （8分）
{ ⃗ ⃗
设平面PAB的一个法向量n ⃗ =(x,y,z)∴
AB⋅n
1
=0
⇒ { 4 y=0 ，
1 ⃗ ⃗ −2x+2y+2√3z=0
AP⋅n =0
1
⃗
取x=√3，得n =(√3,0,1). （10分）
1
由（1）平面PBC⊥平面PCD 又DE⊥PC , 且PC=平面PBC∩平面PCD
故DE⊥平面PBC
⃗ ⃗
所以平面PBC的一个法向量n =DE=(0,3,√3) ， （11分）
2
⃗ ⃗
|n ⋅n | √3 1
设平面PAB与平面PBC夹角为θ，∴cosθ= 1 2 = = （13分）
⃗ ⃗ 2×2√3 4
|n ||n |
1 2
（其他方法参照以上步骤给分）16.解：（1）
（7分）
（9分）
（10分）
<0,f(x)单调递减
>0,f(x)单调递增 （13分）
故f(x) =f(e )=(e ) lne =- （15分）
17.（1）由题意得 解得 ，
椭圆 的标准方程为 （5分）
（2）令 ， 分析直线 、 、 倾斜角的大小关系，
得到 ,故有 ，故有 。化简得到
. （※） （10分）
设 , ,联立 ，有 ，
于是有 .又 （12分），
，代入※式化简得， ，
即可证 过定点 （15分）
（用平移齐次化的方法参照以上步骤给分）18.解：(1)由题意知，X=0，1，2，3．
1 1 1 1
P(X=0)= × × = ，
3 2 3 18
1 1 1 1 1 2 2 1 1 5
P(X=1)= × × + × × + × × = ，
3 2 3 3 2 3 3 3 2 18
2 8
P(X=3)=( ) 3= ;
3 27
10
P(X=2)=1-P(X=0)−P(X=1)−P(X=3)= ， （5分）
27
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
1 5 10 8
P
18 18 27 27
1 5 10 8 103
随机变量X的数学期望为E(X)=0× +1× +2× +3× = ． （7分）
18 18 27 27 54
(2)由于投掷n次骰子后球不在乙手中的概率为1−p ，此时无论球在甲手中还是球在丙手
n
2 1
中，均有 = 的概率传给乙，
6 3
1
故有p = (1−p )， （10分）
n+1 3 n
1 1 1
变形为p − =− (p − ).
n+1 4 3 n 4
1 1 1 1 1
又p = ，所以数列{p − }是首项为p − = ，公比为− 的等比数列．
1 3 n 4 1 4 12 3
1 1 1 1 1
所以p − = ×(− ) n−1=− ×(− ) n
n 4 12 3 4 3
1 1 1
所以数列p 的通项公式p = − ×(− ) n ； （12分）
n n 4 4 3
1 1 1
(3)由(2)可得p = − ×(− ) n ；
n 4 4 3
p +p +......+p =
1 2 2n
所以 （17分）
19.(1)因为a = ，且4=(2+1) 2−5，22+5−1=8，所以b =a =64. （3分）
n 4 8因为5=(2+1) 2−4，22+4−1=7，所以b =a =49． （6分）
5 7
(2)设数列{a }的前n项和为S ，依题意得
n n
T =T +b =T +(T −T )+(T −T )+⋯+(T −T )+b ，
（k+1)2 k2+2k (k+1)2 3 8 3 15 8 k2+2k k2−1 (k+1)2
（8分）
又T =b +b +b =a +a +a =S ，T −T =b +b +b +b +b =a +a +a +a +a =S −S ，…，
3 1 2 3 3 2 1 3 8 3 4 5 6 7 8 8 7 6 5 4 8 3
（9分）
依次递推:
T −T =b +b +⋯+b +b =a +a +⋯+a +a =S −S
k2−1 k2−2k k2−2k+1 k2−2k+2 k2−2 k2−1 k2−1 k2−2 k2−2k+2 k2−2k+1 k2−1 k2−2k
， （10分）
所以T =S +(S −S )+(S −S )+⋯+(S −S )+a =S +a ，即
(k+1)2 3 8 3 15 8 k2−1 k2−2k k2+4k+3 k2+2k k2+4k+3
3(1−3k2+2k)
T = +3k2+4k+3=3k2+4k+3+ ． （12分）
(k+1)2 1−3
(3)依题意得T −T =(k2+k)a −(k2+k−1)a =b =a ，
k2+k k2+k−1 k2+k k2+k−1 k2+k k2+k
所以a =a ， （14分）
k2+k k2+k−1
T −T =(k2+k+1)a −(k2+k)a =b =a ，
k2+k+1 k2+k k2+k+1 k2+k k2+k+1 k2+k−1
所以a =a ，…， （15分）
k2+k+1 k2+k−1
依次递推，总有a =a (1≤i≤k+1)和a =a (1≤i≤k)，
k2+k+i−1 k2+k−i k2+k+i k2+k−i
由此可知，
当k=1时，k2≤n≤k2+2k，{a }是常数列，
n
当k∈N∗，且k≥2时，k2−1≤n≤k2+2k，{a }是常数列.
n
又k2+2k=(k+1) 2−1， （16分）
所以对任意的n∈N∗，{a }是常数列． （17分）
n
