文档内容
榆林市2025届高三第三次模拟检测
数学试题
注意事项：
1 .本试题共4页，满分150分，时间120分钟.
2 .答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上.
3 .回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷
上无效.
4 .考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理;试题不回收.
第I卷（选择题共58分）
一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的.
1 .设全集 U=|0,l,2,3,4,51，集合 4=[0,1,2| ,8=12,3,4},则 4U(C/) =
A. {0,1} B. |0,1,2| C. (0,1,51 D. |0,l,2,5|
2 .已知z=2+i,则z(三+2i)的虚部为
A.4i B.4 C. -4i D. -4
3 .函数/（4）=tan（2k?）的单调增区间是
A.R B. ( -,-^-+kTT) ,k eZ
6 6
「/ 1T ^TT IcTT、7 ”
C. (e Z D. ( ) ,keZ
12 2 12 2
4 .已知向量。= （-3,2） ,b = （入,4）,若 a〃方，则 | =
A. -/13 B.5 C.您 D. 13
5 .已知双曲线cX-^-=l（a>0,6>0）的右焦点为F.若以点F为圆心，半径为a的圆与双曲
a b
线C的渐近线相切，则双曲线C的离心率等于
A." B.短 C.2 D. 271
2
榆林市2025届高三数学第三次模拟检测-1-（共4页）(第6题图)
A.*a
B. 310ira
3
B.李
A.O C. 1 D.也
二、选择题:本题共3小题,每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全
部选对得6分,部分选对的得部分分，有三个正确选项的，每个选项2分，有两个正确选项的，每
个选项3分，有选错的得0分.
9.设椭圆C：《+Z= 1的左、右焦点分别为K、K ,P是C上的动点，则
25 lo
A. △PKK的周长为16 B. |PK I的最小值为竽
C. APF,F2的面积的最大值为12 D.存在点P,使得PK 5F2
10.若AABC的内角4、8、C所对的边分别为a、6、c,且满足6-2a+4asin2学=0,则下列结论
正确的是
A.角 C 为钝角 B. a2+2b2-c2=0
C. 3tan A+tan C = 0 D. tan B 的最小值为兴
11 .已知函数/(%) 二必n 对定义域内任意的町声2,都有&止&。＜1,则实数m的取值
, 町一町
可能是
A. ~~ B. -- C. 1 D. e
3 e第n卷（非选择题共92分）
三、填空题:本题共3小题,每小题5分，共15分.
12 .乙巳蛇年,古城榆林燃动全国秧歌热潮，国内外共39支队伍汇聚榆林，舞动非遗年味.现有
4名国际友人,每人从俄罗斯、保加利亚、榆林市直教育系统的三支秧歌队中选择观看一
支,则不同的观看方式有_________ .（用数字作答）
13 .如图所示，在上、下底面对应边的比为1 ：2的三棱台中，过上底面一边 夕 f
4名作一个平行于棱G。的平面出发记平面48也产将三棱台 /V下
4名gtbc分成体积为匕（三棱柱4修加-阿C的体积），匕的两部 / \/\ \
分,那么匕：匕二.
14 .若把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，则曲
线，+4/= 12围成的平面区域的直径为. （第13题图）
四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15 .（本小题满分13分）
某地5家超市春节期间的广告支出x（万元）与销售额y（万元）的数据如下：
超市 A B C D E
广告支出“ 2 4 5 6 8
A
r
销售额y 30 、40 60 60 70
（1）从A,B,C,D,E这5家超市中随机抽取3家，记销售额不少于60万元的超市个数为X,求
随机变量X的分布列及数学期望E（X）；
（2）利用最小二乘法求y关于4的线性回归方程，并预测广告支出为10万元时的销售额.
/I
£%外 - nxy
附：回归直线y = bx + a的斜率和截距的最小二乘估计分别为J = IS I
n
Z2 — 2
xi - nx
IS I
n
2 3
一元）（% -歹）
-------------------------,a=y-fe.
火（勺—/
i = I
16 .（本小题满分15分）
数列是公比为4•的等比数列，且1-%是由与1+«3的等比中项.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列| -81og2an ）的前n项和为Sn，证明:1+p+p+…+
5 ” 4
榆林市2025届高二数学第=次檄拟检测-3-（共4页）17 .(本小题满分15分)
如图1,已知△/WE为等边三角形，四边形ABCD为平行四边形，BC= 1,80 = 2,胡=3.把
△QE沿4。向上折起，使点E到达点。位置，使得平面以。J•平面P8D,如图2所示.
(1)证明:P4JLP0；
(2)求平面APB与平面PBC夹角的余弦值；
(3)当点Q在线段以(包括端点)上运动时，设
直线8Q与平面PAD所成的角为6,求tan 0的取值
范围.
18 .(本小题满分17分)
已知平面上的动点尸到点尸(1,0)的距离与到直线= 的距离相等，点P的轨迹为曲
线£
(1)求曲线£的方程；
(2)设过点F的直线交E于4 ,笈两点，过点M ( -1,0)的直线M4与E的另一个交点为C,点力
在M与C之间.
(i)证明:线段BC垂直于④轴；
(ii) EAFBC的面积为S,, LMFC的面积为废，求5s25 的取值范围.
19.(本小题满分17分)
帕德近似是法国数学家亨利•帕德发明的，用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整
Pg)
数m/,函数/(%)在”0处的［>川阶帕德近似定义为:R(%) = 其中PmQ)和©(4)分别
Q"("
是血和几次多项式，且满足/(0)=7?(0),广(0) = "(0),/〃(0)=R〃(0)U・・/m+")(0)=WZ(0).
其中/"⑷=LT⑷]'/"(%)=[/〃(+)]'J⑷⑷=[厂⑷]，，…/⑺⑷为尸-I)(动的导数.已
知/(%)=ln(4+1)在4 = 0处的［1,1］阶帕德近似为R(%) = 件.
1 +bx
(1)求实数。力的值，利用/(X)的［1,1 ］阶帕德近似估计Ini. 2的近似值(结果保留3位有效
数字)；
(2)当-1OW0时J(冕)W旗(4)恒成立，求实数A：的取值范围；
(3)证明：当4>0时/，
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数学试题参考答案及评分标准
一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1 .【命题意图】本题重点考查集合的并集与补集运算，从核心素养的角度也可以考查学生的数学运算、逻辑推
理等核心素养.
【参考答案】D
【试题解析】C〃B=|0,l,5| ,故4U(CuB)= (0,1,2,5|，故选 D.
2 .【命题意图】本题重点考查共粗复数的概念及运算，从核心素养的角度也可以考查学生的数学运算、逻辑推
理等核心素养.
【参考答案】B
【试题解析】z(Z+2i)= (2+i)(2-i+2i)=3+4i,虚部为4,故选B.
3 .【命题意图】本题重点考查正切函数的图象与性质,考生可以根据正切函数的单调性解不等式从而确定单调
区间,从核心素养角度来看，本题主要考查学生数学运算和逻辑推理能力.
【参考答案】C
［试题解析］由-费•+如＜2*-作＜小+脑1可得：＜答+,，&w Z,故选C.
4 .【命题意图】本题重点考查平面向量的平行及模的运算，从核心素养的角度也可以考查学生的数学运算、逻
辑推理等核心素养.
【参考答案】A
【试题解析】由得，入=-6,故| b-a |= | (-3,2) |= /IT,故选A.
5 .【命题意图】本题重点考查双曲线离心率的计算，考生可以借助以焦点为圆心的圆与渐近线相切的位置关系
寻找解题突破口，从核心素养角度来看，本题主要考查学生数频算和逻辑推理能力.
【参考答案】B
【试题解析】因为圆心『(c,0),半径为“，双曲线的渐近线方程为"土c=0,所以=皿二=与=〃=6贝U双曲
线的离心率e = £ = ",故选B.
a
6 .【命题意图】本题重点考查了弧长公式、等差数列的求和公式,考生可以宜接利用弧长公式、等差数列的求和
公式求解，从核心素养的角度来看,本题可以考查学生的数学运算和逻辑推理的核心素养.
【参考答案】B
【试题解析】弧C41,AHHa，…，//，/凝 的长度分别为:争,2x争,3X竽册……,30x等,此数歹ij
是半a为首项，争a为公差，项数为30的等差数列,则根据等差数列的求和公式得:该数列前30项的和为
5兑=30'争+却1%争=310优1,故选B.
7 .【命题意图】本题重点考查三角函数/=/1痴(3+3)(力＞0,3＞0,0＜伊＜5)的模型应用，考生可以根据函数/ =
痴1(创+伊)(/1＞0皿0,0＜3节)的显值、周期确定4," 的值，很好的体现了数学的应用价值，旨在突出理
」 主 一--
榆林市2025届高三数学第三次模拟检摘J-答案-1 (共8'页)性思维、数学应用，培养考生数学抽象、数学建模等核心素养.
【参考答案】D
【试题解析】由图象得，电流的最大值和最小值分别为10和-10,可得4 = 10.由周期冽得3= 100%
50 0)
再将点(工^,10)代人 /= 10sin( 100位+3)得 sin(-+y)= 1，所以1•+夕==+24孤,伊=；+2人”,4 w Z.因
300 3 3 2 6
为0<3(冬，所以仁0,3=:,/= 10sin( 100E+；).将，=工代入得/= lOsin(t+；)= 54，故选D.
2 6 6 200 2 6
8 .【命题意图】以三角函数与一次函数为载体,考查函数的最值与三角函数的单调性等基础知识，渗透转化与
化归的思想.从核心素养的角度看，本题可以考查学生直观想象、逻辑推理等核心素养.
【参考答案】D
【试题解析】解法1：因为广(“)= 1+sinQO,所以/(%)在R上单调递增,又因为/(0)=0/(*)Q+a+b2)才0,
所以当 “<0 时 J(*)<0/+a+6-2W0,a+Z>-2WO,当 ”>0 时 J(")>0,4+a+Z>-2N0,a+6-2N0,所以 a+6-2 = 0,
Va2+(2-a)2 =产+2,因此当a= 1时，■取得锻小值及■，故选D.
解法2：因为广(*)= 1+sin *N0,所以/(#)在R上单调递增,又因为/(0)= 0,所以当x<0时J(*)<0,当%>0
时J(*)>0,因此/(")= *-cos*+l与函数y = *符号相同，原不等式等价于”(r+.+"2)N0在R上恒成立,
因此a+Z>-2 = 0,设点P(a,b)，厕点P在直线”+厂2 = 0上，因此\OP\= 6次才四"乌=笈，故选D-
712 + 12
解法3：因为广(r)= 1+sin20,所以/(a)在R上单调递增J⑷零点为。，又因为尸”+行〃-2单调递增，零
点为2”6,因此2-a-kO, 才争/"+〃)2 =及;当且仅当"=/,=］时取等号，故选D.
解法4：设g(*)=/(*)(*+Q+〃-2),则g(“)NO也成立，因为g(0)=0,所以* = 0为函数g⑷的极小值点，因
此 g'(0)= 0,又因为 g'(*)= (1+sin x) (x+a+b-2) +(x-^cos x+\)，所以 a+Z>-2=0,当 a+b-2=0 时,g(a) =叭％),由解
法1知，当*<0时/(了)<0,即g(%)>0,当时/⑷即g(”)R,满足题意.因此。+/>-2=0,下同解法1.
解法5：设g(#)=/(4)(#+a+6-2)，则g(%)20恒成立，因为g(2-a-6)= 0,所以x = 2-a-b为函数g(%)的极
小值点，因此g'(2-a-〃)=0,又因为/(%)= (1+sin *) (*+a+6-2)"),所以/(2-a-6) = 0,由解法 1 知
/(%)在R上单调递增，且/(0)=0,因此2-a-6 = 0,下同解法1.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分,
部分选对的得部分分，有三个正确选项的，每个选项2分，有两个正确选项的，每个选项3分，有选错的得。分.
9 .【命题意图】本题重:点考查了椭圆的定义和焦点三角形等性质，从核心素养的角度来看，本题可以考查学生
的数学运算、直观想象和逻辑推理的核心素养.
【参考答案】AC
【试题解析】椭圆C：^+2= 1的长半轴长。=5,短半轴长〃 =4,半焦距c = 3,所以| |+ | PF2 | = 2a = 10,2a
25 16
+2c=16,A正确；因为|PK L「a-c = 2,B错误;设△/>3心的顶点玖”。,为)，则I九底4, △尸工色的面积S
=/1 K尸2 11yoi (4c= 12,可得△P/出 面积的最大值Snm, = 12, C正确；对于D选项，设存在点。(与，九)，
使得。尸1，。尸2，贝^成・耐=(3+3,)'0)- (3-3,%)=0,即君一9+我=0,又蓑+圣=1,得照+7=0,无解，D
25 10 23
错误(也可由6>c知，以线段FE为直径的圆与椭圆C无交点可得:不存在点P,使PK _LPB),故选AC.
10 .【命题意图】本题重点考查三角恒等变换、解三角形知识,考生可以根据三角恒等变换、正余弦定理、三角形
的面积公式解答此题.从核心素养的角度来看,本题可以很好地考查学生的数学运算和逻辑推理的核心
素养.
榆林市2025届高二数学第匚次横被枪洌I-答案-2(# H币)【参考答案】ABC
(试题解析］由6-2a+4flsin2”^ = 0得6+2acos C=0,Cg (0,tt) ,cos。=-3<0,角C为钝角,A正确;结合余
2 2a
弦定理可得:〃+2«x必"duOd+z/4MO B正确;结合正弦定理可得:sin fi+2sin Acos C=0,所以sin(/l+C) +
2ab
2sin 4cos C = 0,3sin /Icos C+cos 4sin C=0,而 cos 4cos CXO,故 3tan 4+lan C=O,C 正确；lan C = -3tan 4<0,
tan 4>0,故 tan B = -tan(4+C)= tan 4：tan 2tan , __2---- 与李，D 错误；故选 ABC.
1-tan 4tan C 1 +3tan24 】 ⑶一 A 3
tan A
11 .【命题意图】本题重点考查函数的单调性，导数的概念，指对数的运算及利用导数研究恒成立问题等知识,
试题入口宽，可以很好地考查学生的数学运算、直观想象和逻辑推理等核心素养.
【参考答案】BCD
【试题解析】解法1：因为对定义域内任意的的声2,都有&2&2<1,所以g(M)=/(%)r在(0,+8)上递
~ 町一42
减，即：/(%)=/(*)T = In x-memx W0,显然 m>0.当 0<4W 1 时,成立；令.(.) = xln xfx> 1，则 0,所以中(4)在(1, + 8 )上递增，* 这 e® ,即：，N In *才如冬令 r(x)=
x
近乏力>1,/•'(%)= । ?”，所以r(纪)在(1初上递增,在(6,+8 )上递减,/nNr(e)= 故选BCD.
x x e
解法2：因为对定义域内任意的阳，叼，都必孙‘'A］，所以/，(“)小1,即］n 於0,贝IJ m>0.当”=
阳F
-时,In 〃i+〃te》O,解得：m 2当小才‘"时'；1|1 x-zne"1'W In 因为 e*N*+l,所以 e~, N*-,*-
m e e e e
2In —+1 =ln x,ln WO 恒成立,故选 BCD.
e
三、填空题:本题共3小题,每小题5分，共15分.
12 .【命题意图】本题考查了分步计数原理，从核心素养的角度来看,本题可以很好地考查学生的数学抽象和逻
辑推理的核心素养.
【参考答案】8】
［试题解析】4名国际友人，每人有三种选择，所以3x3x3x3 = 81种.
13 .【命题意图】本题重点考查了台体的体积运算.从核心素养的角度也可以考查学生的直观想象、数学运算和
逻辑推理的核心素养.
【参考答案】3 ：4
【试题解析】设三棱台44GTBC的高为人,上底面的面积是S,则下底面的面积是4S,
所以展校他叫v = 9(S+2s+4S)=：S2产%所以上尸—=4.
' ' 々-L-sh-Sh
14 .【命题意图】本题以新定义区域直径为背景,考查学生阅读理解和分析与解决问题的关铺能力和数学抽象、
逻辑推理等核心素养.
【参考答案】4
【试题解析】解法1 :设曲线上任意一点(4,y)到坐标原点的距陶为心
贝lj〃= 7?^=好，4#+4)，2 =0,4公+ 12-丁 =。/-(#-2)2 + 16这2,当且仅当/ =2时取等号.因为曲
线?+4/ = 12关于原点对称，所以曲线= L2围成的平面区域的直径为4.
榆林市，工>s届高二和受第二次横扪桧涮-您索-其出：a而)解法2：设曲线上任意一点（叫），）到坐标原点的距离为“，令/ = IZcosZG,/nBsi/e,则d= G+p =
V275" | cos 0 |+3sin20= a/-3cos20+27T | cos 0 |+3 = \ cos 1）2 +4 /2,当且仅当 | cos 0 \ =空时取
等号.因为曲线/+4/ = 12关于原点对称，所以仙线/+4/2 = 12围成的平面区域的直径为4.
四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15 .［命题意图】本题重点根据超几何分布的概率公式求解分布列、进而可求解期望，同时利用最小二乘法求解
线性回归方程，从核心素养的角度来看，本题主要考查学生的数据分析、数学运算、数学抽象和逻辑推理等
核心素养和关犍能力.
【参考答案】见解析
【试题解析】（1）从/1,8,C,O,E这5家超市中随机抽取3家,销售额不少于60万元的超市有这3
家超市, （2分）
（5分）
（6分）
,八一 2+4+5+6+8 -
（2）x=---------= 5 （7分）
30+40+60+60+70
y= = 52, （8分）
5
〉xy- nxy ，（4-%）（%•- y）
金 _ 60+160+300+360+560-5x5x52、 in I
b = =7.（也可用b =
4+16+25+36+64-5x5?
2 % -
几 加 2
1° I
（-3）x（-22）+（-1）x（-12）+0x8+1x8+3x18
=7求解）. （10 分）
（-3）2+（-1）2+02 + 12+32
a=y-fe = 52-7x5 = 17....................... （11 分）
故/关于x的线性回归直线方程为； = 7x+17. .... （12 分）
当 ” 10 时,9=7x10+17 = 87,
故广告支出为10万元时的销售额的预测值为87万元. （13 分）
16.【命题意图】本题重点考查了等比数列的通项公式、裂项相消求和,考生可以利用等比数列的通项公式、裂
项相消求和进行求解、证明，从核心素养的角度来看，本题可以考查学生的数学运算、数学抽象和逻辑推理
的核心素养.
【参考答案】见解析
（试题解析】（1 ）依题可得：（1 -% ） 2 = % （ 1 +% ）, （2分）
即：（）2 = «|（ ） » （3分）
解得巴=/,...........
（4分）
所以% =（£）"..........
（6分）
A-
榆林市2025届高三数学第三次模拟检测-答案-4（共8页）（2）证明:设 6. =-8唾2«/） =8〃，.................................................... （8分）
贝lj S„=4/j（n+l）,........................................................ （10 分）
所以（T（L4r），..................................................
（12 分）
，，4 n zi+1
±.11. .1 1 r/1 1 . z 1 1 - 1 1、 z 1 1、■） I- 1」1
丁+丁 丁+…+丁=7]（ F）（3^-）+（彳一7）+…+（-----r） ] =7（ ]77）<-7~« （15 分）
32 33 ' 4 2 2 3 3 4 n n+1 4 n+l 4
17.【命题意图】本题通过“折登问题”考查线面位置关系，可以定性判断也可以定量计算.考生可以通过线面
位置关系的定性判断得出R1JL3D；通过线面角的定义作出角6,再由DQ的取值范围求得tan 0的取值范
圉;通过建立空间直角坐标系的方法求得平面4PB与平面P8C夹角的余弦值.从核心素养的角度看，本题
可以考查学生直观想象、逻辑推理和数学运算等核心素养.
【参考答案】见解析
【试题解析】（1）证明:如图，设PD的中点为凡连接AF.因为△40。为等边三角
形，所以/4PJLPD又因为平面P4O1■平面PBZ）,且平面aion平面PBD = PD,所
以/1/J■平面PBD.因为8DU平面PB。,所以BDLAF. （2分）
因为 AD = BC=1 ,BD = 2,BA=",所以 AD2+BD2 =朋2,所以 BDA.AD.因为 4OG
平而 P/1O,所以 8D_L 平面 PAD.
又因为R1U平面R4O,所以M4JL8D. ............................... （4分）
（2）由（1）知他1.平面出0,因影的U平面48D,所以平而E40JL平面460. • （5分）
设4。的中点为。，连接P0,则『。山杭又因为平面P40J•平面48。,平面P/l〃n平面45。=40/。（=平面
43。,所以P。，平面/180. （6分）
设48的中点为。',连接00'.因为00'〃的撕以。0'
以。为坐标原点，而，而，湿的方向分别为明下修轴正方向，建立如图所示的空
间直角坐标系.
则 4（；,0,0） ,5（一；,2,0） ,C（-,,2,0） ,P（0,0,平），励 ,0,一争屉
A
（4-2,一争屁=（$2,亨..........................
〜…（7分）
[1 Q
-z=0
m • PA = 0 5F
设平面4P8的法向量/n = （4,y,z），则 尾=0阳 ，取z=2,则平面/1P8的一个法向量
\m • 枭+2厂朱=0
2 2
m = （2冷，& ,2）. （8分）
\ c Q n
-"-a+2b---c = 0
n * PB=O 2 2
设平面PBC的法向量〃 = （q,〃,c）,则 一 即. [ ，取c = 4,则平面PBC的一个法向量
» • PC=Q --^-a+2b-^-c = 0
2 2
〃 =（0,庄,4）,....................... （9分）
e、，। । | m • « | _ | 3+8 | 11
因 为 cos = -rri一। = -7=—= 777, （10 分）
\fn\\n\ yi9x/l9 19
所以平面4PB与平面P8c夹角的余弦值为............................................ （11分）
（3）由（1）知 BOJ■平面 P4O,〃QU平面 PAD,所以 MLDQa= 28Q0,.... -——*（及分）
榆林市2025届高二教学第二次檄拟桧测-卷室-5（共X页）c_BD_ 2
tan v = ................... (13 分)
DQ DQ9
而OQw [亨,1],故land的取值范围为[2,
(15 分)
18.【命题意图】本题重点考查抛物线定义，通过转化思想探究点的位置关系，并通过三次函数的导数求出面积
的取值范围.从核心素养的角度来看，本题可以很好地考查学生的数学抽象、数学运算和逻辑推理的核心
素养.
【参考答案】见解析
【试题解析】(1)设点尸(明外，由于动点P到点尸(1,0)的距离与直线” = -1的距离相等,所以点P的轨迹
是以F(1,0)为焦点/=-1为准线的抛物线. (2分)
设此抛物线的方程是则方=l,p = 2,故曲线E的方程是/=4乂…… (4分)
(2) (i)因为直线AB的斜率不为0,故设AB的方程为“=夕+1,4(O) ,8(町，力)，
x = ly+\
联立 可得：*-4/.y-4 = 0,则 为y2 = -4,y(+y2 = 4z, (7分)
y =4x
一为上力_ %上力_2+2(%+力)_ —8i+8t
=0. (9分)
x, +1 x2 + l 2%+2 %+2 (471 +2)( ly2 +2) (/yt +2)( ly2 +2)
故乙BMF=乙CM心故直线BM与直线CM关于x轴对称，即点B与点C关于“轴对称，所以线段BC垂直
于“轴. ............................................................. (10 分)
(6)由(。可知，(42，-%)，不妨设力＞0,因为点力在M与C之间，所以々＞1,
y
B
，2 ＞2 ,S| = /x2夕2 X ( “2 -1 ) = ( #2 - 1)，2 =亨一力，$2 = ~j~X2)，2 = 71，
贝ij 5s2-S| =6为耳,
(13 分)
M
令/(y)=6y-?(y>2),贝 l]/'(y)=6-芋=/(8-*),令人(力 >0,贝 1]8-/>0,
解得2勺<24；令/'6)<0,8-/<0,解得y>2".则/(y)在(2,26')上单调递
增，在(2及',+8 )上单调递减，........................... (16 分)
/0)"皿=/(2及')=8及■，所以5s2-S1的取值范围为(-8 ,8及 (17 分)
19.【命题意图】本题考查函数的基本求导公式及求导法则，考查利用导数证明不等式、求解不等式恒成立求参
问题;重点考查学生应用所学知识分析问题、解决问题的能力;综合考查考生的逻辑推理、运算求解、独立
思考和创新应用等能力以及数形结合、分类讨论的思想.
【参考答案】见解析
【试题解析】⑴八3击™:一共产")=缶，”X号，
(1分)
因为/'(0)=H'(0) J〃(O)=A"(O),所以。=1,-2向=-1,解得...... (3分)
砍工)=空/nl. 2=/(0. 2) «/?(0. 2) =0. 182.
(4分)
2+x
(2)解法h设山)=/(")-被⑷=ln(㈤)芸(-IW0),则在(T,。］上恒成立.
若〃这0,则g(x) W0显然成立; (5分)
I 4k 1
若 A>O,gz(x) = [x2+4( l-A)x+4( 1-A)]，设 m(x) = x2+4( l-/c)x+4( 1-k) (-l0,m(0)=4(l-A)<0,所以存在唯
一的 *o e (T ,0),使得 m(3) = 0,当％e (与,0)时,/»())<0,即g'(#)<0,g(%)在(g,0)单调递减/e (&,0)时,
g(*)>g(0)=0,与已知矛盾,舍去.
综上，实数A的取值范围为(-8,1］. ............................................ (9分)
解法 2：设 g(#)=/(*)-橘(％)=ln(#+l)-等(-1<4WO),则 g(%)经。在(-1,0］上恒成立.因为 g(0)=0,
2+x
所以 g'(0)m0,lMN0,解得 AWl,................................................ (7 分)
当 AW1 时，g'(工)才'" 、，，0,4(4)在(-1,0)上单调递增/6(-1,0］时,
x+1 (2+x)* (x+l)(2+x)-
g(x) 。仙⑷在(T,。)上单调递增小(T,。)时,
欣,)<加0)=0,即g'(")<0,因此或。)在(-1,0)单i瞰减, (8分)
RWlimg(a)= lim
1 工但±｝即旺1)一= ［ In(㈤ >3］.。= 1.
X-»O JT-*O x lo %-0
综上，实数A的取值范围为(-00,1］. ............. (9分)
解法4：设g(")二/(2-帆(a)=ln(2+1)-篙(-1。这0),
则 g(%)&0 在(-1,0］上恒成立,g'G)=e-7：m，g'(O)=l-A-. .......................(5 分)
x+1 (2+«)
2
当心1时,，(“力」一片:，工\22°依小)在(T，°)上单调递增，* G(-1,O］时，或#)Wg(O) = O,
x+1 (2+x)2 (x+l)(2+x)2
满足题意；..............................................................................(7分)
当 k>l 时,g'(x) =--------- T［x2+4( 1 -k)x+4( 1 -k)］，设 m(x) = x2+4( 1 -k)x+4( 1 -A) ( -1 0遮(0) = 4(1-*)<0,所以存在为一的椀“-1,0),使得
〃“#o)=O,当 ％w(*o,O)时，加(*)<0,即 g'(x)g(O)=O,
与已知矛盾,舍去.
综上，实数A的取值范围为(-8,1 ］. .................................................... (9分)
解法5：由题意知ln(#+l)W丝在(-1,0］上恒成立，因此(*+2)ln("l)-2依这0在(7,0］上恒成立,
2+x
设 g(4)=O+2)ln(*+l)-2 屉(-14 忘 0),则 g(%) &0 在(-1,0］上恒成立.g'(%)=ln(#+l)+±+l-2七
榆林击同高匚物学:谊二次搬地桧剂I-彼索-7/狂女市'令 M%) = g，(")(-lg(O)=O,与已知矛盾,舍去.
综上，实数A的取值范围为(-8,1］. ............................................. (9分)
(3)证法1：要证4>0时，炉>?,即证“lnR>lnU，................................... (10分)
设 /"(%) = "In *,则//(#)= 1 +ln ”，令 /『(%) = 0 得” = 当 0<“<-^时,/1/(*)<0,/“其)单调递减；当">,时,
e e e
本(”)>0,/“")单调递增，因此/2(动.=/“')=-'，......................................(12分)
e e
因此只需证--!->lnU，即证M(W+1)>」-. .............................................. (13分)
e 16 11 e
设 〃(*)=/(*)-/?(*)= ln(*+l)二衿(#>0),则 〃'(*)= ----——>0,u(x)^E(0,+oo )上单调递增,”(")
2+x (x+1)(2+x)
>”(0)=0,即 ln(“+l)>©(*>0), .............................................. (15 分)
2+x
10
令则1"2+1)>—与=上>」~,因此原不等式成立. ............................... (17分)
11 11 5 2.7 e
z+—
11
证法2：要证GO时，炉>U，即证Tn x>\n ....................................... (10分)
16 16
设 h(x) = x\n *,则 //(«)= 1 +ln %,令 /i/(x) = 0 得# = 当时,//(“)<0,人(")单调递减；当 -时,
e v e
〃(r)>O,/“r)单调递增，因此/.«).=/"十)=_0，................................(12 分)
因此只需证」即证」->ln(4+1). ..................................... (14分)
e 16 e 16
由(2)可得:当-14W0 时 J(*)WR("),即 ln(#+l)宓 M，................................. (15 分)
2+x
令”=-当,则因此原不等式成立.................................. (17分)
16 16 2.7 e
榆林市2025届高三数学第三次模拟检测-答案-8(共8页)
