四川省成都市树德中学2024届高三上学期10月阶段性测试文科数学(1)_2023年10月_01每日更新_11号_2024届四川省成都市树德中学高三上学期10月阶段性测试

树德中学高2021级高三上学期10月阶段性测试数学(文科)试题 命题人：宁夏校区高三数学备课组 审题人：王钊 唐颖君 朱琨 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 1．集合A=1,2,3  ，B=4,5  ，M=xx=a+b,a∈A,b∈B  ,则集合M的元素个数为( ) A.7 B.6 C.5 D.4 2．如果复数m2-3m  +m2-5m+6  i是纯虚数，则实数m的值为( ) A.0 B.2 C.0或3 D.2或3 3．已知直线l:x-3y+2=0,l :3x-ay-1=0，若l ⊥l ，则实数a的值为( ) 1 2 1 2 1 1 A.1 B. C.- D.-1 2 2 4．已知平面α，β，γ，直线a，b，c，下列说法正确的是( ) A.若a⎳α，b⎳β，a⎳b，则α⎳β B.若a⊥α，α⊥β，则a⎳β C.若a⊥α，b⎳β，α⎳β，则a⊥b D.若α∩γ=a，β∩γ=b，a⎳b，则α⎳β    5．向量a，b，c 在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，     若e为与c同方向的单位向量，则a+b   ⋅e=( ) A.1.5 B.2 C.-4.5 D.-3 6．已知等比数列a n  各项均为正数，3a +2a =a ，a 2 3 4 n  S 的前n项和为S ，则 3 =( ) n a 2 13 7 A.3 B. C. D.13 3 2 7．要得到函数fx  π =sin2x+ 3  的图象，可以将函数gx  π =sin2x+ 12  的图象( ) π π A.向左平移 个单位 B.向左平移 个单位 4 8 π π C.向右平移 个单位 D.向右平移 个单位 4 8 8．设函数fx  的定义域为R，且f2x+2  是奇函数，fx+1  是偶函数，则一定有( ) A. f-1  =0 B. f3  =0 C. f4  =0 D. f5  =0 9．阅读下段文字：“已知 2为无理数，若( 2) 2为有理数，则存在无理数a=b= 2，使得ab为有理数； 若( 2) 2为无理数，则取无理数a=( 2) 2，b= 2，此时ab=( 2) 2  10．已知函数fx 2=( 2) 2⋅ 2=( 2)2=2为有理 数．”依据这段文字可以证明的结论是( ) A.( 2) 2是有理数 B.( 2) 2是无理数 C.存在无理数a，b，使得ab为有理数 D.对任意无理数a，b，都有ab为无理数  ex, x<0  = ，则函数gx 4x3-6x2+1, x≥0  =2 fx    2-3fx  -2的零点个数为( )． A.6 B.5 C.4 D.3 x2 y2 11．如图，双曲线E： - =1a>0,b>0 a2 b2  的左右焦点分别为F，F，过F 的直线l与其右支交于P， 1 2 2 Q两点，已知PF 1  =2PF 2  且∠PFF =∠FQP，则双曲线E的离心率为( ) 1 2 1 A.3 B.2 C. 3 D. 2 12．已知函数fx  =(x-3)3+2x-6，且f2a-b  +f6-b  >0a,b∈R  ，则( ) 1 1 A.sina>sinb B.ea>eb C. > D.a2024>b2024 a b 二、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上) 3sinα+cosα 13．已知tan(π+α)=2，则 =________ sinα-3cosα 2x-1 14．设命题p: <0，命题q:x2-2a+1 x-1  x+aa+1  ≤0，若p是q的充分不必要条件， 则实数a的取值范围是_________ 15．过点(2,2)的直线l被圆C：x2+(y+1)2=16所截得的弦长为整数， 则满足条件的直线l有 条. a 16．若曲线y= x>0 x  与曲线y=2lnx存在公切线，则实数a的取值范围为 ． 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每题满分12分， 每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，每题满分10分，考生根据要求作答． (一)必考题：共60分. 17．已知等差数列a n  满足a =3,S =25. 2 5 (1)求数列a n  的通项公式； 1 (2)设b = ,T 为数列b n n n a + a n+1 n  的前n项和，求T. n 高三数学(文科)2023-10阶考第1页 共2页18．如图所示，正三棱柱ABC-ABC 中各条棱长均为2，点M,N,E分别为棱AC,AA,AB的中点． 1 1 1 1 (1)求异面直线MN和CE所成角的正切值； (2)求点B到平面MEN的距离． 19．某商店销售某海鲜，统计了春节前后50天海鲜的需求量x，(10≤x≤20，单位：公斤)，其频率分布直 方图如图所示，该海鲜每天进货1次，商店每销售1公斤可获利50元；若供大于求，剩余的削价处理，每处 理1公斤亏损10元；若供不应求，可从其它商店调拨，销售1公斤可获利30元.假设商店每天该海鲜的进货 量为14公斤，商店的日利润为y元. (1)求商店日利润y关于需求量x的函数表达式； (2)假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替. ①求这50天商店销售该海鲜日利润的平均数； ②估计日利润在区间580，760  内的概率. 20．已知抛物线C 1 :y2=x，圆C 2 :x-4  21．已知函数fx 2+y2=1． (1)求圆心C 到抛物线C 准线的距离； 2 1 (2)已知点P是抛物线C 上一点(异于原点)，过点P作圆C 的两条切线，交抛物线C 于A、B两点，若直 1 2 1 5 线PC 的斜率为k ，直线AB的斜率为k ，k·k =- ，求点P的坐标． 2 1 2 1 2 24  1 = x2+alnx-a+1 2  x，其中a∈R. (1)讨论fx  的单调性； (2)若函数Fx  =fx  +a-1  x有两个极值点x 1 ，x 2 ，且Fx 1  +Fx 2  2 >- -2恒成立(e为自然对数 e 的底数)，求实数a的取值范围. (二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. x=-1+ 2t 22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为   2 (t为参数)， y=1+ 2t 2 圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求直线l及圆C的极坐标方程； (2)若直线l与圆C交于A,B两点，求cos∠AOB的值. 23．已知函数f(x)=|x-1|+|x-3|. (1)解不等式f(x)≤x+1； a2 b2 (2)设函数f(x)的最小值为c，实数a,b满足a>0,b>0,a+b=c，求证： + ≥1. a+1 b+1 高三数学(文科)2023-10阶考第1页 共2页树德中学高2021级高三上学期10月阶段性测试数学(文科)试题参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D A D C D B B C C D B B 13.-7 14.  0, 1  2  15.9 16. - 2 ,0  e  . 17.(1)因为数列a n  为等差数列，设公差为d， 则S 5 = 5(a 1 2 +a 5 ) =5a 3 =25，所以a 3 =5，又a 2 =3，所以   a a 1 + + 2 d d = = 3 5 ，解得a 1 =1，d=2. 1 则a n =1+2n-1  =2n-1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分 1 (2)由(1)知，b = . n 2n+1+ 2n-1 2n+1- 2n-1 1 所以b = = ( 2n+1- 2n-1) n ( 2n+1+ 2n-1)( 2n+1- 2n-1) 2 1 1 T = ( 3- 1+ 5- 3+⋯+ 2n+1- 2n-1)= ( 2n+1-1)⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分 n 2 2 18.(1)连AC，A E，因为M,N分别为棱AC,AA 的中点，所以AC⎳MN， 1 1 1 1 所以∠ACE(或其补角)是异面直线MN和CE所成的角， 1 因为正三棱柱ABC-ABC 中各条棱长均为2， 1 1 1 点M,N,E分别为棱AC,AA,AB的中点． 1 所以CE= 3，A E= 5，AC=2 2， 1 1 因为CE2+A E2=AC2，所以CE⊥A E， 1 1 1 A E 5 15 所以tan∠ACE= 1 = = . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分 1 CE 3 3 (2)连BN,BM， 1 1 1 1 3 依题意可得S = S = S = × ×2× 3= ， △MBE 2 △MAB 4 △CAB 4 2 4 1 MN=NE= 2，ME= BC=1， 2 1 ME S = ⋅ME⋅ MN2- △MNE 2 2  19. (1)商店的日利润y关于需求量x的函数表达式为： 50×14+30×x-14 y= 2 1 1 7 = ×1× 2- = ， 2 4 4 设点B到平面MEN的距离为d， 1 1 由V =V 得 d⋅S = ⋅NA⋅S ， B-MNE N-MBE 3 △MNE 3 △MBE 1 7 1 3 得 d⋅ = ⋅1⋅ ， 3 4 3 4 21 21 得d= .即点B到平面MEN的距离为 . 7 7 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分  , 14≤x≤20 50x-10×14-x    30x+280, 14≤x≤20  ,化简得：y= ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分 , 10≤x<14 60x-140, 10≤x<14 (2)①由频率分布直方图得： 海鲜需求量在区间10,12  的频率是2×0.08=0.16； 海鲜需求量在区间12,14  的频率是2×0.12=0.24； 海鲜需求量在区间14,16  的频率是2×0.15=0.30； 海鲜需求量在区间16,18  的频率是2×0.10=0.20； 海鲜需求量在区间18,20  的频率是2×0.05=0.10； 这5050天商店销售该海鲜日利润y的平均数为： 11×60-14×10  ×0.16+13×60-14×10  ×0.24+15×30+20×14  ×0.30+17×30+20×14  ×0.20+19×30+20×14  ×0.10=83.2+153.6+219+158+85=698.8(元) ②由于x=14时，30×14+280=60×14-140=700 30x+280, 14≤x≤20  显然y= 在区间10,20 60x-140, 10≤x<14  上单调递增， y=580=60x-140，得x=12； y=760=30x+280，得x=16； 日利润y在区间580,760  内的概率即求海鲜需求量x在区间12,16  的频率：0.24+0.30=0.54 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分 1 20.(1)由已知：C (4,0)；C 的准线为x=- ． 2 1 4 1 圆心C 到C 准线距离为4-- 2 1 4  17 = ;⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分 4 (2)设Py2 0 ,y 0  ，Ay2 1 ,y 1  ，By2 2 ,y 2  ,切线PA:x-y2 0 =m 1y-y 0  由   x y2 = = m x 1 y+y2 0 -m 1 y 0得：y2-m 1 y-y2 0 +m 1 y 0 =0 由y +y =m 得：y =m -y ， 0 1 1 1 1 0 切线PB:x-y2 0 =m 2y-y 0  ,同理可得：y =m -y 2 2 0 4-y2+my 依题意：C (4,0)到PA:x-my-y2+my =0距离 0 1 0 2 1 0 1 0  =1 m2+1 1 整理得：y2 0 -1  m 1 2+8y 0 -2y3 0  m +y4-8y2+15=0 1 0 0 同理：y2 0 -1  m 2 2+8y 0 -2y3 0  m +y4-8y2+15=0 2 0 0 2y3-8y ∴m 1 +m 2 = y 0 2-1 0 y2 0 ≠1 0  y y -y 1 1 y2-1 ∵k = 0 ，k = 1 2 = = = 0 1 y2-4 2 y2-y2 y +y m +m -2y -6y 0 1 2 1 2 1 2 0 0 y y2-1 5 ∴kk = 0 ⋅ 0 =- ,解得：y =±4 1 2 y2-4 -6y 24 0 0 0 故所求P点坐标为16,4  或16,-4  .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分 高三数学(文科)2023-10阶考第1页 共2页a (x-1)(x-a) 21.(1)f(x)的定义域是(0,+∞)，f(x)=x+ -(a+1)= ， x x ①a≤0时，01时，f(x)>0，f(x)的减区间(0,1)，增区间是(1,+∞)； ②01时，f(x)>0，a1时，0a时，f(x)>0，11时，f(x)的增区间是(0,1)和(a,+∞)，减区间是(1,a).⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分 x2-2x+a (2)F(x)=f(x)+a-1= ，由题意x2-2x+a=0有两个不等正根x,x ， x 1 2 Δ=4-4a>0，a<1，又x +x =2，xx =a>0，所以0- -2，alna-a+ >0， e e 2 设g(x)=xlnx-x+ (00，得03时，不等式可化为2x-4≤x+1，解得：x≤5,又∵x>3，∴31,n>1，a=m-1,b=n-1,m+n=4， a2 b2 m-1 + = a+1 b+1  2 n-1 + m  2 1 1 4 4 =m+n+ + -4= ≥ n m n mn m+n  2  =1， 2 等且仅当m=n=2即a=b=1时等号成立. 原不等式得证.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分 高三数学(文科)2023-10阶考第1页 共2页