文档内容
衡阳市一中 2026 届高三第一次月考
数学试卷
总分：150分 时量：120分钟 考试内容：高考全部内容
命题：邹战友 彭玉锋 审题：邹战友 彭玉锋
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试室号，
座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂
黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定
区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔
和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，
只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1．已知全集为R，且集合A＝{x|log (x＋1)＜2}，B＝{x|≥0}，则A∩( B)等于( )
2 R
A．(－1，1) B．(－1，1] C．[1，2) D．[1，2]
∁
2．复数z满足zi＝2z－1，则在复平面内，复数z对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．命题“∀x∈[1，2]，x2－a≤0 ”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A．a≥4 B．a≤4 C．a>4 D．a<4
4．定义在R上的函数f(x)满足f(1－x)＝f(x＋1)，且y＝f(2x＋2)为奇函数．当x∈(0，1]
时，f(x)＝，则f(2025)＝( )
A．1 B．－1 C．0 D．2
5．已知cos(α＋β)＝sinαcosβ，tanαtanβ＝－2，则tan(α＋β)＝( )
A．－ B． C． D．－
6．已知焦点在y轴上的双曲线－＝1的两条渐近线互相垂直，则m＝( )
A．1 B． C．－4 D．1或－4
7．如图，在△ABC中，PC＝2BP，过点P的直线分别交直线AB，AC
于不同的两点M，N．设AB＝mAM，AC＝nAN，则＋的最小值为( )
A． B． C．3 D．4
8．一个圆锥的底面圆和顶点都恰好在同一个球面上，且该球的半径为1，当圆锥的体
积取最大值时，圆锥的底面半径为( )
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学学科科网网(（北北京京)股）份股有份限有公限司公司A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项
符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．将函数g(x)＝2sin图象上每个点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函
数f(x)的图象，则( )
A．f()＝1 B．f(x)的最小正周期为
C．f(x)的图象关于点(，0)对称 D．f(x)的图象关于直线x＝－对称
10．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，过点F的直线l与C交于A，B两点，D是C
的准线与x轴的交点，则下列说法正确的是( )
A．若|BF|＝4|AF|，则直线l的斜率为± B．|AF|＋9|BF|≥32
C．0°<∠AOB<90°(O为坐标原点) D．当取最小值时，|AF|＝4
11．设A，B是一个随机试验中的两个事件，且P(A)＝，P(B)＝，P(AB＋AB)＝，则下
列结论中正确的是( )
A．P(AB)＝ B．P(A＋B)＝
C．P(A|B)＝P(B|A) D．P(A|B)＝
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．
12．已知的展开式中的第2项的系数与第2项二项式系数之和为198，则展开式中所有项
的系数和为 (用数字作答)．
13．现有4名同学要报名参加冰雪兴趣小组，要求雪上项目和冰上项目都至少有1人
参加，则不同的报名方案有 种(用数字作答)．
14．对于函数y＝f(x)，若存在x 使f(x)＋f(－x)＝0，则称点(x，f(x))是曲线y＝f(x)的
0 0 0 0 0
“优美点”，已知f(x)＝，若曲线f(x)存在“优美点”，则实数k的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤．
15．(本小题满分13分)已知数列{a}满足a＝1，a＝9，且对任意的n≥2，n∈N*，都有
n 1 3
a ＋a ＝2(a＋1)．
n＋1 n－1 n
(1)设b＝a －a，求数列{b}的通项公式；
n n＋1 n n
(2)设数列{}的前n项和为S，求证：S<．
n n
16．(本小题满分15分)已知函数f(x)＝2ae2x＋2(a－1)ex－x．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)有两个零点，求实数a的取值范围.
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学学科科网网(（北北京京)股）份股有份限有公限司公司17．(本小题满分15分)如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD⊥平面ABCD，△PAD是
边长为2的等边三角形，底面ABCD 为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AB＝BC＝1．
(1)求证：AB⊥PD；
(2)求线段PA中点M到平面PCD 的距离；
(3)线段PD上是否存在一点E，使得平面EAC与平面DAC夹角的余弦值为？若存在，
求出的值；若不存在，请说明理由．
18．(本小题满分17分)某公司有意在小明、小红、小强、小真这4人中随机选取2人
参加面试．面试分为初试和复试且采用积分制，其中小明和小红通过初试的概率均为，小
强和小真通过初试的概率均为，小明和小红通过复试的概率均为，小强和小真通过复试的
概率均为，通过初试考核记6分，通过复试考核记4分，本次面试满分为10分，且初试未
通过者不能参加复试．
(1)若从这4人中随机选取2人参加面试，求这两人本次面试的得分之和不低于16分的
概率；
(2)若小明和小红两人一起参加本次公司的面试，记他们本次面试的得分之和为 X，求
X的分布列以及数学期望E(X)．
19．(本小题满分17分)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点P(1，)在E上，直
线y＝x＋m与E交于A、B两点，点 A关于x轴的对称点为C，O为坐标原点．
(1)求E的方程；
(2)证明：△BOC的面积为定值；
(3)若点B在直线AC的右侧，求直线BC在y轴上的截距的最小值．
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