文档内容
A. 15 B. 54 C. 12 D. -54
长春外国语学校2023—2024学年上学期高三年级第一次月考
6.已知 ， ，且 ，若 恒成立，则实数 的最小值是
数学试卷
A． B． C． D．
出题人：尹璐 审题人：于静洁
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共8页。考试结束后，将答题卡交回。
7. 某校组织一次认识大自然的活动，有5名同学参加，其中有3名男生､2名女生，现要从这5名
注意事项：
同学中随机抽取3名同学去采集自然标本，抽取人中既有男生又有女生的抽取方法共有
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信
息条形码粘贴区。 A．10种 B．12种 C．6种 D．9种
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工
整、笔迹清楚。 8.已知函数 在 上是增函数，则实数 的取值范围是
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；
在草稿纸、试题卷上答题无效。
A． B．
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
C． D．
是符合题目要求的.）
1．已知集合 ，则
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.）
A． B． C． D．
9. 已知函数 ，则
2. 函数 ，则
A．
A． B． C．1 D．
B． 的最小正周期为
3．函数 的图象在点（1，-1）处的切线方程为
C．把 向左平移 可以得到函数
A． B． C． D．
D． 在 上单调递增
4．若随机变量 ，且 ，则 (X=4)的值是
10. 已知 是定义域为 的偶函数，在 上单调递减，且 ，那么下列结论
A． B． C． D．
中正确的是
5. 在 的展开式中，二项式系数的和是16，则展开式中 项的系数
A． 可能有三个零点 B．C． D．
则 .
11. 已知函数 的部分图象如图所示，则
四、解答题（本题共6小题，满分70分，要求写出必要的解题过程）.
17.已知函数 ．
A. 在 上单调递增
（1）求 的单调区间；
B． C．
（2）求 的极值.
D． 的图象关于直线 对称
18. 已知函数 .
（1）求函数 的最小正周期及单调增区间；
12. 函数 ， ，下列说法中，正确的是
（2）若 ，求函数 的值域．
A． B． 在 单调递增
19. 近年来，国家鼓励德智体美劳全面发展，舞蹈课是学生们热爱的课程之一，某高中随机调研
C． D．
了本校2023年参加高考的90位考生是否喜欢跳舞的情况，经统计，跳舞与性别情况如下表：
（单位：人）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）.
13. 已知幂函数 在 单调递减，则实数 .
14. 已知函数 ，若关于 的不等式 的解为 ，则 = 喜欢跳舞 不喜欢跳舞
， = . 女
25 35
性
15. 若（ ， = .
男
5 25
性
.
(1) 根据表中数据并依据小概率值 的独立性检验，分析喜欢跳舞与性别是否有关联？
(2) 用样本估计总体，用本次调研中样本的频率代替概率，从2023年本市考生中随机抽取3人，
16. 函数 是定义在R上的偶函数， 是奇函数，且当 时， ，
设被抽取的3人中喜欢跳舞的人数为X，求X的分布列及数学期望 .附： ， .
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
20. 设常数 ，函数 .
(1) 若 为偶函数，求 的值；
(2) 若 ，求方程 在区间 .
21. 在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知
.
（1）求角A；
（2）若 的面积为1，求 的最小值.
22. 已知函数 ，其中 ．
(1) 若 ，证明： ；
(2) 设函数 ，若 为 的极大值点，求a的取值范围．长春外国语学校2023—2024学年上学期高三年级第一次月考
由题意， ，
数学答案
一、选择题
依据小概率值 的独立性检验，可推断 不成立，即认为喜欢跳舞与性别有关联.
1.A 2.B 3.C 4.A 5.B 6.B 7.D 8.A
9.AD 10.AC 11.BCD 12.ABD
（2）由题知，考生喜欢跳舞的概率 ，不喜欢跳舞的概率为
二、填空题
13.m=-2
X的可能取值为0，1，2，3
14. -7；
， ，
15. -2
16. 1
三、解答题
，
17.
所以X的分布列如下：
（1）由题意得， ，由 ，解得 或 ，
0 1 2 3
当 时， ，当 ， 时， ，
增区间： ， ； 减区间（-2,4）
由 ，数学期望 ，方差 .
（2）当 时取到极大值为 ，当 取到极小值为 ．
20.
18.
（1）∵ ，∴ ，
∵ 为偶函数，∴ ，
（1） 增区间 ，
∴ ，
∴ ，∴ ；
（2）
（2）∵ ，∴ ，∴ ，
19.（1）零假设： ：喜欢跳舞与性别无关联，
∴ ，∵ ，∴ ， 故 ．
（2） ， ．
∴ ，∴ ，∴ ，k∈Z，∵ ，
当 时，易得 ，所以由（1）可得，
∴
若 ，则 ，
21.（1）由已知 ， ，
所以 在 上单调递增，
由正弦定理 ，
这与 为函数 的极大值点相矛盾．
所以 ，即 ，
若 ，令 ，则 ，
又 ，所以 ，解得 .
又令 ，则 对 恒成立，
（2）由题 ，得 ，
所以 在 上单调递增．
又 （ 时取“=”）
又 ， ，
所以，
因为 ，所以 ，
的
即 最小值是 ， 时取等号.
因此存在唯一 ，使得 ，
22.（1）证明：若 ，则 ，且 ，则 ， 所以，在 上， ， 单调递减．
令 ，得 ． 又 ，所以
在 上， ， 单调递减； 在 上， ，故 单调递增；
在 上， ， 单调递增； 在 上， ，故 单调递减．所以 为函数 的极大值点，满足题意．
综上，a的取值范围为 ．
