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泸县五中高2021级高三10月考试
数学（理工类）参考答案：
1．C 2．B 3．D 4．C 5．D 6．A 7．D 8．A 9．D 10．B 11．D 12．D
13．2 14． (或 ) 15． 16．②③ ④
17．解：（1） ，
由 ，得 ，
则函数单调递增区间为 .
（2）由 得 ，即 ，
由 ， ，可得 ，
则 ，
所以 .
18．解：（1）因为 ，
所以 ，
又因为 ，
因为曲线 在点 处的切线方程为 ．所以 ，
所以 所以 ；
（2） 在 上有且只有一个零点，
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学科网（北京）股份有限公司因为 ， ， ，
所以 在 上为单调递增函数且图象连续不断，
因为 ， ，所以 在 上有且只有一个零点．
19．解：（1）因为 ，
所以 ，因为 ，所以 ，
又 ，且 为锐角，所以 ，
所以 ．
因为 ．所以 ．所以 ．
（2）设 ， ，根据题设有 ，
所以 ，可得 ，
所以 ，
当且仅当 时等号成立． 所以 的最小值为 ．
20．(1)证明：在三棱柱 中， 底面 ，
所以三棱柱 是直三棱柱，则 ，
因为 ，所以 ，
又因为 ， D为 的中点，所以 ,又 ，
所以 平面 ，则 ，
易知 ，则 ，
因为 ，
2
学科网（北京）股份有限公司三条 ，则 ，
即 ，又 ，
所以 平面 ，所以 ；
(2)由（1）取 的中点O，以O为原点，建立如图所示空间直角坐标系：
则 ，设 ，
所以 ， ，
因为直线 与 所成角的余弦值为 ，
所以 ，
解得x=2，
则 ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，令 ，则 ，
易知 是平面 的一个法向量，
则
二面角 的余弦值是 .
21．解：（1）由题意，得 （ ）有非重根，变形得 ．
记 ，则 ，令 ，得 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 在 上单调递增，在 上单调递减，故 ，
当 时， ，所以 ，所以 ．
（2）由题意可得， ，得 ．
要证 ，
即证 （ ）．
①先证 ，只需证 ．
记 ，则 ．令 ，得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 ，所以 ，故原不等式左边证毕．
②再证 ．
法1：原式即证 ．
由 可得， ，
所以 在 上单调递增．
又因为 ， ，
所以 ， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
又因为 ， ；
， ， ，
4
学科网（北京）股份有限公司所以 ， ， ．
由 ，
所以 ， ，
所以 在 ， 上单调递增， 上单调递减．
．
记 ， ，
则 在 上单调递减，且 ，
所以 在 上单调递减．
又因为 ，所以 ．
又因为 ， ，所以 ．
法2：原式即证 ．
由（1）可得， ．
记 ，则： ．
记 ，则 ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增．
又因为 ， ， ，
所以 ， 即 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
即 ，所以 ，故原不等式右边证毕．
法3：即证 ．
记 ，则 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 ．
记 ，则 ．
记 ， ，
则 在 恒成立，
所以函数 在 上单调递增，
所以 ，即 在 恒成立．
令 ，解得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 ．
又因为 ，所以 ，
即 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，故原不等式右边证毕．
综上所述， ．
22．（1）解：由题意可知，曲线 是以极点 为圆心，以 为半径的半圆，
结合图形可知，曲线 的极坐标方程为 .
设 为曲线 上的任意一点，可得 ．
因此，曲线 极坐标方程为 ．
（2）解：因为直线 与曲线 、 分别相交于点 、 （异于极点），
设 、 ，由题意得 ， ，
所以， ．
因为点 到直线 的距离为 ，
所以， ，
当且仅当 时，等号成立，故 面积的最大值为 .
23．解：（1）当 时， ，依题意， ，
当 时，不等式化为： ，解得 ，则有 ，
当 时，不等式化为： ，解得 ，则有 ；
当 时，不等式化为： ，解得 ，则有 ，综上得： 或 ，
所以函数 的定义域为 .
（2）因当 时， ，则对 ， 成立，
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学科网（北京）股份有限公司此时， ， ，则 ，
于是得 ， 成立，而函数 在 上单调递减，
当 时， ，从而得 ，解得 ，又 ，则 ，
所以实数 的取值范围是 .
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