文档内容
2024 年新课标全国Ⅰ卷数学
一、单选题
1．已知集合A= { x∣−5 f(x−1)+ f(x−2)，且当x<3时 f(x)=x，则下列结论中一定正确的是（ ）
A． f(10)>100 B． f(20)>1000
C． f(10)<1000 D． f(20)<10000
二、多选题
9．为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值x =2.1，
样本方差s2 =0.01，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布N
( 1.8,0.12)
，假设推动出口后的亩收入Y服从正态
分布N
( x,s2)
，则（ ）（若随机变量Z服从正态分布N
( u,σ2)
，P(Z 2)>0.2 B．P(X >2)<0.5
C．P(Y >2)>0.5 D．P(Y >2)<0.8
10．设函数 f(x)=(x−1)2(x−4)，则（ ）
A．x=3是 f(x)的极小值点 B．当0 f(x)
11．造型 可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C的一部分.已知C过坐标原点O.且C上的点满足横坐标大于
−2，到点F(2,0)的距离与到定直线x=a(a<0)的距离之积为4，则（ ）A．a=−2 B．点(2 2,0)在C上
4
C．C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D．当点(x ,y )在C上时，y ≤
0 0 0 x +2
0
三、填空题
12．设双曲线C:
x2
−
y2
=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F、F ，过F 作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若
a2 b2 1 2 2
|FA|=13,|AB|=10，则C的离心率为 ．
1
13．若曲线y=ex+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线，则a=
.
14．甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别
标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选
卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的
轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为 .
四、解答题
15．记ABC内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知sinC = 2cosB，a2+b2−c2 = 2ab
(1)求B；
(2)若ABC的面积为3+ 3，求c．
3 x2 y2
16．已知A(0,3)和P3, 为椭圆C: + =1(a>b>0)上两点.
2 a2 b2
(1)求C的离心率;
(2)若过P的直线l交C于另一点B，且ABP的面积为9，求l的方程．
17．如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA= AC =2，BC =1,AB= 3．
(1)若AD⊥PB，证明：AD//平面PBC；42
(2)若AD⊥DC，且二面角A−CP−D的正弦值为 ，求AD．
7
x
18．已知函数 f(x)=ln +ax+b(x−1)3
2−x
(1)若b=0，且 f′(x)≥0，求a的最小值；
(2)证明：曲线y= f(x)是中心对称图形；
(3)若 f(x)>−2当且仅当1 ．
1 2 4m+2 m m 8
