文档内容
2025 届高三年级 3 月份联合考试
数 学
本卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。
注意事项:
1. 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答
题卡的指定位置。考试结束后,将答题卡交回。
2. 回答选择题时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改
动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
3. 回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
一、单选题 (本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题所给的四个选项中, 有且只有
一项是符合题目要求的)
1. 已知 A={−1,0,1,2},B={x|log |x∣≤1} ,则 A∩B=
2
A. {−1,0,1,2} B. {0,1,2} C. {−1,1,2} D. {1,2}
2. 已知 z(1−2i)=5i ,则 |´z|=
A. √2 B. 2 C. √5 D. 5
3. 探究学习小组收集了 A 早餐店 2024 年前六个月包子的售卖数据,得出每个月售卖包子的个
数 y (单位: 万个)与月份 x(x=1,2,3,⋯,6) 的经验回归方程为 ^y=0.1x+1.4 ,已知五月份
的售卖量为 2 万个,则 x=5 时的残差为
A. -0.2 B. 0.2 C. -0.1 D. 0.1
4. 已知有穷数列 {a } 是等差数列,公差为 d ,前 n 项和为 S ,a >0 . 命题 p:∀d∈R ,
n n 1
{S }
n 为等差数列; 命题 q:∃d<0,{S } 为递增数列,则
n n
A. p 和 q 均为真命题 B. ¬p 和 q 均为真命题
C. p 和 ¬q 均为真命题 D. ¬p 和 ¬q 均为真命题
√3 T
5. 已知 f (x)=sinωx(ω>0) 的最小正周期为 T ,且 f (x )=−f (x )= , |x −x |< ,则与
1 2 3 1 2 2
ω 无关的是|x −x |
A. T B. 1 2
T
C. f′ (x ) D. f (x) 在 [0,2025] 上的零点个数
1
6. 在平面直角坐标系 xOy 中, x 轴正方向的单位向量为 u,y 轴正方向的单位向量为 v . 已
x2
知 P 是椭圆 C: + y2=1 上一动点,动点 Q(m,n) 的轨迹为 E ,设 E 的离心率为 e ,C
6 E
的离心率为 e ,则下列选项中满足 e >e 的是
C E C
A. |⃗OP|=|⃗OQ| 且 ⃗OQ⊥⃗OP B. ⃗OQ=2⃗OP
C. 2⃗OQ=⃗OP+(⃗OP⋅u)u D. 2⃗OQ=⃗OP+(⃗OP⋅v)v
7. 已知圆台 O O 的上、下底面半径分别为 r ,r (r 0 . 若 f (x) 只有一个零点,则 a2+ (b−2) 2 的最小
值为
A. 15 B. 5 C. √2 D. 2
二、多选题 (本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题所给的四个选项中, 有多项符
合题目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的待 0 分 }
9. 已知直线 l 的方向向量为 v ,平面 α 的法向量为 n ,则下列说法正确的是
A. 若 n⋅v=0 ,则 l//α
B. 若存在 λ∈R ,使得 n=λv ,则 l⊥α
C. 若 l//α ,则 l 到 α 内任意直线的距离等于 l 到 α 的距离
D. 若 l 与 α 内任意直线所成的角均相等,则 l⊥α
10. 已知抛物线 C:y2=2px(p>0) ,焦点 F(1,0),A(−1,0) ,动点 P(a,b) 满足
|PA|==√2|PF| ,则
A. p=2
B. 若 P 在 C 上,则 △PFA 是等腰直角三角形
C. 4a≥b2
D. P 的轨迹长度为 2π11. 函数 f (x) 的定义域为 I ,若存在 a∈I 满足: f (x)≤2f (a) 对任意的 x∈I 恒成立,则
称 f (x) 为 I 上的 L 函数,则下列说法正确的是
a
A. 若 f (x) 是 [m,n] 上的 L 函数,则 f (−x) 为 [−n,−m] 上的 L 函数
a −a
ex−1
B. ∀a≥ln3,f (x)= 是 R 上的 L 函数
ex+1 a
1
C. f (x)=sin(ωx+φ) 是 R 上的 L 函数,则 f (0)=
0 2
D. 命题“ f (x)=(a−x)(x2−a2x+b) 是 (0,+∞) 上的 L 函数”的一个必要条件为“
a
4
b≥− ”
27
三、填空题 (本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分)
12. 某类考试报名人数为 10000 人,已知考试的成绩服从正态分布 N (300, 2500),若录取分数线
为 350 分,则录取人数约为_____.(结果四舍五入取整数)
(参考数据:若 ξ 服从正态分布 N(μ,σ2) ,则 P(μ−σ≤ξ≤μ+σ)≈0.6827 )
(π ) ( π) √7 3 1
13. 已知 α∈ ,π ,β∈ 0, ,且 sin(α+β)=− ,tan(α−β)=− ,则 −
2 2 4 4 tanα
1
的值为_____.
tanβ
14. 为积极响应教育部印发的《全国青少年学生读书行动实施方案》,鼓励学生多读书、品经典,
社区举办了“图书在哪”的抽奖活动. 如图,在一个 5×5 的方格表中,按如下规则放置了一些
图书,小方格中的数字表示与其有公共顶点的小方格的图书的总本数,且有数字的小方格上没有
图书,其余方格内无限制,且每一个方格只能放 1 本图书. 则在所有可能的情况中,能抽中的图书
数目最多为_____,所有可能的图书排列方式总数为
四、解答题 (本大题共 5 小题, 共 77 分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程 或演算步
骤)
15. (13 分) 记 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别 a,b,c ,已知 acosC−asinC−
b+√2c=0.(1) 求 A ;
3
(2) 设 D 是边 BC 中点,若 cosC=− ,求 sin∠ADC .
5
16. (15 分) 如图,在四棱锥 P−ABCD 中,底面 ABCD 为梯形, AB//CD,PC=
PD=4,AB=6,PA=3√2,PB=3√6,M 是棱 CD 上一点,且二面角 M−AP - B 为直二面
角.
(1)证明: M 是 CD 中点；
√6
( 2 )若 AM⊥PM ,且二面角 P−AD−B 的余弦值为 ,求 CD 的长.
6
17. (15 分) 已知函数 f (x)=ex−alnx−a,a>0 .
(1)当 a=1 时,求曲线 y=f (x) 在点 (1,f (1)) 处的切线方程；
(2) 若 f (x) 的极小值小于 0,求 a 的取值范围.
18. (17 分) 现有一个质地均匀的骰子, 按照下述规则从左到右依次记录字符: 抛掷骰子,点数为
1,2,3 时,记录字符 AA；点数为 4 时记录字符 B,点数为 5 时记录字符 C, 点数为 6 时记录字
符 D. 继续投掷骰子, 按照相同的规则向右记录 AA, B, C, D 的字符. 例如抛掷 5 次骰子得
到的点数依次是5,6,2,3,4,则记录的字符为 CDAAAAB,共 7 个字符,其中从左向右第 4 个字符
为 A,第 7 个字符为 B.
(1)抛掷 3 次骰子,并记录字符. 记字符中 A 的个数为 X ,求 E(X) ；
(2) 抛掷 n 次骰子 (n∈N∗) ,并记录字符. 记第 n 个字符为 A 的概率为 p .
n
{ 1 }
(i) 求证: p + p 是常数列;
n+1 2 n
(ii) 求 {p } 的前 n 项和.
nx2 x2
19. (17 分) 已知椭圆 C: + y2=1 的左、右顶点分别为 B,A ,双曲线 E: −
4 a2
y2
=1(a>0,b>0) 过点 A,B 且离心率为 √5 .
b2
(1) 求 E 的方程;
(6 )
(2)若过点 D ,0 的直线交 C 于 M,N 两点 (异于 A,B 两点),直线 AM , AN 交 E
5
于 P,Q 两点 (异于点 A ),过 A 作 AH⊥PQ ,垂足为 H . 求证: 存在定点 T ,使得
|TH| 为定值.
