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高三数学开学考试数学试题
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项
是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.）
1. 已知集合 ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】由已知， ，所以 ,
故选：B.
2. 方程 的根所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】令 ，
故函数 为定义在 上的连续函数，且显然为增函数，
因为 ， ， ，
由零点存在定理可知，方程 的根所在的区间为 .
故选：C.
3. 离散型随机变量X的分布列如下：
X 1 2 3 4
P m 0.3 n 0.2
若 ，则下列结论错误的是（ ）
A. B.
C. D.【答案】D
【详解】由题设 ，则 ，A对；
由 ，则 ，联立 ，
所以 ，则 ，D错；
，B对；
，C对.
故选：D
4. 已知 分别为曲线 和直线 上的点，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】令 ，
因 ，则 ，
故曲线 和直线 无交点，
，则 ，令 ，解得 ，
则曲线 上的点 到直线 的距离 ，
则 的最小值为 .
故选：A
5. 如图，湖北省分别与湖南、安徽、陕西、江西四省交界，且湘、皖、陕互不交界，在地图上分别给各省
地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有4种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数为（ ）A. 96 B. 144 C. 480 D. 600
【答案】B
【详解】第一步涂陕西有4种选择，第二步涂湖北有3种选择，第三步涂安徽有3种选择，第四步涂江西
有2选择，第五步涂湖南有2种选择，
所以共有 种涂色方案.
故选：B
6. 为了研究某种商品的广告投入 和收益 之间的相关关系，某研究小组收集了5组样本数据如表所示，
得到线性回归方程为 ，则当广告投入为10万元时，收益的预测值为（ ）万元．
/万
1 2 3 4 5
元
/万
0.50 0.80 1.00 1.20 1.50
元
A. 2.48 B. 2.58 C. 2.68 D. 2.88
【答案】C
【详解】由 ，
可得数据可得样本中心点为：
代入回归方程 ，解得： ，
所以当 时， ．
故选：C7. 小明和小强两人计划假期到南京游玩，他们分别从“夫子庙”“钟山风景区”“玄武湖”三个景区中随机选择
一个游玩．记事件 “两人中至少有一人选择夫子庙”，事件 “两人选择的景区不同”，则
（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】由题意可得 ， ，
所以 .
故选：A.
8. 已知函数 ，下列命题正确的有（ ）
A. 可能有2个零点
B. 没有极小值
C. 时，
D. 若 存在极大值点 ，其中 ，则
【答案】D
【详解】函数的定义域为 ， .
当 时， ，根据二次函数性质可知 最低点坐标为 ，此时函数 与 轴
无交点，即函数 无零点；当 时，令 ， 或 .
当 时，在 时， ，在 上 ，即 在 上
单调递增，在 和 上单调递减.
故此时 有极小值点 ，极小值 为，存在极大值点 ，极大值为
； ，所以 有一个零点.
当 时，在 时， ，在 上 ，即 在
和 上单调递增，在 上单调递减.
故此时 有极小值点 ，极小值为 ，存在极大值点 ，极大值为 ；
，所以 有一个零点.
对于A，当 时，函数 无零点； 和 时 有一个零点；故A错误；
对于B，当 时，函数 有极小值，故B错误；
对于C， 时， ，此时 在 上单调递减，又 ，所以
，故C错误；对于D，由上述分析可知 ，则 ， ，即
.
已知方程已有一根为 ，故可因式分解得 ，解得与 相异的根 ，则
，故D正确.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在等比数列{ }中， ，则{ }的公比可能为（ ）
A. B. C. 2 D. 4
【答案】BC
【详解】因为在等比数列{ }中， ，
设等比数列的公比为 ，则 ，所以 ，
故选： .
10. 已知 是定义在 上的可导函数，则（ ）
A. 若 ，则 是增函数
B. 若 ，则0是 的极值点
C. 若 ，则
D. 若 ，则 是减函数【答案】AD
【详解】若 ，则 是增函数，故A正确；
当 时，0不一定是 的极值点，如 ， ，但 没有极值，故B错误；
若 ，则 ，故C错误；
因为 ，所以 ，
所以 在 上是减函数，故D正确.
故选：AD.
11. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差
B. 关于一元线性回归，若相关系数 ，则y与x的相关程度很强
C. 决定系数 ，甲、乙两个模型的 分别约为0.98和0.80，则模型乙的拟合效果更
好.
D. 若随机变量 ， 满足 ，则
【答案】BD
的
【详解】对于A，残差图中残差点分布 带状区域的宽度越窄表示回归效果越好，A错误；
对于B，相关系数 很接近1，则随机变量y与x的相关程度很强，故B正确；
对于C，因为甲的决定系数比乙的决定系数更接近1，所以模型甲的拟合效果更好，故C错误；
对于D，由随机变量方差的性质知加减不改变方差，缩放后方差变为平方倍，故 ，故D正
确.
故选：BD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知 ，且 ，则 ________．
【答案】
【详解】 ,
故答案为：
13. 将2名女生和3名男生分配到两个不同的兴趣小组，要求每个兴趣小组分配男生、女生各1人，则不
同的分法种数为________．
【答案】12
【详解】每个小组安排一个女生，有 种方法，
每个小组安排一名男生，有 种方法，
故每个兴趣小组分配男生女生各1人，共有 种方法，
故答案为：12
14. 将 （ ）的展开式中第m项的系数记作 ，则 ________
（用数字作答）．
【答案】
【详解】由题意可得 ，
则.
故答案为： .
四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知数列 的前n项和 （ ）．
（1）求 的值；
（2）证明： ；
（3）证明： ．
【答案】（1）65 （2）证明见解析
（3）证明见解析
【小问1详解】
当 时， ，
又 ，
所以 .
【小问2详解】
因为 ，所以 （ 时取“ ”）.所以 ，
即 （当且仅当 时取“ ”）.
【小问3详解】
由（2） （当且仅当 时取“ ”）.
所以 ， ， ，…， .
各式相加得： .
即 .
16. 如图，在三棱锥 中， ， ， ， ．
（1）证明： 平面PAB；
（2）过 的中点 作平面 与平面ABC平行，并分别交 ， 于点 ， ，且E为 的中
点，求二面角 的正弦值．
【答案】（1）证明见解析（2）
【小问1详解】
在 中， ， ，所以 .
在 中， ， ， ，因为 ，所以 .即
，
又 ， 平面 ， ，所以 平面 .
因为 平面 ，所以 ，
又 ， 平面 ， ，
所以 平面 .
【小问2详解】
如图：以 为原点，建立如图空间直角坐标系.
因为平面 平面 ，且 为 中点，则 为 中点.
则 , , , , , .
所以 ， ， .
设平面 的法向量为 ，则 ，取 ；
设平面 的法向量为 ，
则 ，取 .
设二面角 为 ，则 ，
所以 .
17. 抓娃娃游戏一直以来吸引着小朋友和成年人，它不仅是一种娱乐活动，更是一种充满策略与技巧的挑
战.已知某游戏厅有 ， ， 三台抓娃娃机， 娃娃机每次中奖的概率为 ， 娃娃机每次中奖的概率为
， 娃娃机每次中奖的概率为 ，中奖结果与否互不影响.
（1）若小张分别操作 ， ， 抓娃娃机各一次，求小张中奖的概率；
（2）已知小张准备抓娃娃三次，现有两种方案供选择：
方案一：操作 ， ， 抓娃娃机各一次；
方案二：操作 抓娃娃机三次.
假设 ， ， 三台抓娃娃机中奖一次获得娃娃的价值为20元，请根据获得娃娃价值的期望，分析小张
选择哪种方案较合适.
【答案】（1）
（2）选择哪种方案都一样.理由见解析.
【小问1详解】记小张分别操作 ， ， 抓娃娃机能中奖为事件A，B，C，
则 ， ， ， ， ， ．
因为每次的结果互不影响，所以小张分别操作 ， ， 抓娃娃机能中奖的概率为：
．
【小问2详解】
选择方案一：X可能的取值为0，20，40，60，
，
，
，
所以 ，
所以
若选择方案二，设他所获奖品的总件数为Z，则 ，
， ， ，
因为 ，所以选择方案一和方案二一样．18. 已知椭圆 ，的左右焦点分别是 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半
径的圆与直线 相切，点 在椭圆 上 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）若直线 与椭圆 相交于 两点，且 ， 的面积是否为定值？
若是，求出定值；若不是，请说明理由
【答案】（1） （2）面积为定值
【详解】（1）依题意有 ，
由 及椭圆的定义得
由余弦定理得
即
又 ，
故椭圆的方程为 .
（2）联立 ，
可得 ，
则 ①又
由 ，
可得 ，
，
，满足①
设原点到直线 的距离为 ， ，
为定值.
19. 已知函数 .
（1）若 在 上单调递减，求实数 的取值范围；
（2）当 时，求证 在 上恒成立.【答案】（1）
（2）证明见解析
【小问1详解】
函数 ，则 ，
对任意的 恒成立，所以 ，
故 ， , ，
所以 ，所以 在 上为单调递增函数，
所以 ，所以 ，
故实数 的取值范围为 ；
【小问2详解】
证明：由题意知，要证 在上， ，
令 ，则 ，
显然在 上 单调减， ，
所以存在 ，则 ，
所以当 时， ，则 单调递增，
当 时， ，则 单调递减，所以 ，
因为 ，所以 ，则
故 在 上恒成立.
