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咸阳市实验中学 2025-2026 学年度高三第二次质量检测
数学试题
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个
选项是正确请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上）.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出集合 B，再根据集合交集运算即可得答案
【详解】由 ，可得 ，所以 ，
所以 .
故选：B
2. 已知向量 的夹角为 ，且 ，则 （ ）
A. 6 B. C. 3 D.
【答案】A
【解析】
【分析】由平面向量减法的几何意义，结合平面几何的知识可解.
【详解】在边长为 6 的等边三角形 中，设 ，
则 ，故 .
故选：A
3. 在正方体 中， 分别为 、 、 、 的中点，则异面直线 与
第 1页/共 20页所成的角等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接 ，异面直线 与 所成的角是 或其补角，由正方体性质即可得结
论.
【详解】如图，连接 ，
由题意 ，
所以异面直线 与 所成的角是 或其补角，
由正方体性质知 是等边三角形， ，
所以异面直线 与 所成的角是 .
故选：B.
4. 已知函数 是定义在 上的奇函数，且 在 上单调递增，若 ，
， ，则 a，b，c 的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用奇函数的性质把自变量变成大于 的数，再利用中间值法比较自变量的大小即可得出答案.
【详解】因为 是定义在 上的奇函数，
所以 ，
第 2页/共 20页又因为 在 上单调递增，且 ， ，
，
所以 ，所以 .
故选：D
5. 设 ， .若 是 与 等比中项，则 的最小值（ ）
A 2 B. 4 C. D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】 是 与 的等比中项，可得 ．利用 及其基本不等式
的性质即可得出．
【详解】解： 是 与 的等比中项，
，
．
， ．
，当且仅当 时取等号．
的最小值为 ．
故选：B．
【点睛】本题考查了等比数列的性质、变形利用基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中
档题．
6. 已知函数 的定义域为 ，且满足 为偶函数，当 时，
，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
第 3页/共 20页【分析】先根据条件确定函数的对称性和周期性，再利用待定系数法列方程组求出 ，进而
利用对称性和周期性求 即可.
【详解】因为 ①，
所以函数 的图象关于点 对称.
因为 为偶函数，所以 ②，
则函数 的图象关于直线 对称.
由①②得 ，则 ，
故 的周期为 4，所以 .
由 ，令 ，得 ，即 ③，
已知 ，由函数 的图象关于直线 对称，
得 .
又函数 的图象关于点 对称，得
所以 ，即 ，所以 ④，
联立③④解得 ， ，
故当 时， .
由 的图象关于点 对称，
可得 .
故选：A.
7. 已知 是定义在 上的奇函数，当 、 且 时，都有 成
立， ，则不等式 的解集为（ ）
A. B.
第 4页/共 20页C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】对 进行变形，得出函数 的单调性，再利用函数的单调性和
奇偶性解不等式.
【详解】由 可得 ，设函数 ， ，
则 在 上单调递增，
又因为 为定义在 上的奇函数， ，所以 为偶函数， 在 上
单调递减，
而不等式 ，
又因为 ，所以 ，
所以不等式的解集为 .
故选：B
8. 若关于 x 的不等式 对 恒成立，则实数 a 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【 分 析 】 利 用 同 构 得 到 ， 当 时 ， 满 足 要 求 ， 当 时 ， 令
， 则
在 上 恒 成 立 ， 求 导 后 得 到 函 数 单 调 性 ， 从 而 得 到 ，
构 造
，求导得到单调性，进而得到 ，得到答案.
【详解】由 可得 ，即 ，
第 5页/共 20页当 时， ，不等式 在 上显然成立；
当 时，令 ，则 在 上恒成立，
由 ，在 上 ，所以 在 上单调递增，
又 时， ， ，所以只需 在 上恒成立，
即 恒成立．
令 ，则 ，即 在 上单调递增，
其中 ，
故 ，
所以此时有 ．
综上， ．
故选：C．
【点睛】导函数求解参数取值范围，当函数中同时出现 与 ，通常使用同构来进行求解，本题难点是
不等式变形为 ，从而构造 进行求解.
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求，全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则（ ）
A. 当 时，
B. ，都有
C. 函数 有两个零点
D. 函数 在区间（-1，0）上单调递减
【答案】AD
【解析】
【分析】设 ，则 ，得到 ，可判定 A 正确；利用导数求得函数
单调性，得出函数 的值域，可判定 B 不正确；令 ，求得函数 的零点格式，可判
第 6页/共 20页定 C 错误；当 时，求得 恒成立，可判定 D 正确.
【详解】对于 A 中，设 ，则 ，
因为函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，
则 ，所以 A 正确；
对于 B 中，当 时， ，可得 ，
令 ，可得 ；令 ，可得 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
当 时，函数 取得极小值，也是 上最小值 ，
所以，函数 在 满足 ，
又因为函数 为奇函数，图象关于原点对称，且 ，
所以函数 的值域为 ，所以 B 不正确；
对于 C 中，当 时， ，令 时，可得 ；
当 时， ，令 时，可得 ；
又因为函数 是定义在 上的奇函数，可得 ，
综上可得，函数 有三个零点，所以 C 错误；
对于 D 中，当 时，函数 ，可得 ，
所以函数 在区间 上单调递减，所以 D 正确.
故选：AD.
10. 已知 P 是圆 C： 上的一个动点，过原点 O 的动直线与圆 C 交于 M，N 两点，则
下列说法正确的是（ ）
A. |OP|的最大值为 B. |OP|的最小值为
C. |MN|最大值为 6 D. |MN|最小值为 2
【答案】ABC
【解析】
第 7页/共 20页【分析】根据题意可得：所以 ， ，计算可得 A，B 选项，设圆心 C 到
直线 的距离为 ,结合图形可知：当 为直径时， ，当 时， ,结合弦
长公式即可求出 的最小值和最大值.
【详解】由于 P 是圆 C： 上的一个动点，过原点 O 的动直线与圆 C 交于 M，N 两点,
所以点 在圆 内，
所以 ，故 A 正确；所以 ，故 B 正确；
设圆心 C 到直线 的距离为 ,则 ,当 为直径时， ，所以
,故 C 正确；
由于 时 ,所以 ,故 D 不正确；
故选：ABC
11. 已知函数 ，方程 有三个不同的实根 ， ， ，则（ ）
A. 方程 有两个不同的实根
B.
C. 是方程 的一个根
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】画出函数的图象，结合图像可得 有两个不同的解 且 ， ，从而可判断
A 的正误，同样结合图形求出 的范围后可判断 B 的正误，将 代入计算后可判断 C 的正误，根据方
第 8页/共 20页程的解的传递性可用 表示 后根据单调性可求范围，从而可判断 D 的正误.
【详解】令 ，考虑 的解.
的图象如图所示：
对于 A，因为 有 3 个不同的解，故 有两个不同的解 ，
且 ， ，故 A 正确.
对于 B，由 A 的分析可得 ，故 B 错误.
对于 C，由 A 的分析结合图象可得： 有两个不同的解，
故 且 ，故 ，
故 是方程 的一个根，故 C 正确.
对于 D，由 A 的分析可得 有两个不同的解，不妨设为 ，
有唯一解，不妨设为 ，
则 ， ，故 ，
故 ，
而 即 ，
所以 ，
记 ，则 ，
故 在 上单调递增，故 ，D 正确.
故选：ACD.
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分.共 15 分）
12. 等比数列 中， ，则 的前 4 项和等于______．
第 9页/共 20页【答案】5
【解析】
【分析】根据给定条件，利用等比数列项间关系列式求出公比，进而求出前 4 项和.
【详解】设等比数列 的公比为 ，由 ，得 ，
解得 ，因此 ，
所以 的前 4 项和等于 5.
故答案为：5
13. 已知 ，则 ＝______．
【答案】12
【解析】
【分析】由二项式展开式通项求解.
【详解】二项式 的展开式通项为 ，
当 时， ，
所以 ，
故答案为：12.
14. 若二次函数 的图象与曲线 ： 存在公切线，则实数 的取值范
围是________.
【答案】
【解析】
【分析】设公切线与 、 的切点坐标，由导数的几何意义，斜率公式化简，分理出 后构造函数，
利用导数判断单调性，求出最值即可求解.
【详解】由 可得 ，
由 可得 ，
设公切线与 的图象相切于点 ，
第 10页/共 20页与 的图象相切于点 ，
所以 ，即 ，
可得 或 ，
因 ， ，则 ， ，即 ，
， ，
令 ，可得 ，
由 可得 ；由 可得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，
所以实数 的取值范围是 ，
故答案为： .
四、解答题（本题共 5 小题，第 15 题满分 13 分，第 16 题、第 17 题满分 15 分，第 18 题、
第 19 题满分 17 分，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 已知二次函数 的最小值为 ，且关于 的不等式 的解集为
（1）求函数 的解析式；
（2）若函数 与 的图象关于 轴对称，且当 时， 的图象恒在直线 的上方，
求实数 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
第 11页/共 20页【分析】（1）利用两根式设出二次函数解析式，代入条件即可.
（2）转化成恒成立问题求最值即可.
【小问 1 详解】
因为 是二次函数，且关于 的不等式 的解集为 ，
所以 ，
所以当 时， ，所以 ，
故函数 的解析式为 .
【小问 2 详解】
因为函数 与 的图象关于 轴对称，
所以 ，
当 时， 的图象恒在直线 的上方，
所以 ，在 上恒成立，
即 ，所以 ，
令 ，则 ，
因为 (当且仅当 ，即 时，等号成立)，
所以实数 的取值范围是 .
16. 如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ， 为 的中点．
（1）证明： 平面 ；
（2）若点 均在以 为球心，2 为半径的球面上．
（i）证明： ；
第 12页/共 20页（ii）求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）（i）证明见解析（ii）
【解析】
【分析】（1）取 中点 ，连接 ，证明四边形 为平行四边形，得出 ，由线面平行判
定定理得证；
（2）（i）证明 两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法证明线线垂直（ii）根据线面角的
公式求解即可.
【小问 1 详解】
取 中点 ，连接 ，
分别为 中点，
，又 ，
，
四边形 为平行四边形，
，又 平面 ， 平面 ，
平面 .
【小问 2 详解】
（i） 均在以 为球心，2 为半径的球面上，
为球的直径， ，
，
，
平面 ， 平面 ，
， ，即 两两垂直，
以 为坐标原点，分别以 方向为 轴的正方向建立空间直角坐标系，
第 13页/共 20页设 ，则 ，
，
由 可得 ，解得 或 （舍去），
， ，
，即 .
（ii）设直线 与平面 所成角为 ，
由 ，平面 的一个法向量 ，
则 .
17. 已知椭圆 的右焦点为 ，离心率为 .
（1）求 的方程；
（2）已知点 ，直线 过 且与 交于 ， 两点，若 ，求 的方程.
【答案】（1）
（2） 或 或
【解析】
【分析】（1）利用椭圆的几何性质分别求出 ， ，从而求出椭圆 C 的方程；
（2）通过将已知条件与椭圆和直线的基本性质结合，可以建立方程，利用点到直线距离相等的条件，巧妙
地结合椭圆和直线的性质即可求解.
第 14页/共 20页【小问 1 详解】
右焦点为 ，离心率为 ，
由椭圆的性质知，焦距 ，因此 ；
离心率公式为 ，解得 ；
再根据椭圆的定义 ，代入 和 的值，可以求得 .
因此，椭圆 的方程为 .
【小问 2 详解】
当直线 l 的斜率不存在时,显然不满足题意.
当直线 l 的斜率存在时,
① 当斜率为 0 时，过 的直线 的方程为 ,此时 ，符合题意；
②当斜率不为 0 时，设直线 的方程为 , ,
联立 ,消去 y,整理得 ，
所以 ， ，
设线段 AB 的中点为 ，
则 ，
,
因 ，而 ，
所以 ,所以 ，
即 ,解得 或 1,
第 15页/共 20页所以直线 的方程为 或 .
综上所述,直线 的方程为 或 或
【点睛】在求解这类问题时，关键在于理解椭圆的基本性质，包括焦距、离心率、椭圆方程的构造，以及
直线与椭圆相交时的条件。通过将已知条件与椭圆和直线的基本性质结合，可以建立方程，进而求解问题。
在第二问中，利用点到直线距离相等的条件，巧妙地结合椭圆和直线的性质，是解题的关键.
18. 某运动员为了解自己的运动技能水平，记录了自己 1000 次训练情况并将成绩（满分 100 分）统计如下
表所示.
成绩区间
频数 100 200 300 240 160
（1）求上表中成绩的平均值及上四分位数（同一区间中的数据用该区间的中点值为代表）；
（2）该运动员用分层抽样的方式从 的训练成绩中随机抽取了 6 次成绩，再从这 6 次成绩中随机选
2 次，设成绩落在区间 的次数为 X，求 X 的分布列及数学期望；
（3）对这 1000 次训练记录分析后，发现某项动作可以优化.优化成功后，原低于 80 分的成绩可以提高 10
分，原高于 80 分的无影响，优化失败则原成绩会降低 10 分，已知该运动员优化动作成功的概率为
．在一次资格赛中，入围的成绩标准是 80 分.用样本估计总体的方法，求使得入围的可能性变
大时 p 的取值范围.
【答案】（1）平均值为 ，上四分位数为 ；
（2）分布列见解析，数学期望为 ；
第 16页/共 20页（3） .
【解析】
【分析】（1）根据平均值计算公式和上四分位数计算方法即可得到答案；
（2）写出 的可能取值，再分别计算出其分布列，最后再利用数学期望公式即可；
（3）法一：利用互斥事件加法公式和全概率计算公式得到关于 的表达式，从而得到不等式，解出即可；
法二：根据比例法得到相关概率表达式，解出不等式即可.
【小问 1 详解】
依题意，平均值
，
，
上四分位数落在区间 ，且等于 .
【小问 2 详解】
由样本数据可知，训练成绩在 之内的频数之比为 2:1，
由分层抽样的方法得，从训练成绩在 中随机抽取了 6 次成绩，
在 之内的 4 次，在 之内的抽取了 2 次，
所以 可取的值有：0，1，2，
， ， ，
分布列 ：
0 1 2
.
【小问 3 详解】
法一：设事件 分别表示动作优化前成绩落在区间 ， ， ，
第 17页/共 20页则 相互互斥，所以动作优化前，
在一次资格赛中，入围的概率 ，
设事件 B 为＂动作优化成功＂，则 ，
动作优化后，在一次资格赛中，入围事件为： ，且事件 相互互斥，
所以在一次资格赛中入围的概率
，
故 ，
由 解得 ，又 的取值范围是 .
法二：因为入围的成绩标准是 80 分，所以进行某项动作优化前，该运动员在资格赛中入围的概率为：
，
进行某项动作优化后，影响该运动员入围可能性变化的是落在区间 或 的成绩，
当且仅当动作优化成功，落在这两个区间的成绩才能符合入围标准，
所以进行优化后，该运动员在资格赛中入围的概率 ，
由 ，得 ，又 的取值范围是 .
19. 已知函数 ．
（1）若 在 上单调递减，求 的最大值；
（2）证明：曲线 是中心对称图形；
（3）若 ，求 的取值范围．
【答案】（1） （2）证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）对 求导得 ，令 ，再结合基本不等式从
第 18页/共 20页而可得 ，即可求解.
（2）由 ，从而曲线 关于点 对称，即可求解.
（3）分情况讨论求出 ， ，然后再利用导数讨论 ， 情况下，从而可求出 的
取值范围是 .
【小问 1 详解】
由函数 ，所以 ，
令 ，因为若 在 上单调递减，则
恒成立，
因为 ，当且仅当 时取等号，
则 ，所以 ，即 ，得 .
故 的最大值为 .
【小问 2 详解】
证明：由（1）知 ，则 ，
则 ，
所以曲线 关于点 对称，是中心对称图形.
【小问 3 详解】
当 时，则当 时， ，与 矛盾，所以 ；
当 ， 时，则当 时， ，与 矛盾；
当 ， 时，则当 时， ，与 矛盾；
第 19页/共 20页所以 .
当 ，则当 时， ，
此时 ，矛盾；
当 ，则当 时， ，
此时 ，矛盾；
因此 ，所以 ，
当 ，由（1）可知 在 上单调递减，又 ，
所以当 时， ， 在区间 上单调递增；
当 时， ， 在区间 上单调递减；
此时 ，符合题意；
当 ，则当 时， ，
此时 ，则 ，不合题意.
综上所述： 的取值范围是 .
【点睛】方法点睛：（1）导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常
化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函
数的单调性、极(最)值问题处理；（2）利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成
立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用；（3）证明不等式，构造一个适当的函数，利
用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思
路，有着非凡的功效.
第 20页/共 20页
