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景胜学校 2023-2024 学年度第一学期高三月考（10 月）
数学（A 卷）试题
学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________
一、单选题
1. 命题：“ ”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】因为全称命题的否定是特称命题，直接写出命题的否定即可得出结论.
【详解】因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题：“ ”的否定是“ ”.
故选：C.
2. 已知集合 ， ，则A∩B中元素的个数为（ ）
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】
用列举法表示集合 ，从而可求出 .
【详解】解： ，则 共5个元素，
.
故选:C
3. 设 ，则满足 的复数z的个数为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】D
【解析】【分析】根据复数的运算可得， ，即可求出满足题意的解的个数．
【详解】因为 ，所以 ，而 ，所以当 时， ；当 时， 或
或 ；当 时， ，即满足 的复数z的个数为5．
故选：D．
4. 已知函数f(x)＝ 若函数g(x)＝f(x)－m有三个不同的零点，则实数m的取值范围为( )
A. [－ ，1] B. [－ ，1)
C. (－ ，0) D. (－ ，0]
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：函数g（x）=f（x）-m有三个不同的零点，
等价于函数y=f（x）与y=m的图象有三个不同的交点，
作出函数f（x）的图象如图：
由二次函数的知识可知，当x= 时，抛物线取最低点为- ，
函数y=m的图象为水平的直线，由图象可知当m∈（- ，0）时，
两函数的图象有三个不同的交点，即原函数有三个不同的零点
考点：分段函数的应用
5. 已知点 为 外接圆的圆心，且 ，则 的内角 等于( )
A. 30° B. 45°C. 60° D. 90°
【答案】A
【解析】
【分析】由题意可得 ，又因为 ，所以四边形 为菱形，且
，即可得答案.
【详解】解：由 得， ，
由 为 外接圆的圆心，
所以 ，
结合向量加法 的几何意义知，
四边形 为菱形，且 ，
故 .
故选：A.
6. 已知函数 ，若函数 在 上有两个零点，则实数 的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】由题意可得：
解得故选
7. 已知函数 ，若 ，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分类讨论，利用导数研究函数单调性，求出最值解决恒成立问题.
【详解】函数 ，
①当 ，即 时，满足 ；
②当 ，即 时，若 ，则有 ，
令 ，则有 ，
若 ，易知 在 上单调递增，不一定都满足 ，∴ ，即 ，
，由 ，解得 ，由 ，解得 ，所以，
在 上单调递增，在 上单调递减，由 ，则有
，解得 ，
所以 时，满足 ；
③当 ，即 时，若 ，则有 ，即，
易知 ，当且仅当 时取等号，当 时，
所以 ，
即 ，所以不满足 恒成立；
综上，若 ， 的取值范围是 .
故选：A
8. 若关于 的方程 有两个实数根，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】关于 的方程 有两个实数根等价于关于 的方程 有两个实数根.令 ，利
用导数判断其单调性，画出图象，由图可解.
【详解】当 时， 不成立，则 ，
所以关于 的方程 有两个实数根等价于关于 的方程 有两个实数根.
令 ，则
当 或 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
所以当 时， ，
又 时 ， 时 .则 的图象如下所示：
由图可知，当 时，关于 的方程 有两个实数根，
即关于 的方程 有两个实数根.
故选：D
二、多选题
9. （多选）设函数 ， ，则关于 的说法正确的是（ ）
A. 最小正周期为
B. 最小正周期为
C. 奇函数
D. 偶函数
【答案】AD
【解析】
【分析】正弦型函数 的周期可代入公式去求，奇偶性的判断，可以使用诱
导公式看是否能转化为 或 形式来判定.
【详解】 ，最小正周期 ,排除B，选A;由
可知函数 为偶函数，排除C，选D
故选:AD.
10. 已知函数 为偶函数，且 ，则下列结论一定正确的是（ ）
A. 的图象关于点 中心对称 B. 是周期为 的周期函数
C. 的图象关于直线 轴对称 D. 为偶函数
【答案】AD
【解析】
【分析】由 ，可知 的图象关于点 中心对称；结合函数 为偶函数可
得 是周期为 以及关于直线 轴对称，结合周期，对称中心和对称轴可判断出 为偶函数
【详解】因为 ，
所以 的图象关于点 中心对称，
又因为函数 为偶函数，
所以 是周期为 的周期函数，且它的图象关于点 中心对称和关于直线 轴对称，所以
为偶函数.
故选：AD.
11. 已知函数 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A. 对任意的 ， 的周期都不可能是
B. 存在 ，使得 的图象关于直线 对称C. 对任意的 ，
D. 对任意的 ， 在 上单调递减
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用函数的周期性的定义以及诱导公式可判断A；利用诱导公式计算 是否成立
可判断B；先利用二倍角公式化简 ，再换元构造新函数，借助函数的单调性及最值可判断
C，对化简后的函数 求导，利用导数判断 在 上的单调性可判断D，进而可得正确选项.
【详解】对于A， ，
所以 的周期都不可能是 ，故选项A正确；
对于B，若 的图象关于直线 对称，则 ，而
，所以不存在 ，使得 的图
象关于直线 对称，故选项B不正确；
对于C，注意到 ，令 ，则 ，令
，则 ， ， 易知 的最大值为 ，因此 ，故选项C正确；
对于D，因为 ，所以 ，
当 时， ， ，
所以 ，故 ， 在 上单调递减，故选
项D正确，
故选：ACD.
12. 已知函数 ，若 的最小正周期为 ，且对任意 ，均
有 ，则下列结论中正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 函数 在区间 上一定不存在零点
D. 若函数 在 上单调递减，则
【答案】BD
【解析】
【分析】先化简 ，再由函数的最小正周期确定 的值，由 可知 在 处取得最小值，从而得到 与辅助角的关系，进而可判断选项A，B的正误；
由 在 处取得最小值以及函数的最小正周期，可确定函数 在 ）以及
， 上的正负以及单调性，
从而得出函数 以及 的单调性，即可判断选项C，D的正误．
【详解】 ，
其中 ， ，依题意可得 ，
于是 ，其中 ， ．
因为 ，即 在 处取得最小值，所以 ，
所以 ．当 时， ，
因此 ， ，解得 ．故A选项错误；
因为 ，
所以 ，解得 ，故B选项正确；
由于 在 处取得最小值，且周期为 ，
所以当 时， ，因此 ，
因此 在区间 上有无数个零点，故C选项错误；由于 在 处取得最小值，且周期为 ，所以 ，
当 时， 单调递增，且 ，
于是当 时， 单调递减，
而当 时， 单调递减，且 ，
于是当 时，y 单调递增，
故 ，即 ，故D选项正确．
故选：BD
【点睛】解决三角函数综合问题的一般步骤：
（1）将 化为 的形式；
（2）构造 ；
（3）和角公式逆用，得 （其中 ， ）；
（4）利用正弦函数的图象与性质研究 的图象与性质．
三、填空题
13. 设 为虚数单位，若复数 ，则 的实部与虚部的和为___________.
【答案】
【解析】
【分析】利用复数的乘法化简复数 ，即可求得结果.
【详解】因为 ，因此，复数 的实部与虚部之和为 .
故答案为： .14. .在正方形 中， ， 分别是边 上的动点，当 时，则
的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据直角坐标系中点的坐标可得向量的坐标，根据向量的数量积坐标运算以及模长的坐标运算即
可利用函数的性质求其最值.
【详解】
以点A为原点建立如图坐标系， ， ，
即 ，而 ，
当 时， 最小为 ，当 或 时， 最大为2，
所以取值范围为 .
故答案为：
15. 在 中，边 ， 满足 ， ，则边 的最小值为______．
【答案】 ．
【解析】
【分析】
首先利用基本不等式得 ，然后 ，
然后即可得出答案.【详解】 ， ， ，当且仅当 时取等号，
由余弦定理可得 ，
，则边 的最小值为 ．
【点睛】本题考查的是余弦定理及利用基本不等式求最值，属于基础题.
16. 已知函数 为定义域为 的偶函数，且满足 ，当 时，
.若函数 在区间 上的所有零点之和为__________．
【答案】
【解析】
【分析】将 在 上的零点之和转化为 与 的交点的横坐标之和；根据抽象函数
关系式可判断出 图象关于 对称且周期为 ；由 可知 关于
中心对称；作出 与 的图象，根据交点个数和交点关于 对称可求得结果.
【详解】 ， 图象关于 对称，且 ，
为偶函数， ， 是周期为 的周期函数；
在 上的零点之和等价于 与 的交点的横坐标之和；又 ， 图象关于 中心对称；
作出 与 的图象如下图所示，
由图象可知： 与 在 上有 个交点，并且关于 中心对称，
交点横坐标之和为 ，即所有零点之和为 .
故答案为： .
四、解答题
17. 已知正项数列 满足： ，其中 为 的前 项和.
（1）求数列 通项公式.
（2）设 ，求数列 前 项和 .
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】
【详解】试题分析：（Ⅰ）由题意，可根据数列通项 与前 项和 的关系 进行
整理化简，可以发现数列 是以首项为3，公差为2的等差数列，从而根据等差数列的通项公式即求得数列 的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）可求得 ，根据其特点，利用裂项相消求和法进行即可.
试题解析：（Ⅰ）令 ，得 ，且 ，解得 .
当 时， ，即 ，
整理得 ， ， ，
所以数列 是首项为3，公差为2的等差数列，
故 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知： ，
.
点睛：此题主要考查数列中求通项公式与前 项和公式的运算，其中涉及到数列通项 与前 项和 的
关系式，还裂项相消求和法的应用，属于中档题型，也是常考考点.裂项相消求和法是数列求和问题中一
种重要的方法，实质上是把一个数列的每一项分裂为两项的差，从而达到求和时相邻两项互相抵消而求出
和的目的.
18. 已知 ．
（1）求 的值；
（2）求 的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】【分析】（1）直接用二倍角余弦公式即可得结果；
（2）由三角恒等式求出 ，再根据两角差的正弦公式即可得结果.
【小问1详解】
因为 ，
所以 .
【小问2详解】
因为 ，所以 ，
所以 .
19. 已知函数 是定义在 上的奇函数，且 .
（1）确定函数 的解析式；
（2）当 时判断函数 的单调性，并证明；
（3）解不等式 .
【答案】（1） ；（2） 在区间 上是增函数，证明见解析；（3） .
【解析】
【分析】（1）由奇函数的概念可得 的值，根据 可得 的值，进而得结果；
（2）设 ，用作差法分析可得可得 ，由函数单调性的定义即可得证明；
.
（3）将奇偶性和单调性相结合列出不等式组，解出即可
【详解】（1）∵ ，∴ ，即 ，∴ .
∴ ，
又 ， ，
∴ .
（2）对区间 上得任意两个值 ， ，且 ，
，
∵ ，∴ ， ， ， ，
∴ ，∴ ，
∴ 在区间 上是增函数.
（3）∵ ，
∴ ，
，解得 ，
∴实数 得取值范围为 .
20.已知函数 .
（Ⅰ）求 的最小正周期：
（Ⅱ）求 在区间 上的最大值和最小值.
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）2， ．
【解析】
【详解】（Ⅰ）因为
，
故 最小正周期为
（Ⅱ）因为 ，所以 ．
于是，当 ，即 时， 取得最大值 ；
当 ，即 时， 取得最小值 ．
点睛：本题主要考查了两角和的正弦公式，辅助角公式，正弦函数的性质，熟练掌握公式是解答本题的关
键.
21. 在数列 中，已知前n项和为 ， ， ， ．
（1）求 的通项公式及 的表达式；
（2）设 ，求数列 的前n项和 的表达式．【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件累加求出 的通项公式，得出是等差数列，进而求出前n项和 .
（2）求出数列 的通项公式，错位相减得出数列 的前n项和 的表达式．
【小问1详解】
由题意，
在数列 中， ，
∴ ，
解得： ，
即 ，
∴ ，
，
，…，
，
累加得， ，
∴ ，∵ ， 符合上式，
∴ ，
∴ 的是以首项为 ，公差 的等差数列.
∴
即： ．
【小问2详解】
由题意及（1）得，
在等差数列 中，
，
在数列 中，
，
∴ ，
，
∴
解得： ．
22. △ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，D是AC的中点，已知平面向量 、 满足
， ， ．
（1）求A；（2）若 ， ，求△ABC的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用正弦定理角化边得到 ，再借助余弦定理即可求出A；
（2）先利用余弦定理得到 ，再化简为 ，即可求出 ，再利
用三角形面积公式求解即可.
【小问1详解】
∵ ， ， ，
∴ ．
∴ ，即 ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
【小问2详解】
△ABD中，由 ， 和余弦定理，得
在
．
∵D是AC的中点，∴
∴ ，化简得 ，即 ．
∵ ，
∴ ，解得 ．
∴ ．
∴△ABC的面积为 ．
