重庆市育才中学高 2026 届一诊模拟考试
数学试题
（本试卷共 150 分，考试时间 120 分钟）
注意事项:
1 、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2 、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试
卷上无效.
3 、试卷由圈"整理排版.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一 、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分． 在每小题给出的四个选项中， 只有一
项是符合题目要求的．
U={1,2,3,4,5, A=[1,2, B=3,4 (, A)n(, B)=
1 . 已知集合 ， ， ， 则 ( )
A. B.
C. D.
2. 已知i 为虚数单位 ，则复数 在复平面内对应的点位于 ( )
A. 第—象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 已知平面向量⃞(cid:1)=(1,2), b=(-1,3)
，
若
，
则 = ( )
A. B. C. D.
to, s=
4. 已知 为等差数列， 其前 n 项和为 则 ( )
A 10 B. 15 C. 20 D. 30
y=fl x) fl. x)
5. 函数 部分图象如图 ，则 可能是 ( )
第 1页/共 5页A. B. C. D.
6. 已知正方体ABC D-AB, CD棱长为 1， 过点B,D, 的平面截正方体所得截面为菱形时 ，该截面的
面积为 ( )
A. B. C. D.
7. 将函数 的图象平移得到 的图象， 且直线 为曲
y=gl x)
线 在 y 轴右侧的首条对称轴 ，则上述的平移方式可以是 ( )
A. 向左平移 个单位 B. 向右平移 个单位
C 向左平移 个单位 D. 向右平移 个单位
8. 已知实数 a ，b 均不为0， 函数 在某个关于原点对称的区间上恰有两
fx)+f(x)=
个极值点 x1 ，x2 ， 则 ( )
A. 2a B. -2a C. 2b D. -2b
二 、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求，全部选对的得 6 分， 选对但不全的得部分分， 有选错的得 0 分．
9. 近年来， 巫溪县大力发展生态农业， 蒲莲蜜柚因其形大 、汁多 、味甜深受消费者追捧． 已知某批次蜜
柚的重量⃞（ 单位：克） XN(1500,2003) PI IX-1500S200)-m 规定重量⃞不小于 1300 克的蜜
， ，
柚为合格品， 重量⃞在 1500 克到 1700 克之间的蜜柚为优等品． 现从该批次蜜柚中随机抽取—个， 下列说
法正确的有 ( )
A. 该蜜柚是优等品的概率为
B. 该蜜柚是合格品的概率为
C. 若该蜜柚重量⃞大于 1500 克 ，则其为优等品的概率为 m
D. 若该蜜柚是合格品 ，则其重量⃞不小于 1500 克的概率为
10. 抛物线 y2=4x 的焦点为 F， 准线为 l， 过 F 作斜率大于 0 的直线 m 与抛物线交于点 A（位于第—象
限）
和点 B， 交 l 于点 R， AP上 l ， 垂足为 P， ， 下列说法正确的是 ( )
第 2页/共 5页A. 直线 m 的斜率为 B. IP Fl=R rl
C. D.
11. 如图 ，已知锐二面角 P-AB-! 大小为 a ，P 为定点，N 为 AB 上的动点 ，设 PN = x ，PN 与 AB
所成的角为β , PN 与平面 ABQ 所成的角为θ , PN 在平面 上的投影与 AB 所成的角为γ , 下列说法正
确的是 ( )
A.
B.
C. 的值随 x 增大而增大
D. 当且仅当 时 ，存在点 N 使得 0-V
三、填空题：本题共 3 个小题， 每小题 5 分， 共 15 分．
(2-3x)'
12. 的展开式中 ，各项系数的和是___________．
13. 过点(1,0) 作圆x2+y2+4x-6y+4=0的切线
，
则切线长为
___________．
14. 若 ， 正整数 其中
则(a, a-…-a, a,)为 n 二进制表示
．
记 则
co(11)= ；
___________
___________．
四、解答题:本题共 5 小题， 15 题 13 分， 16 、17 题 15 分， 18 、19 题 17 分， 共 77 分，
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在重庆轨道交通故障排查演练中， 三名工程师分别检查三个不同的系统 ，假设甲发现故障的概率为
，乙 、丙两人同时发现故障的概率是 ， 甲 、丙两人均未发现故障的概率是 ， 且三人各自能否发现故
障相互独立．
（1） 求乙 、丙两人各自发现故障的概率；
（2） 用 X 表示三人中发现故障的人数， 求 X 的分布列和期望E(X)
·
． 第 3页/共 5页16. 如图， 已知圆锥 PO ，AB 为底面圆 O 的直径 ，点 C 在圆 O 上（ 不同于 A ，B）， ，
.
（1）若 ，证明： 平面 OCE；
（2）若 PA=AB=2BC =4 平面ABD上 平面 PBC 求λ 值
， ， ．
17 . 如图 ， ABC 中 ， D 为 BC 上—点 ， BD =4, DC = 2 ．
（1）若 LBDA 为钝角， 与 均为等腰三角形， 求 ABC 的面积;
（2）若 ， 求 AD．
18. 如图，椭圆 的离心率为 且经过点 是其左、右
焦点， 直线 与 C 相切于点 ．
（1） 求椭圆 C 的标准方程；
F,E d,d d,d;
（2） 记 到直线 l 的距离分别为 请问 是否为定值?如果为定值， 求出此定值；如果不为定
值，
请说明理由；
·
第 4页/共 5页（3） 已知直线 x=(<-a) 与 x 轴交于点 P ，与 l 交于点 B（B 在 x 轴上方），过 A，B 分别作直线
x=-c 垂线 ， 垂足分别为 M ， N ， 记 LMPN = ， ． 求证:存在 ， 使得 k = tan 时 ，
t=2tan f
.
fl x)=sin x-x cosx q-
19. 已知函数
，
数列 满足
，
且
（1） 判断函数 在区间 上的单调性；
0<fx)<x
（2） 证明:当 时 ;
，
b,=af; reN'
（3） 设 证明：对任意且 有
，
第 5页/共 5页重庆市育才中学高 2026 届一诊模拟考试
数学试题
（本试卷共 150 分，考试时间 120 分钟）
注意事项:
1 、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2 、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试
卷上无效.
3 、试卷由圈"整理排版.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一 、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分． 在每小题给出的四个选项中， 只有一
项是符合题目要求的．
U=[1,2,3,4,5,6 A=1,2, B=3,4 (, A)a(, B)=
1 . 已知集合 ， ， ， 则 ( )
A. B.
C. D.
【答案】 A
【解析】
【分析】 根据补集和交集的运算求解.
U={1,2,3,4,5, :: A=1,2,3 : YA=4,5,
【详解】
， ， ，
B=3,4 (,d) (, B)=(5,6
故选项 A 正确
， ， ， .
故选：A.
2. 已知i 为虚数单位 ，则复数 在复平面内对应的点位于 ( )
A. 第—象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】 D
【解析】
【分析】 根据复数的除法运算， 求出复数 z ，确定 z 对应的点， 即可确定答案.
【详解】 ，则复数 在复平面内对应的点为 ，位于第四
·
象 第 1页/共 24页·
限，
故选：D
3 . 已知平面向量⃞a=(1,2), b=(-1,3) ， 若 ， 则 = ( )
A. B. C. D.
【答案】 D
【解析】
【分析】 根据条件， 可得 ， 的坐标 ，根据向量⃞垂直坐标的关系 ，代入求解， 即可得答
案. 【详解】 因为a=(1,2), b=(-1,3)
，
所以 ，
因为 ，
所以 ，解得 .
故选：D
4. 已知to, 为等差数列
，
其前 n 项和为 s,:2ay+az=az+ap+3, 则 s= ( )
A. 10 B. 15 C. 20 D. 30
【答案】 B
【解析】
【分析】 通过等差数列的通项公式将已知等式转化为关于首项和公差的式子 ，化简得到中间项 的值，
n
再利用前 项和与中间项的关系求出s; .
【详解】 将 转化为： 2(a+3d)+(a,+6d)=(a,+d)+(a,+9ad)+3
展开得： 2a,+6d+a,+6d=a,+d+a,+9d+3
， ，
合并同类项： 3a,+12d=2a,+10d+3
，
化简得： ， 即 .
前 5 项和 ， 由等差数列性质知， ，
第 2页/共 24页故
.
故选：B
y=fx) flx)
5. 函数 部分图象如图 ，则 可能是 ( )
A. B. C. D.
【答案】 B
【解析】
【分析】 根据（ 1） 定义域： x = 0 处无定义， 函数在该点断开；（2） 奇偶性： 图象关于原点对称， 函
数为
奇函数；（3）零点： 、 处函数值为 0；（4）极限趋势： 时， 函数值趋向于无穷大；
逐个分析判断正误即可.
【详解】 选项 A：奇偶性： ，是偶函数 ，与图象的奇函数特征矛盾.A
错误.
选项 B：奇偶性： ， 是奇函数 ，符合；
零点： (ke z, k丰。) ，对应 、 s ， 与图象零点—致；
极限趋势： 时 f(x)→+oo 时 f(x)→-o
， ，
与图象趋势—致；定义域： ，符合图象特征. 综上 B 正确.
选项 C：零点： ， 时， ， 与图象中 为零点矛盾. C 错误.
选项 D：定义域： （ x= 0 处有定义， f(0)=0）， 与图象x = 0 处无定义矛盾. D 错误.
故选：B
6. 已知正方体ABC D-AB, CD棱长为 1， 过点B,D, 的平面截正方体所得截面为菱形时 ，该截面的面
积
第 3页/共 24页为 ( )
A. B. C. D.
【答案】 A
【解析】
【分析】取 dAA, 的中点E ， CG的中点F ，得到 为菱形 ，故有过点B,D1 的平面截正方体所得截
面为菱形的截面是菱形 ，根据题意求出 的长度 ，取 DD 的中点H， 连接EH, FH, EF ，
根据勾
EF ionr
股定理求出 的长度， 故菱形 的面积为 ，代入数值得解.
【详解】 取 dA, 的中点E cC 的中点F 连接EDi QF FB
， ， ， ， ， ，
取 BB1 的中点G 连接GE, GF 取 的中点 连接EH ,FH ,EF
， ， ， ，
:: E,H,F,G 分别是 DD CG 的中点 : EHFG 是正方形
， ， ， ， ，
且 EG= HF 且 D, C=HF
， ，
EG=DC :EGCD GC=ED
且 为平行四边形 且
， ，
GC=BF BFIi ED, BF=ED ".BFDE
而 且 则 为平行四边
， ， ，
形
，
-ss ra. ".B,E,F,D :. BED,F
四点共面 又 为菱形
， ， ， ，
平面 ，
过点B,D, 的平面截正方体所得截面为菱形的截面是菱形 ，
El =I, FH =l 则
, ，
故菱形 的面积为 .
，
故选：A
第 4页/共 24页7. 将函数 的图象平移得到
的图象， 且直线 为曲线
y=gl x)
在 y 轴右侧的首条对称轴 ，则上述的平移方式可以是 ( )
A. 向左平移 个单位 B. 向右平移 个单位
C. 向左平移 个单位 D. 向右平移 个单位
【答案】 C
【解析】
分析】 根据题意结合函数对称性可得 ，解得 ， 进而图象变换逐项分析判断即可.
【详解】 若 ，则 ，
y=g(x)
因为直线 为曲线 在 y 轴右侧的首条对称轴，
则 ，解得 ，得 ， ，
flx)
A：将函数 的图象向左平移 个单位 ，得 ，不合题意 ，故 A 错
误；
B：将函数 的图象向右平移 个单位 ，得 ，不合题意 ，故 B 错
误；
flx)
C：将函数 的图象向左平移 个单位 ，得 ，符合题意， 故 C 正
确；
D：将函数 的图象向右平移 个单位 ，得 ， 不合题意， 故 D 错
误；故选：C.
第 5页/共 24页8. 已知实数 a ，b 均不为0， 函数 在某个关于原点对称的区间上恰有两
fx)+f(x)=
个极值点 x1 ，x2 ， 则 ( )
A. 2a B. -2a C. 2b D. -2b
【答案】 D
【解析】
【分析】 先化简， 再求导找极值点 ，然后分析极值点， 最后代入计算.
【详解】 依题意 则 f(x)=a[ln cos x-In(l+sin. x)]+b(x-1)
， ，
，
求导得 ，
flx)
由 ，得 ， 而函数 在关于原点对称的区间上恰有两个极值点 ，
，则这两个极值点满足 （ 因为cosx是偶函数） ,
,
,
所以
.
故选：D
二 、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求，全部选对的得 6 分， 选对但不全的得部分分， 有选错的得 0 分．
9. 近年来， 巫溪县大力发展生态农业， 蒲莲蜜柚因其形大 、汁多 、味甜深受消费者追捧． 已知某批次蜜
柚的重量⃞（ 单位：克） x⃞x⃞(cid:1)N(1500,200") PI IX-1500S200)=m 规定重量⃞不小于 1300 克的蜜
， ，
柚为合格品， 重量⃞在 1500 克到 1700 克之间的蜜柚为优等品． 现从该批次蜜柚中随机抽取—个， 下列说
法正确的有 ( )
第 6页/共 24页A. 该蜜柚是优等品的概率为
B. 该蜜柚是合格品的概率为
C. 若该蜜柚重量⃞大于 1500 克 ，则其为优等品的概率为 m
D. 若该蜜柚是合格品 ，则其重量⃞不小于 1500 克的概率为
【答案】
ABC 【解
析】
【分析】 根据正态分布的概念， 判断分布曲线的对称轴和方差 ，根据正态分布的对称性， 以及条件概率
公式， 逐—判断各选项正误.
x⃞x⃞(cid:1)N(1500,200') x x =15
【详解】 由题意 则随机变量⃞ 服从正态分布 对称轴为
， ， ，
o'-20o' 因为PI IX-1500/S200)=m 即 P(1300S XS1700)=m
， ， ，
所以 ，A 正确；
由 p(1300≤xs1700)=m 可知
， ，
所以 ，B 正确；
由正态分布曲线的对称轴为X =1500 ，所以 ， ，
B
设事件 为蜜柚重量⃞大于 1500 克 ，则 ，事件 为蜜柚为优等品 ，则 ".48)-号，
由条件概率可知蜜柚重量⃞大于 1500 克 ，则其为优等品的概率为 ，C 正
确；蜜柚是合格品的概率为 ， 重量⃞不小于 1500 克的概率为 ，
设事件 为蜜柚是合格品 ，则 ，设事件 为蜜柚重量⃞不小于 1500 克 ，则 ，
由条件概率可知蜜柚是合格品 ，则其重量⃞不小于 1500 克的概率为 ，
D错误；
故选：ABC
y=4x
10. 抛物线 的焦点为 F， 准线为 l， 过 F 作斜率大于 0 的直线 m 与抛物线交于点 A（位于第—象
限）
第 7页/共 24页和点 B， 交 l 于点 R， AP 1 1 ， 垂足为 P， ， 下列说法正确的是 ( )
A. 直线 m 的斜率为 B.
C. D.
【答案】
ABD 【解
析】
【分析】 根据抛物线的定义及条件， 可得SAPF 为等边三角形 ，根据角度， 求出斜率， 可判断 A 的正
误；设准线 l 交 x 轴于点 C，根据条件 ，可得Rtsp FC (cid:1)Rts RFC ，可判断 B 的正误；求出直线 m 的方
arl IBr
程 ，与抛物线联立， 可得 A 点和 B 点横坐标， 根据焦半径公式， 求出 、 ， 可判断 C 的正
误； 由条件可得 s. rg=sm x-ss og
，
代入条件
，
即可判断 D 的正误.
【详解】 选项 A： 由抛物线的定义得 ， 又 ，
所以 ，所以sdA PF 为等边三角形，
所以 ，
因为AP 上 l 所以LPAF = LA FX= 60' 即直线 m 的倾斜角为
， ， ，
所以直线 m 的斜率 ， 故 A 正确；
选项 B：设准线 l 交 x 轴于点 C，
因为AP 上 l 所以LAPF =LP FC =60'
， ，
又 LA FX=L RFC =6)'
， ，
所以Rtsp FC (cid:1)Rts RFC 所以Ip rl=IR rl 故 B 正确；
， ，
选项 C： 因为直线 m 的斜率为 ， 且过点F(1,0) ，
y=F(x-1)
所以直线 m 的方程为
，
x=3
与抛物线联立 ，得 ，解得 或 ，
因为点 A 位于第—象限 ，所以 ，则 ，
所以 ，
·
第 8页/共 24页所以 ， 故 C 错误；
选项 D：在 Rtsp FC 中 LPFC =60'
， ， ，
所以 ， 即 ，
由抛物线的定义得 ，点 B 到准线 l 的距离等于 ，
所以 ， 故 D 正确.
故选：ABD
11. 如图 ，已知锐二面角 P-AB-! 大小为 ，P 为定点，N 为 AB 上的动点 ，设 PN =X ，PN 与 AB 所
成的角为β , PN 与平面 ABQ 所成的角为θ , PN 在平面 上的投影与 AB 所成的角为γ , 下列说法正确
的是 ( )
A.
B.
C. 的值随 x 增大而增大
0-
D. 当且仅当 时 ，存在点 N 使得
V
【答案】 ABD
【解析】
【分析】 过点P作 PC上 平面QAB ， 垂足为C ， 过点C 作， CD上AB ， 垂足为D ，在直角三角形中
求出 比大小判断A；根据sinf≤ sin q 判断B；用 x 表示cosl -cos ，利用函数的单调性
判断 C；
第 9页/共 24页根据tan l,t any,
的关系判断 D.
tana
【详解】 如图， 过点P作 PC上 平面QAB ， 垂足为C ， 过点C 作CD上AB ， 垂足
为D ，连接PD, NC
，
因为PC上 平面QAB dBC 平面QAB 所以
， ， ，
因为CD上AB CD PC = C, CD, PC C 平面PCD 所以AB上 平面
， ，
PCD 因为PDC 平面PCD 所以AB 上 PD
， ， ，
则 f =ip ND 8 =LP NC 其中
， ， ， ， ，
则 ，
因为 ，所以 ，则 ， 故 A 正确；
因为 ， ，所以 ，则
，等号成立时 N,D 重合， 故 B 正确；
因为P为定点 ，所以PC, PD 为定值，
因为
,
因为 随着 的增大而增
大，所以 cosl -cos 随着 x 的增大而减小， 故 C 错误；
N,D
当点 重合时， ，
因为 ，则此时 ，
当点N,D 不重合时 ，假设存在点 N 使得8=Y ，
因为 ，所以 ， 即
·
， 第 10页/共 24页所以 ， 故 ， 故 D 正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共 3 个小题， 每小题 5 分， 共 15 分．
(2-3x)'
12. 的展开式中 ，各项系数的和是___________．
-l
【答案】
【解析】
x=l
【分析】 根据题意 ，令 ， 即可求得展开式中各项系数的和 ，得到答案.
(2-3x)'=a,+ax+az+…+a, x'
【详解】 设
，
x=l a,+a,+a+…+a,=(2-3x1)'=-
令 可得
，
l 所以二项式 (2-3x)' 的展开式的各项系数的和为 -l .
，
-l
故答案为： .
13 过点(1,0) 作圆x2+y2+4x-6y+4=0的切线 则切线长为
. ， ___________．
【答案】 3
【解析】
【分析】 求出已知圆的圆心 、半径， 再利用勾股定理求出切线长 .
x2+y2+4x-6y+4=0 (x+2}+(y-3)=9 c(-2,3) r=3
【详解】 圆 即 的圆心 半径
， ，
，
点 P(1,0)
， ，
所以所求切线长为 .
故答案为：3
14. 若 ， 正整数 其中 则
(a, a-…-a, a,)为 n 的二进制表示
．
记 则co(11)= ______；
___________．
【答案】 ①. 3 ②. 80
第 11页/共 24页·
【解析】
【分析】 由题意 ，根据二进制求出 （ 其中i= 1,1,… ,31 ）， 进而求出o(i) 即可.
【详解】 由题意知， ，
所以 ， 故 ；
因为2' = 32 > 31
，
所以 1 到 31 的二进制位数不超过 5 位，
当二进制数位为 1 时 ，对应的十进制为 1 ，则 ，得o(1)=l ；
当二进制数位为2 时 ，对应的十进制为2 ，3
，则(2)2=10,(3)3=1l 得o(2)= I, n(3)= 2
，
；
当二进制数位为 3 时 ，对应的十进制为4,5,6,1
，则(4)=I00,(5)z=101,(6)z=l10,(7)z=l ll
得o(4) = I, o(5)=a(6)= 2, o(1)= 3 ；
，
当二进制数位为4 时 ，对应的十进制为8,9, I0, II,12,13, I4, I5
，则(8)2=1000,(9)2=1001,(10)z=1010,(11)y=101l
，
,
得
；当二进制数位为 5 时 ，对应的十进制为16,17,… ,31 ，
则(16),=10000,(17),=10001,(18)z=10010,(19)2=100ll,(20),=10100
，
,
,
得o(l6)= 1, n(I7) = w(I8)=o(20) = o(24)= 2
，
,
,
第 12页/共 24页所以a(I)+o(2)+… a(3I)= 80
.
故答案为：3 ；80
四、解答题:本题共 5 小题， 15 题 13 分， 16 、17 题 15 分， 18 、19 题 17 分， 共 77 分，
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在重庆轨道交通故障排查演练中， 三名工程师分别检查三个不同的系统 ，假设甲发现故障的概率为
，乙 、丙两人同时发现故障的概率是 ， 甲 、丙两人均未发现故障的概率是 ， 且三人各自能否发现故
障相互独立．
（1） 求乙 、丙两人各自发现故障的概率；
（2） 用 X 表示三人中发现故障的人数， 求 X 的分布列和期望E(X)
． 【答案】（1） ，
（2） 分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）根据题意利用独立事件的乘法公式列方程， 即可求得答案；
（2） 确定 X 的可能取值， 求出每个值对应的概率， 即可得分布列， 进而求得数学期望.
【小问 1 详解】
记乙 、丙各自发现故障为事件 ， ， 由于事件相互独立，
,
则有 ， ，解得
,
所以乙 、丙两人各自发现故障的概率分别为 ， ．
【小问 2 详解】
由题意可知 X 的可能取值为 0， 1 ，2 ，3
,
,
,
X 的分布列为
第 13页/共 24页X 0 1 2 3
P
.
16. 如图， 已知圆锥 PO ，AB 为底面圆 O 的直径 ，点 C 在圆 O 上（ 不同于 A ，B），
， .
（1）若 ，证明： 平面 OCE；
（2）若 PA=AB=2BC =4 平面ABD上 平面 PBC 求λ的
， ，
值 【答案】（1） 证明见解析
．
（2）
【解析】
【分析】（1）作辅助线 ，根据几何性质可得0G$AD ， 进而可证线面平行；
（2） 建系标点 ，分别求平面ABD 、平面 PBC 的法向量⃞ ，根据面面垂直可得 ， 运算求解即
可. 【小问 1 详解】
取 PE 中点 F，设CE 与 BD 交于点 G， 连接0G ， DF ，
由 知 D PC 中点， 且 F 为PE 中点 ，则 ，
则 E 为 中点， 且 G 为BD 中点，
因为 O 为AB 中点 则 0G AD
， ，
且 ADC 平面0CE OGC 平面0CE
，
所以 平面0CE ．
，
【小问 2 详解】
因为 C 在圆周上， AB 为直径 ，则 AC 上BC ， 同时， 由圆锥知PO 上 平面ABC ，
·
第 14页/共 24页则以 C 为原点， CB 、CA 、过 C 与 平行的直线为 x 轴，y 轴 ，z 轴建立空间直角坐标系0xyz
．
因 PA = AB = 2BC =4
，
则C(0,0,0) A(0,2/5,0)
， ， ， ， ．
-(2,0,0)
可得
， ， ， ，
设平面 的—个法向量⃞ ，则 ，
令 ，则 ， 可得 ；
设平面 的—个法向量⃞ ，则 。
令 ，则 ， 可得 ，
若平面ABD 上 平面PBC ，则 ，解得 ．
故 的值为 ．
17 . 如图 ， ABC 中 ， D 为 BC 上—点 ， BD =4, DC = 2 ．
（1）若 么BDA 为钝角， 与 均为等腰三角形， 求 ABC 的面积;
（2）若 ， 求 AD．
第 15页/共 24页【答案】（1） ；
（2） AD=2、厅 .
【解析】
【分析】（1）根据给定条件， 求出AD, AC ， 再利用三角形面积公式求解.
（2） 法 1 ，利用三角形面积公式可得 ， 再利用和角的余弦公式， 结合直角三角形边角关
系列式求解；法 2 ，利用余弦定理 、垂直关系的向量⃞表示并结合数量⃞积的运算律列出方程组求解.
【小问 1 详解】
令 AB=C AC=b
， ，
由 LBDA 为钝角 A ABD 为等腰三角形 得 AD=BD =4
， ，
又 为等腰三角形 且 AC中 2> 4 则 AC =AD
， ， ，
=4
，
在 中， ，则 ，
所以 ABC 的面积为 .
【小问 2 详解】
法 1 ：在 ABC 中 由 得 而 AD上BC sC-S
， ， ， ， ，
由 ，得 ，
由 ，得 ，
则 ，
bc=6(AD2-8) AD >(
因此 即 又
， ， ，
AD=2J5
所以 .
法 2 ：在 中， ， 由余弦定理得 ，
·
第 16页/共 24页而 ， 即 ， 又 ，则 ，
即 ， 于是 ，解得 ，
则 解得b=2、后, c=6
， ，
所以 .
18. 如图
，
椭圆 的离心率为 且经过点Q(2, V2), F, I-C,0), F: IC,0) 是其左
、
右焦点， 直线 与 C 相切于点 ．
（1） 求椭圆 C 的标准方程；
（2） 记 到直线 l 的距离分别为 请问d,dz 是否为定值?如果为定值， 求出此定值；如果不为定
值，请说明理由；
（3） 已知直线 x=A(A<-a) 与 x 轴交于点 P ，与 l 交于点 B（B 在 x 轴上方），过 A，B 分别作直线
x=-c
的垂线 垂足分别为 M N 记LMPN = LPMN =f 求证:存在 使得K = tan 时
， ， ， ， ． ， ，
.
【答案】（1）
（2） dd; 是定值， 为 4
（3） 证明见解析
【解析】
第 17页/共 24页【分析】（1）根据椭圆的离心率为 及椭圆经过点 ， 由 求解；
k,t r r
（2） 联立 ，根据直线与椭圆相切， 由 ，得到 的关系 ，根据 ， 与直线 l
的距离求解；
（3）根据（2） 得到 ，从而得到 ， B(h, dk+t) ， ，然后
tana=tan(LM PF-LN PF)
由 求解
【小问 1 详解】
由椭圆的离心率为 及椭圆经过点 ，
得 ，解得 ， 因此椭圆方程为 ；
【小问 2 详解】
联立 ，得 ，
A(x,2)
设 ， 由直线与椭圆相切知 ，
得 ， 即 ，
则 ， 与直线 l 的距离 ， ，
则 ，
故d,d: 是定值， 为 4；
【小问 3 详解】
第 18页/共 24页由（2） 可得 ， ，
即 ，
因此可得 B(A,入k+t)
， ， ，
因此 ，
,
若 ，则 ，
(4k2+2hi-t'+4)d=2'-8ki-8
即 ；
假设 ， 因为 ，得 ，
代入 得 ， 矛盾，
所以 ，所以 ，
t=2tan
从而有 即
， ，
故存在入=-4 使得k= tan 时 t=2tanβ
， .
fl x)=sin x-x cosx q-
19. 已知函数
，
数列 满足
，
且
fl. x)
（1） 判断函数 在区间 上的单调性；
第 19页/共 24页0<fx)<x
（2） 证明:当 时 ;
，
b,=af; reN'
（3） 设 证明：对任意且 有
，
【答案】（1） 单调递增
（2） 证明见解析 （ 3） 证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据导函数的正负判断；
（2） 通过研究 的单调性求证；将问题转化为求证 在 上恒成
立，通过研究函数k(1)= l1- tant 即可求证；
（3） 先求证 ， 法—， 逐—求证 ， ；
， ； wneN' ， ；法二， 通过构造函数：
yn eN' ， 再根据引理进行放
求证引理： 缩
，
即可.
【小问 1 详解】
,
sin x>( f'(x)>0 f(x)
当 时 故 在 上单调递
， ， ， ，
增 【小问 2 详解】
．
f(x)
由（ 1） 可知 上单调递增， 故当 时，
．法— ：要证sin x- xcos x<x 即证
， ，
构造函数 ，
g'(x)=cos. x-cos x+x sin x-l=x sin x-l
则
，
p(x)=g'(x)=x sin x-l p(x)=sin x+xcos x
令 则
， ，
第 20页/共 24页rns g(x)
当 时 故 在 上单调递增
， ， ，
g(0)=-l
又因为
， ，
g'(x)=0
由零点存在定理 ，存在唯— ，使得 ，
g(x) rrs g(x)
在 上， ， 单调递减；在 上， ， 单调递增．
又因为g(0)=0 所以在 上 g(x)<0
， ， ，
所以 即sin x- xcos x<x
， ， ．
法二： ， ．
令 即证tant< 2t
， ， ，
构造函数 ， ，则 ，
故k(1) 在 单调递增， ， 即 tant< 2t ， ，得
证． 【小问 3 详解】
q-
因为 ， 由（2） 可知 ，
0<a.1=fla,)<a,
故由迭代可知 则
， ．
法— ：引理 1： sin x<x
， ．
令 r(x)=-sin x 则
， ，
故 r(x) 在 单调递增， 于是 ，得证．
引理 2： ， ，
·
第 21页/共 24页t(x)=-sin x+x>0
令 则 故 在 单调递增
， ， ，
所以 ，得证．
引理 3： ， ．
,
由引理 1 和（2） 0<sina,-a, cosa,<a,-a, cosa,=a,(1-cosa,)
， ，
所以 ．
于是只需证： ．
由引理 2， ，
于是只需证： ．
令 ， 即证 ．
构造函数： 则
，
h(t)=312+6t>0 故 h(t) 在区间 上单调递增，
，
所以 ，得证．
由引理 ，
n=l
当 时， 也成立．
第 22页/共 24页法二： 先证引理： ， wneN' ．
第 22页/共 24页.
构造函数： ．
非负分解： ．
对第—个括号： ．
当 时， ， 显然成立．
对第二个括号： ．
l(x)=x sin x-=x(sin x-x)
构造函数： 则
， ．
令n(x)=sin x-x 则 m(x)=cos x-1<0 m(x) 在 单调递减
， ， ，
于是 ， l(x) 在 单调递减，
．
故 ．
于是 ，得证．
由引理
n=l
．当 时， 也成立．
r ed'
故 ， 即对任意 ，有 ．
第 23页/共 24页第 24页/共 24页
