重庆外国语学校2026届高三(上)9月月考(二)
数学试题
注意事项：
1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每题给出的四个选项，只有一项
符合题目要求．
1.已知 ，则
A={x|y=ln(x+1)}，B={y|y=sinx} A∩B=
A.[−1,1)B.[−1,1]C.(−1,1]D.(−1,+∞)
2.函数 的图象大致是
f (x)=(x2−2x)ex
3.已知一扇形的半径为3，周长为10，则该扇形的面积为
A.3B.6C.9D.12
2a
4.“a=1“是“函数f(x)=x+1+ 为奇函数”的
2x−a
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
1
5.某学校有A,B两家餐厅，王同学第1天选择B餐厅就餐的概率是 ，若第1天选择A餐
3
4
厅，则第2天选择A餐厅的概率为 ；若第1天选择B餐厅就餐，则第2天选择A餐厅的概
5
3
率为 ；已知王同学第2天是去A餐厅就餐，则第1天去A餐厅就餐的概率为( )
5
3 8 1 1
A. B. C. D.
11 11 5 3
1 1
6.已知a>0,b>0，若ea−1−e−2b=1−a−2b，则 + 的最小值为
b ab
A.3B.3+2√2C.6D.6+4√2
√3 1 3π 3π
7.已知sinα= ，cos(α−β)= ，且0<α< ,0<β< ，则sinβ=
3 3 4 4
2√3 5√3 √3 5√3 √3
A. B. C. D. 或−
9 9 3 9 3
π
8.将函数f (x)=sinx的图象先向右平移 个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原
3
1 π 3π
来的 (ω>0)倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在 ( , ) 上没有
ω 2 2零点，则ω的取值范围是
A. (0, 2 ] ∪ [2 , 8 ] B. (0, 8 ] C. (0, 2 )∪ [8 ,1 ] D.(0,1]
9 3 9 9 9 9
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．
1 1 7
9.设A,B是一次随机试验中的两个事件，且P(A)= ,P(B)= ,P(AB∪AB)= ，则
3 4 12
A.P(AB∪AB)=P(AB)+P(AB)B.A,B相互独立
2
C.P(A∪B)= D.P¿
3
10.已知a, b, c分别为△ABC内角A, B, C的对边，下面四个结论正确的是
A.若acosA=bcosB，则△ABC为等腰三角形
B.在锐角△ABC中，不等式sinA>cosB恒成立
π
C.若B= , a=2√3，且△ABC有两解，则b的取值范围是(2, 2√3)
3
D.若∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，BD=1，则4a+c的最小值为9
11.函数f(x)=kx−|sinx|在(0,+∞)上有两个零点α,β(α<β)，下列说法正确的是
A. (5π 3π)B. sinα+sinβ
β∈ , tanβ−α=
4 2 k
C. ( π) 1+βD. 在 上有2个极值点 且
tan β+ = f(x) (0,2π) x ,x (x <x ) x −x =π
4 1−β 1 2 1 2 2 1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.
√3tan12°−3
.
=
(4cos212°−2)sin12°
13.函数 ( π)的部分图象如图所示,现将此图象向左平
f (x)=Asin(ωx+φ) A>0,ω>0,|φ|<
2
π
移 个单位长度得到函数g(x)的图象,则函数g(x)的解析式为 .
12
14.设定义域为 的函数 的导函数为 ，对任意的 有 恒
R f (x) f′(x) x∈R f (x)−f (−x)=2sinx
π
成立，且f′(x)>cosx在(0,+∞)上成立.若f ( −t ) −f (t)>cost−sint，则实数t的取值
2
范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．π
15.(本小题满分13分)设f(x)=sinxcosx−cos2 (x+ ).
4
(1)求f(x)的单调区间；
A
(2)在锐角ΔABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f( )=0,a=1,求ΔABC面积的最
2
大值.
1
16.(本小题满分15分)已知函数f(x)=ex− ax2+sin2x，a∈R.
2
(1)若a=1，讨论函数f(x)在[0,+∞)上的单调性；
1
(2)若a∈N，当x≥1时，f(x)≥a(x− x2 )恒成立，求a的最大值.
2
17.(本小题满分15分)如图1，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠ADC=90∘，BC=4
，AD=3，∠BAD=120∘，点M在AD上，且AM=AB=2.将△ABM沿BM折起，使得平
面ABM⊥平面BCDM，如图2.
(1)求四棱锥A−BCDM的体积；
PC 3
(2)若点P在图2中线段AC上，且 = ，证明：PD//平面ABM.
AC 4
(3)求直线AD与平面ABC所成角的正弦值.
18.(本小题满分17分)蝗虫能对农作物造成严重伤害，每只蝗虫的平均产卵数y(单位：个)
和平均温度x(单位：℃)有关.现收集到一只蝗虫的产卵数y(个)和温度x(℃)的8组观测数
据，制成图1所示的散点图.现用两种模型①y=ebx+a，②y=cx2+d分别进行拟合，由此
得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图.
根据收集到的数据，计算得到如下值：
8 8 8 8
x z t ∑(x −x) 2 ∑(t −t) 2 ∑(z −z)(x −x) ∑(y −y)(t −t)
i i i i i i
i=1 i=1 i=1 i=1
24 2.9 646 168 422688 50.4 703088 8
表中 ， 1 ， ， 1 ；
z =ln y z= ∑ z t =x2 t= ∑t
i i 8 i i i 8 i
i=1 i=1
(1)根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，模型_____比较合适？根据所选择的模型，
利用上表中的参考数据，求出y关于x的回归方程.
(2)根据以往统计，该地每年平均温度达到30℃以上时蝗虫会对农作物造成严重伤害，需
要人工防治，其他情况均不需要人工防治.设该地每年平均温度达到30℃以上的概率为
，该地今后 年恰好需要2次人工防治的概率为 .
p(0<p<1) n(n≥3,n∈N*) f (p)
①求f (p)取得最大值时对应的概率p ；
0
②当f (p)取最大值时，设该地今后5年需要人工防治的次数为X，求X的均值和方差.
附：对于一组数据 ，其回归直线 的斜率和截距的最小
(u ,v ),(u ,v ),⋯(u ,v ) v^=^βu+α^
1 1 2 2 n n
i=1
∑❑(u −u)(v −v)
i i
二乘估计分别为：^β= n ， α^=v−^βu .
i=1
∑❑(u −u) 2
i
n
x2 y2
19.(本小题满分17分)已知曲线C: − =1(b≠0).
4 b
(1)若b=4，求曲线C的离心率；
1
(2)若曲线C的左，右顶点为A ,A ，P是C上第一象限上动点，k ⋅k =− .
1 2 PA 1 PA 2 2
(ⅰ)若tan∠A PA =−3，求点P的坐标；
1 2
(ⅱ)设直线A P与定直线l:x=6的交点为M，直线M A 与曲线C的另一个交点为Q，求
1 2
|PQ|的最小值.答案
1-8CBBABDBA
9-11AB BD ACD
π
( )
12.−4√3 13.g(x)=2sin2x 14. −∞,
4
π
1+cos(2x+ )
15.(1)由题意知 sin2x 2 sin2x 1−sin2x 1
f(x)= − = − =sin2x−
2 2 2 2 2
π π π π
由− +2kπ≤2x≤ +2kπ,k∈Z 可得− +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z
2 2 4 4
π 3π π 3π
由 +2kπ≤2x≤ +2kπ,k∈Z 可得 +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z
2 2 4 4
π π
所以函数f(x) 的单调递增区间是[− +kπ, +kπ](k∈Z) ；单调递减区间是
4 4
π 3π
[ +kπ, +kπ](k∈Z)
4 4
A 1 1 √3
(2)由f( )=sin A− =0, 得sin A= 由题意知A为锐角，所以cosA=
2 2 2 2
由余弦定理：a2=b2+c2−2bccosA可得：1+√3bc=b2+c2≥2bc
即：bc≤2+√3, 当且仅当b=c时等号成立.
1 2+√3 2+√3
因此 bcsin A≤ 所以ΔABC面积的最大值为
2 4 4
1
16.(1)当a=1时，f(x)=ex− x2+sin2x，求导得f′ (x)=ex−x+sin2x，
2
令函数 ，求导得 ，
g(x)=ex−x,x>0 g′ (x)=ex−1>0
则函数g(x)在[0,+∞)上单调递增，g(x)≥g(0)=1，即ex−x≥1，当且仅当x=0时取等
号，
当 时， ，所以函数 在 上单调递增.
x>0 f′ (x)>1+sin2x≥0 f(x) [0,+∞)
1 ex+sin2x
(2)当x≥1时，不等式f(x)≥a(x− x2 )⇔ex+sin2x≥ax⇔a≤ 恒成立，
2 x
令函数 ex+sin2x ，求导得 ex (x−1)+xsin2x−sin2x ，
ℎ(x)= ,x≥1 ℎ ′ (x)=
x x2
令 函 数 ， 求 导 得
φ(x)=ex (x−1)+xsin2x−sin2x,x≥1
，
φ′ (x)=xex+2xcos2x=x(ex+2cos2x)
而 ，则 ，函数 在 上单调递增，
ex+2cos2x≥e+2cos2x>0 φ′ (x)>0 φ(x) [1,+∞)
则
1 π 1 π
φ(x)≥φ(1)=sin2−sin21=2sin1(cos1− sin1)>2sin1(cos − sin )>0
2 3 2 3， ，
ℎ
′ (x)>0
函数 在 上单调递增， ，则 ，
ℎ(x) [1,+∞) ℎ(x)≥ℎ(1)=e+sin21 a≤e+sin21
√2 π π √3 1 3
而 =sin <sin1<sin = ，即 <sin21< ，因此3<e+sin21<4，又a∈N，
2 4 3 2 2 4
所以a的最大值为3.
17.(1)过点A作AF⊥BC，垂足为点F，取BM的中点O，连接AO.
由AM=AB，可知AO⊥BM.
又因为平面ABM⊥平面BCDM，平面ABM∩平面BCDM=BM，AO⊂平面ABM，所
以AO⊥平面BCDM.
由 ， ，得 ，
AM=AB=2 ∠BAD=120∘ BM=√22+22−2×2×2cos120°=2√3
1
AO= AB=1.
2
在直角梯形ABCD中，因为∠BAD=120∘，AB=2，
所以∠ABC=60∘，CD=AF=2×sin60∘=√3，
1 1 5√3
S = (DM+BC)⋅CD= (1+4)⋅√3= .
BCDM 2 2 2
1 1 5√3 5√3
所以四棱锥A−BCDM的体积为V = S ⋅AO= × ×1= .
A−BCDM 3 BCDM 3 2 6
(2)过点D作DE∥BM交BC于点E，连接PE.
因为DE⊄平面ABM，BM⊂平面ABM，所以DE//平面ABM.
PC 3 CE
因为MD//BC，所以四边形DEBM是平行四边形，则DM=BE，所以 = = ，
AC 4 CB
所以PE//AB，同理可证PE//平面ABM.
因为DE∩PE=E，所以平面PDE//平面ABM.
又因为PD⊂平面PDE，所以PD//平面ABM.
(3)取BC的中点H，连接OH.
在△BOH中，由BH=2，BO=√3，∠OBH=30∘，可得HO=1.
因为OB2+OH2=BH2，所以OH⊥BO.
以O为原点，⃗OB，⃗OH，⃗OA的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直
角坐标系，则 ， ， ，
A(0,0,1) B(√3,0,0) H(0,1,0)
由点 和 的坐标可求得 ， ( 3√3 1 )，
B H C(−√3,2,0) D − , ,0
2 2
所以 ( 3√3 1 )， ， .
⃗AD= − , ,−1 ⃗AB=(√3,0,−1) ⃗AC=(−√3,2,−1)
2 2
设平面ABC的法向量为⃗n=(x,y,z)，
则 取 ，得 .
¿ x=1 ⃗n=(1,√3,√3)设直线 与平面 所成的角为 ，则 |⃗AD⋅⃗n| 2√3 √42，
AD ABC θ sinθ= = =
|⃗AD||⃗n| √8×√7 14
√42
所以直线AD与平面ABC所成角的正弦值为 .
14
18.(1)模型①更合适，理由如下：
模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状区域宽
度窄，
所以模型①的拟合效果更好，故选模型①比较合适.
令z=ln y，则^z=a^+b^x，
8
∑(x −x)(z −z)
i i
由所给的参考数据可得， b^= i=1 = 50.4 =0.3 ，
8 168
∑(x −x) 2
i
i=1
所以a^=z−b^x=2.9−0.3×24=−4.3，
因此z关于x的线性回归方程为^z=0.3x−4.3，即ln y=0.3x−4.3，
所以产卵数y关于温度x的回归方程为y=e0.3x−4.3.
(2)①由题意得，
f(p)=C2p2 (1−p) n−2 (0<p<1,n≥3,n∈N∗)
，
n
所以
f′ (p)=2C2p(1−p) n−2−(n−2)C2p2 (1−p) n−3
n n
，
=C2p(1−p) n−3 [2(1−p)−(n−2)p]=C2p(1−p) n−3 (2−np)
n n
令 ，得 2，当 ( 2)时， ，当 (2 )时， ，
f′ (p)=0 p= p∈ 0, f′ (p)>0 p∈ ,1 f′ (p)<0
n n n
所以 在( 2)上单调递增，在(2 )上单调递减，
f(p) 0, ,1
n n
2
所以f(p)取得最大值时对应的概率p = (n≥3,n∈N∗)；
0 n
2
②由①知，当p = (n≥3,n∈N∗)时，f(p)取最大值，
0 n
2
所以当n=5时，p = ，
0 5
2 2
由题意可知每年需要人工防治的概率为p= ，且X服从二项分布B(5, )，
5 5
2 2 2 6
所以E(X)=np=5× =2，D(X)=np(1−p)=5× ×(1− )= .
5 5 5 5
x2 y2
19.(1)若b=4，则曲线C: − =1，所以曲线为双曲线，
4 4
c √4+4
离心率e= = =√2.
a 2(2)设 P(x ,y ) ，则
x2
0−
y2
0=1⇒
y2
0 = b，
0 0 4 b x2−4 4
0
又 A (−2,0),A (2,0) ， k ⋅k = y 0 ⋅ y 0 = y2 0 =− 1 = b，解得 b=−2 ，
1 2 PA 1 PA 2 x +2 x +2 x2−4 2 4
0 0 0
x2 y2
即曲线C: + =1，
4 2
(ⅰ)设直线 倾斜角分别为 ，则 ，
PA ,PA α,β k =tanα,k =tanβ
1 2 PA PA
1 2
由题可知β>α，∠A PA =β−α，
1 2
tan∠A PA =tan(β−α)= tanβ−tanα = k PA 2 −k PA 1 =−3 ，联立 k ⋅k =− 1，
1 2 1+tanαtanβ 1+k k PA 1 PA 2 2
PA PA
1 2
1
解得k = ,k =−1，即¿，
PA 1 2 PA 2
所以点 的坐标为(2 4).
P ,
3 3
(ⅱ)设 ， ，
P(x ,y ),Q(x ,y ) M(6,t)
1 1 2 2
则由A (−2,0),A (2,0)，得
1 2
t t ，即 2y y .
k =k = ,k =k = ,k =2k 1 = 2
A 1 P MA 1 8 A 2 Q A 2 M 4 A 2 Q A 1 P x +2 x −2
1 2
1
且k ⋅k =k ⋅2k =2×(− )=−1，
A 2 P A 2 Q A 2 P A 1 P 2
由题意知，直线PQ不与y轴垂直.
设直线PQ:x=my+t,t≠±2，
联立方程 ，消去x可得 ，
¿ (m2+2)y2+2mty+t2−4=0
则 ，解得 ，
Δ=4m2t2−4(m2+2)(t2−4)=8(2m2+4−t2 )>0 2m2+4>t2
且 −2mt t2−4，
y + y = ,y y =
1 2 m2+2 1 2 m2+2
y y y y
则 k ⋅k = 1 ⋅ 2 = 1 2 =−1 ，
A 2 P A 2 Q x −2 x −2 m2y y +m(t−2)(y + y )+(t−2) 2
1 2 1 2 1 2
整理可得 ，
(m2+1)y y +m(t−2)(y + y )+(t−2) 2=0
1 2 1 2
则 t2−4 −2mt ，
(m2+1) +m(t−2) +(t−2) 2=0
m2+2 m2+2因为 ，则 t+2 −2m2t ，
t≠±2 (m2+1) + +t−2=0
m2+2 m2+2
2 2
化简得t= ，则直线PQ:x=my+ ，
3 3
所以直线 过定点(2 ).
PQ ,0
3
故直线PQ斜率存在时，
|PQ|=√1+m2√(y + y ) 2−4 y y =√1+m2
√ (−2mt) 2
−
4(t2−4)
1 2 1 2 m2+2 m2+2
2√2(2m2+4−t2
)，
=√1+m2
m2+2
2
代入t= 得，
3
4 √9m2+16 4 √(m2+1)(9m2+16)
|PQ|= √1+m2 = ，
3 m2+2 3 (m2+2) 2
(m2+1)(9m2+16) (u−1)(9u−2)
令 m2+2=u(u≥2) ，则 = ，
(m2+2) 2 u2
则 (u−1)(9u−2） 2 11 ，其中 1 1，
f(u)= = − +9 0< ≤
u2 u2 u u 2
1 1 8
故当且仅当 = ，即m=0时f(u) =4，即|PQ| = ，
u 2 min min 3
8
故当直线PQ斜率不存在时，|PQ|取最小值，最小值为 .
3
