2022级高二年第二学期数学科开门检测试卷（详解）(1)_2024年4月_01按日期_6号_2024届新结构高考数学合集_新高考19题（九省联考模式）数学合集140套

2022 级高二年第二学期数学科开门检测试卷（详解）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目
要求的．
1．抛物线 y 2x2的焦点坐标为（ ）
 1 1   1 1 
A. 0,  B.  ,0 C. 0,  D.  ,0
 2 2   8 8 
【答案】C
1  1
【详解】化抛物线方程 y 2x2为标准方程x2  y，所以焦点坐标为0, .
2  8
故选：C
2．设等比数列  a  的前n项和为S ，若a 2，且a ，a ，a 2成等差数列，则S （ ）
n n 2 2 3 4 4
A.7 B.12 C.15 D.31
【答案】C
【详解】设公比为q  q0  ，因为a ，a ，a 2成等差数列，所以2a a a 2，
2 3 4 3 2 4
则22q22q2 2，解得：q=2或0（舍去）.
124
因为a 2，所以a 1，故S  15.
2 1 4 12
故选：C
3
3．已知直线l :ax2ya0,l :3x2a1ya10，则“a ”是“l  l ”的（ ）
1 2 2 1 2
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据直线平行的条件可求出a的值，再根据a的值判断两直线是否平行，即可得答案.
【详解】当l  l 时，a2a16，解得a2或a 3 ．
1 2 2
当a2时，l 与l 重合，不符合l l ；
1 2 1 2
3 3 3 1
当a 时，l : x2y 0,l :3x4y 0,l 与l 不重合，符合l  l ，
2 1 2 2 2 2 1 2 1 2
3
故“a ”是“l  l ”的充要条件．
2 1 2
故选：C
4．“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的运用，最具代表性的便是园林中的门洞．如图，
某园林中的圆弧形挪动高为2.5m，底面宽为1m，则该门洞的半径为（ ）
{#{QQABTYCEggCIAAIAAAgCQw3oCkKQkAAACAoOAFAEoAABSBFABAA=}#}A.1.2m B.1.3m C.1.4m D.1.5m
【答案】B
1 2 25 1
【详解】设半径为R， 2.5R 2 
 
 R2,解得  5R,化简得R 1.3.
2 4 4
故选：B.
S 1 S
5．设S 是等差数列a 的前n项和，若 5  ，则 10 （ ）
n n S 3 S
10 20
3 3 3 3
A． B． C． D．
7 14 11 10
【答案】D
【解析】由等差数列片段和性质知：S ,S S ,S S ,S S ,是等差数列.
5 10 5 15 10 20 15
S 1
由 5  ，可设S tt0，则S 3t，
S 3 5 10
10
于是S ,S S ,S S ,S S ,依次为t,2t,3t,4t,，
5 10 5 15 10 20 15
S 3
所以S t2t3t4t10t，所以 10  .故选：D
20 S 10
20
6．正方体ABCDABCD 的棱长为4，M 为棱CC 中点，F 为正方形ABCD 内（含边界）的动点，若MF  AM ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1
则动点F 的轨迹长度为（ ）

A． 2 B．2 2 C． D．
2
【答案】A
【分析】建立空间直角坐标系，设Fx,y,4，根据MF  AM 列等式，得到点F 的轨迹方程，理解方程含义为线段，
结合图形得到端点坐标，求解.
【详解】如图建立空间直角坐标系，设Fx,y,4，则A4,0,0 ,M0,4,2
,
 
则AM 4,4,2，MF x,y4,2 .

因为MF  AM ，所以AM·MF 4x4y4220 ，
所以xy30，所以点F 的轨迹为上底面中的一条线段.
易知点F 的轨迹所在直线与上底面正方形的边的交点坐标分别为(0,3,4),(1,4,4)，
所以动点F 的轨迹长度为 (01)2342(44)2  2
故选：A
{#{QQABTYCEggCIAAIAAAgCQw3oCkKQkAAACAoOAFAEoAABSBFABAA=}#}7．已知数列  a  满足a 1， 1  1 3，设数列  a a  的前n项和为T ，若T  33  kN ，则k的最小
n 1 a a n n1 n k 101
n1 n
值是（ ）
A. 16 B. 17 C. 18 D. 19
【答案】B
1 1 1  1 
【详解】  3， =1，数列 是以1为首项，3为公差的等差数列，
a n1 a n a 1 a n 
 1 13  n1 3n2，则a  1 ，
a n 3n2
n
1 1 1 1 
a a     ，
n n1  3n2  3n1  33n2 3n1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  1 1  n
T  1           1   ，
n 3 4 4 7 7 10 3n5 3n2 3n2 3n1 3 3n1 3n1
33 k 33 33
由T  得：  ，解得：k  ，又kN，k 17.
k 101 3k 1 101 2 min
故选：B.
x2 y2 2π
8．已知椭圆C :  1(ab0)的左、右焦点分别为F,F ,C 的上顶点为M，且FMF  ，双曲线C 和椭
1 a2 b2 1 2 1 1 2 3 2
1
圆C 有相同的焦点，P为C 与C 的一个公共点.若|OP| FF （O为坐标原点），则C 的离心率e（ ）
1 1 2 2 1 2 2
A． 4 B． 5 C． 2 D． 6
3 2 2
【答案】D
【解析】依题意，设焦距为2c，椭圆的长轴长为2a ，短轴长为2b ，离心率为e ，
1 1 1
双曲线的长轴长为2a ，短轴长为2b ，离心率为e ，
2 2 2
2π |OF | c 3
因为FMF  ，则在RtMOF中， 1  sin60 e，
1 2 3 1 |MF | a 2 1
1
{#{QQABTYCEggCIAAIAAAgCQw3oCkKQkAAACAoOAFAEoAABSBFABAA=}#}根据对称性，不妨设椭圆与双曲线的交点P在第二象限，
1
因为 OP  FF  OF  OF ，所以PF PF ，则 PF 2 PF 2  FF 2 4c2，
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
由双曲线的定义知： PF  PF 2a ，由椭圆的定义知： PF  PF 2a ，
1 2 2 1 2 1
则 PF 2 PF 2 2a22a2，则2a22a2 4c2，
1 2 1 2 1 2
则a2a2 2c2，则 1  1 2，又e  3 ，解得e  6 .
1 2 e2 e2 1 2 2 2
1 2
6
所以C 的离心率e .故选：D.
2
2
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选
对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．关于空间向量，下列说法正确的是（ ）
r   1
A. 直线l的方向向量为a 1,1,2 ，直线m的方向向量b 2,1, ，则l m
 2
 
B. 直线l的方向向量为a  0,1,1 ，平面的法向量为b 0,1,1 ，则l∥
   1
C. 平面，的法向量分别为a 1,1,2 ，b 1,0, ，则∥
 2
 1 1 1
D. 若对空间内任意一点O，都有OP  OA OB OC ，则P，A，B，C四点共面
2 3 6
【答案】AD
r   1
【详解】对于A，直线l的方向向量为a  1,1,2 ，直线m的方向向量b 2,1, ，
 2
 
由ab  2110，则l m，故正确
 
对于B，直线l的方向向量为a  0,1,1 ，平面的法向量为b 0,1,1 ，
r r
所以a b，则l ，故错误；
   1
对于C，平面，的法向量分别为a 1,1,2 ，b 1,0, ，
 2
   1 r r
所以ab 1,0,  1,1,2 110 ，ab，则，故错误；
 2
 1 1 1
1 1 1
对于D，OP  OA OB OC ，得   1，则P，A，B，C四点共面，故正确.
2 3 6 2 3 6
故选：AD.
10．直线l:mxm2y2m20，圆C:x2 y24x0，下列结论正确的是（ ）
A．直线l恒过定点1,1
{#{QQABTYCEggCIAAIAAAgCQw3oCkKQkAAACAoOAFAEoAABSBFABAA=}#}B．直线l与圆C必有两个交点
C．直线l与圆C的相交弦长的最大值为2 2
D．当m0时，圆C上存在3个点到直线l距离等于1
【答案】ABD
【分析】利用直线过定点的求解方法求出定点即可判断A；判断定点与圆的位置关系即可判断直线与圆的位置关系；
利用相交弦最长的是直径即可判断C；利用圆心2,0到直线l的距离为1，再结合图形即可判断D.
xy20 x1
【详解】将直线l的方程化为mxy22y20，令 ，解得 ，所以直线l恒过定点1,1，选
2y20 y1
项A正确；
圆C:x2 y24x0的方程化为x22 y2 4，圆心2,0，半径2，
直线l恒过定点1,1到圆心的距离为 12212  22，
所以定点1,1在圆C内，故而直线l与圆C必有两个交点，所以选项B正确；
直线l与圆C的相交，相交弦最长的是直径，故而相交弦长的最大值为4，所以选项C错误；
当m0时，直线l:y1，圆心2,0到直线l的距离为1，如图所示，
x轴与圆的两个交点O、B到直线l的距离为1；又因为圆半径为2，
所以直线x2与圆的交点A到直线l的距离为1，故而圆C上存在3个点到直线l距离等于1，选项D正确.
故选：ABD
3
11．已知M ，N 是抛物线C:x2 2py(p0)上两点，焦点为F，抛物线上一点P(t,1)到焦点F的距离为 ，下列说
2
法正确的是（ ）
A．p1
B．若OM ON ，则直线MN恒过定点(0,1)
1
C．若△MOF的外接圆与抛物线C的准线相切，则该圆的半径为
2
  2
D．若MF 2FN ，则直线MN的斜率为
4
【答案】AD
p 3
【解析】对于A：根据抛物线的定义知1  ，得 p1，故A选项正确；
2 2
对于B：设Mx,y ，Nx ,y ，因为直线MN斜率必存在，
1 1 2 2
设直线MN的方程为ykxb，代入x2 2y得x22kx2b0，4k28b0，
1
x2x2
所以x 1 x 2 2k，x 1 x 2 2b，所以 k k  y 1 y 2  4 1 2  1 xx  b 1 ，解得b2，
OM ON xx xx 4 1 2 2
1 2 1 2
{#{QQABTYCEggCIAAIAAAgCQw3oCkKQkAAACAoOAFAEoAABSBFABAA=}#}所以直线MN恒过定点(0,2)，故B选项错误；
p 1  1
对于C：MOF的外接圆与抛物线的准线y  相切，F0, ，O0,0，
2 2  2
因为MOF外接圆的圆心为各边垂直平分线的交点，
1
0
从而可得△MOF外接圆圆心的纵坐标为
2
1，又与抛物线准线相切，

2 4
1 p 3
所以得外接圆半径为   ，故C选项错误；
4 2 4
 
对于D：因为MF 2FN，所以直线MN过焦点F ，且 MF 2 FN ，
设直线MN的倾斜角为 ，由抛物线性质知MN的斜率为互为相反数的两个值，
如图，过M ，N分别向准线作垂线MA，NB，过N 向MA作垂线NC，
设|FN|m(m0)，则|MN|3m，|NB|m，|MA|2m，|MC|m，
|MC| 1 2 2 2
sin  ，cos ，tan ，
|MN| 3 3 4
2
根据对称性可得tan ，故D选项正确.故选：AD.
4
 1 
12．已知数列a 的前n项和为S ，a 1，且对任意正整数n，S 4a a 3恒成立，b  2n a ，数
n n 1 n n1 n n n1  n
列b 的前n项和为T ，则下列说法正确的是（ ）
n n
A．数列2a a 是等比数列 B．a (n1)2n
n1 n n
n3 1 n(n2)
C．S 3 D．T 1 
n 2n n 2n 2
【答案】AC
【分析】A选项，由n2时a S S ，定义法证明数列2a a 是等比数列；B选项，由A选项的结论，构
n n n1 n1 n
造  2na  为等差数列，求出通项得a ；C选项，利用B选项中的结论验证；D选项，利用分组求和法求数列b 的
n n n
前n项和.
3
【详解】对于A，由S 4a a 3，当n1时，S 4a a 4a a 3，解得a  ；
n n1 n 1 2 1 2 1 2 4
1
当n2时，S 4a a 3，所以a 4a 4a a a ，即2a a  2a a  .
n1 n n1 n n1 n n n1 n1 n 2 n n1
又2a a  1 ，所以2a a 是首项为 1 ，公比为 1 的等比数列，A正确.
2 1 2 n1 n 2 2
1
对于B，由A易得，2a a  ，则2n1a 2na 1.
n1 n 2n n1 n
{#{QQABTYCEggCIAAIAAAgCQw3oCkKQkAAACAoOAFAEoAABSBFABAA=}#}又2a 2，所以  2na  是首项为2，公差为1的等差数列.
1 n
n1
则有2na n1，所以a  ，B错误.
n n 2n
n1 n3
对于C，因为S 4a a 3，a  ，所以S 4a a 33 ，C正确.
n n1 n n 2n n n1 n 2n
 1   1  n1 1
对于D，因为b  2n a  2n   n1，
n n1  n n1  2n 2n
 1 1 1  1
nn3
所以T n  21  22  2n    23n1  1 2n  2 ，D错误.
故选：AC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知点P(0,2,0)，A(0,0,4)，平面ABC的一个法向量为n(2,1,1)，则点P到平面ABC的距离为
6
【答案】
3
 
 |PAn| 6
【详解】 PA(0,2,4)，则点P到平面ABC的距离d    .
|n| 3
14．在平面直角坐标系xOy中，已知圆O:x2  y2 1，写出满足条件“过点  3,0  且与圆O相外切”的一个圆的标
准方程为__________.
【答案】(x2)2  y2 1（答案不唯一）
   3a 2  0b 2 r2
【详解】设满足条件的圆的标准方程为(xa)2 (yb)2 r2（r 0），则有 ，即
 a2 b2  r1 2
a2 6a9b2 r2
 ，两式相减化简得r 3a5.
a2 b2 r2 2r1
不妨取a2，则r =1, b=0，故满足条件的圆的标准方程为(x2)2  y2 1.
故答案为：(x2)2  y2 1（答案不唯一）
15．数列a 满足a (1)na 2n1，前12项和为158，则a 的值为______.
n n2 n 1
【答案】5
【详解】因为a (1)na 2n1，
n2 n
所以a a 3，a a 11，a a 19，
4 2 8 6 12 10
a a a a a a  33，
2 4 6 8 10 12
又a a 1,a a 5,a a 9,a a 13，a a 17，
3 1 5 3 7 5 9 7 11 9
a a a a a a
1 3 5 7 9 11
{#{QQABTYCEggCIAAIAAAgCQw3oCkKQkAAACAoOAFAEoAABSBFABAA=}#}a a 2a a 3a a 4a a 5a a 6a
11 9 9 7 7 5 5 3 3 1 1
171329354156a 15833，
1
a 5.
1
x2 y2
16．已知F，F 分别为双曲线C：  1a0,b0的左右焦点，过点F且斜率存在的直线l与双曲线C的渐
1 2 a2 b2 1
8c
近线相交于A,B两点，且点A、B在x轴的上方，A、B两个点到x轴的距离之和为 ，若 AF  BF ，则双曲线
5 2 2
的渐近线方程是 .
6
【答案】y x
3
【解析】设Ax,y ,Bx ,y ，依题意y 0,y 0，设AB的中点为Mx ,y ,y 0，
1 1 2 2 1 2 0 0 0
1
由于 AF  BF ，所以MF  AB，所以OM  FF c ，OM 2 c2，
2 2 2 2 1 2
8c y  y 4c
由于y y  ，所以y  1 2  ，
1 2 5 0 2 5
4c 2 3c 3c 4c  3c 4c
所以 x  c2   ，所以M , 或M , ，
0  5  5  5 5   5 5 
由于Ax,y ,Bx ,y 在双曲线的渐近线上，
1 1 2 2
x2 y2
所以    a 1 2  b 1 2 0 ，两式相减并化简得 b2  y 1  y 2  y 1  y 2  y 0 k k     1  ，F c,0，
x 2 2  y 2 2 0 a2 x 1  x 2 x 1 x 2 x 0 AB OM   k MF2   2
a2 b2
 
 
 
 
若M   3c , 4c ，则 b2  4  1  8 不符合题意，舍去.
 5 5  a2 3  4c  3
0
 
5
 
3c
  c 
 5 
 
 
 
 
若M   3c , 4c ，则 b2  4  1  2 ，所以 b  6 ，
 5 5  a2 3  4c 0  3 a 3
 
5
 
3c
 c
 5 
6
所以渐近线方程为y x.
3
{#{QQABTYCEggCIAAIAAAgCQw3oCkKQkAAACAoOAFAEoAABSBFABAA=}#}四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知等差数列a 的前n项和为S ，且a a 1，S 3a .
n n 2 1 5 5
(1)求a 的通项公式；
n
1
(2)设b a  ，求数列b 的前n项和T .
n n 2an n n
【详解】（1）设等差数列a 的公差为d，
n
a a d 1
 2 1 a 1
由题意， 54 ，解得 1 ，
S 5a  d 3a 3a 4d d 1
 5 1 2 5 1
所以a a (n1)d n ，
n 1
故数列a 的通项公式a n 5分
n n
1 1
（2）由（1）知，b a  n ，
n n 2an 2n
 1  1   1   1 
所以T 1 2 3 n 
n  2  22  23  2 n
1 1 1 1 
(123 n)     
2 22 23 2n
1  1 n

n(n1)

2   1 2    

n2n2



1

n
.
2 1 2 2
1
2
故数列b n 的前n项和T n  n2 2 n2     1 2    n . 10分
18．（12分）
在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为xm2

y2m3

2 1，mR．
（1）当m1时，过原点O作直线l与圆C相切，求直线l的方程；
（2）对于P2,2，若圆C上存在点M，使 MP  MO ，求实数m的取值范围．
【解析】（1）当m1时，圆C的方程为x12y52 1，圆心C1,5，半径r 1，
①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x0，满足条件；
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykx，
k5
12
由直线l与圆C相切，则 1，解得k ，
k2 1 5
12
所以l的方程为y x，即12x5y0，
5
综上得，直线l的方程为x0或12x5y0； 6分
{#{QQABTYCEggCIAAIAAAgCQw3oCkKQkAAACAoOAFAEoAABSBFABAA=}#}（2）圆心Cm,2m3，k 1，
OP
则线段OP的中垂线的方程为y1 x1，即y x2，
要使得 MP  MO ，则M在线段OP的中垂线上，
所以存在点M既要在y x2上，又要在圆C上，
所以直线y x2与圆C有公共点，
m2m32
所以 1，解得5 2 m5 2，所以m  5 2,5 2  ． 12分
2
19．（12分）
x2 y2
己知双曲线C:  1(a0,b0)的一条渐近线为 5x2y0，其虚轴长为2 5,P为双曲线C上任意一点．
a2 b2
(1)求证：P到两条渐近线的距离之积为定值，并求出此定值；
 
(2)若双曲线C的左顶点为A，右焦点为F ，求PA PF 的最小值．
1 2 1 2
 b 5
 
【详解】（1）由题意可得 a 2 ，解得a2,b 5，

2b2 5
x2 y2
因此，双曲线C的方程为  1
4 5
设Px,y，则5x24y220，渐近线为 5x2y0，
P到两条渐近线的距离之积
dd 
5x2y

5x2y

5x24y2

20 ..................................................................5分
1 2 3 3 9 9
（2）
由已知，得A 2,0，F 3,0设Px,y(x2或x2)，
1 2
x2 y2 5
P在双曲线上，所以  1，y2  x25
4 5 4
 
因此PA PF 2x,y3x,y x 2x6y 2
1 2
5 9
 x2x6 x25 x2x11 x2或x2)，
4 4
2  
对称轴为x ，由于x2或x2)，所以当x2时，PA PF 取得最小值为4..............................12分
9 1 2
{#{QQABTYCEggCIAAIAAAgCQw3oCkKQkAAACAoOAFAEoAABSBFABAA=}#}20．（12分）
如图，在圆锥DO中，D为圆锥顶点，AB为圆锥底面的直径，O为底面圆的圆心，C为底面圆周上一点，四边形
OAED为矩形．
（1）求证：平面BCD⊥平面ACE；
（2）若AE 2，AC1，BC 3，求平面ADE和平面CDE夹角的余弦值
【解析】（1）∵AB为圆锥底面的直径，C为底面圆周上一点，∴BC⊥AC．
∵四边形OAED为矩形，OD⊥平面ABC，
∴AE//OD，AE⊥平面ABC，又BC平面ABC，
又∵AEAC  A，AE平面ACE，AC平面ACE，∴BC⊥平面ACE．
又BC平面BCD，∴平面BCD⊥平面ACE． 5分
（2）以C为坐标原点，AC，BC所在直线分别为x，y轴，过点C且与OD平行的直线为z轴，
建立空间直角坐标系，如图，
则C0,0,0，A1,0,0，D   1 , 3 , 2  ，E  1,0, 2  ，
 
 2 2 
    1 3    
AE  0,0, 2 ，ED , ,0，CE  1,0, 2 ．
 
2 2 

设平面ADE的法向量为n x,y ,z ，
1 1 1 1
   2z 0
 AEn 0  1
则  1 ，即 1 3 ，
EDn 0  x  y 0
1 2 1 2 1

 
令y 1，得x  3，所以n  3,1,0 ．
1 1 1

设平面CDE的法向量为n x ,y ,z ，
2 2 2 2
  x  2z 0
 CEn 0  2 2
则  2  ，即 1 3 ，
EDn 0  x  y 0
2 2 2 2 2
6
  6
令y
2
1，得x
2
 3，z
2

2
，所以n
2

 
3,1,
2

 
，
  n n 31 2 22
cos n , n  1 2  
所以 1 2 n n 11 11 ，
1 2 2
2
2 22
所以平面ADE和平面CDE夹角的余弦值为 ． 12分
11
{#{QQABTYCEggCIAAIAAAgCQw3oCkKQkAAACAoOAFAEoAABSBFABAA=}#}21．（12分）
n1
已知数列a 中，a 1，a 2a 3a na  a （nN*）.
n 1 1 2 3 n 2 n1
（1）求数列
a
n
的通项公式；
（2）若对于nN*，使得a n1恒成立，求实数的取值范围.
n
n1
【解析】（1）因为a 2a 3a na  a ①，
1 2 3 n 2 n1
n
当n2时，a 2a 3a (n1)a  a ②，
1 2 3 n1 2 n
n1 n (n1)a
由①②得na  a  a ，整理得到 n1 3，
n 2 n1 2 n na
n
n1
又由a 2a 3a na  a ，当n1时，得到a a ，即a 1，
1 2 3 n 2 n1 1 2 2
故数列na 从第二项起，是以2为首项，以3为公比的等比数列，
n
2
所以na 23n2(n2)，即a  3n2(n2)，
n n n
1,n1
2 
又n1时，a  1，所以a 2 . 6分
1 3 n  3n2,n2
n
a 1
（2）因为a n1，等价于 n ，当n1时， ，
n n1 2
a 23n2
由（1）知，当n2时， n  ，
n1 n(n1)
23n2
设 f(n) (n2,nN)，
n(n1)
23n1 23n2 4(n1)3n2
则 f(n1) f(n)   0对n2,nN恒成立，
(n1)(n2) n(n1) n(n1)(n2)
230 1 1
所以 f(n) f(2)  ，故当n2时， ，
2(21) 3 3
1 1 1
又  ，所以 . 12分
2 3 3
22．（12分）
已知椭圆C的中心在坐标原点，两焦点F,F 在x轴上，离心率为 1 ，点P在C上，且△PFF 的周长为6．
1 2 2 1 2
（1）求椭圆C的标准方程；
 
（2）过点M 4,0 的动直线l与C相交于A，B两点，点B关于x轴的对称点为D，直线AD与x轴的交点为E，
求ABE的面积的最大值．
【详解】（1）
{#{QQABTYCEggCIAAIAAAgCQw3oCkKQkAAACAoOAFAEoAABSBFABAA=}#}c 1

 a 2
a 2
  x2 y2
由题知：2a2c6 b 3 ，所以椭圆C:  1 ……4分
  4 3
a2 b2 c2 c1
 

（2）如图所示：
设直线l:xty4  t 0  ，A  x ,y  ,B  x ,y  .
1 1 2 2
xty4

 
x2 y2  3t2 4 y2 24ty360.

 1
 4 3
 24t 2 4  3t2 4  360，解得t2  4.
24t 36
y  y  ， y y  .……7分
1 2 3t2 4 1 2 3t2 4
因为点B,D关于x轴对称，所以Dx ,y  .
2 2
设E  x ,0  ，因为A,E,D三点共线，所以k k .
0 AE DE
y y
即 1  2 ，即 y  x x y  x x  .
x x x x 1 2 0 2 1 0
1 0 2 0
y x  y x y  ty 4  y  ty 4  2ty y 4  y  y 
解得x  1 2 2 1  1 2 2 1  1 2 1 2
0 y  y y  y y  y
1 2 1 2 1 2
2t36
 41.
24t
所以点E  1,0  为定点， EM 3. ……9分
1 3
S  S S  EM  y  y   y  y 2 4y y
ABE AME BME 2 1 2 2 1 2 1 2
3  24t  2 436 18 t2 4
      .
2  3t2 4 3t2 4 3t2 4
令m t2 4 0，
18m 18m 18 18 3 3
S     
则 △ABE 3  m2 4  4 3m2 16 16 2 48 4 ，
3m
m
16 4 3
当且仅当3m ，即m 时取等号.
m 3
3 3
所以ABE的面积的最大值为 . ……12分
4
{#{QQABTYCEggCIAAIAAAgCQw3oCkKQkAAACAoOAFAEoAABSBFABAA=}#}