2024年高考数学新结构模拟适应性特训卷（二）（解析版）(1)_2024年4月_01按日期_6号_2024届新结构高考数学合集_新高考19题（九省联考模式）数学合集140套

2024 年新结构模拟适应性特训卷（二） 高三数学 ﹢耉诛旼闺ⅹ150刌钥 诛卽滧刌ⅹ150刌﹣ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的． 5 1．已知角θ的终边经过点P(x,−5)，且tanθ= ，则x的值是（ ） 12 A．−13 B．−12 C．12 D．13 【答案】B 【分析】根据任意角正切函数定义计算. 【详解】根据任意角三角函数定义， −5 5 tanθ= = ，所以x=−12. x 12 故选：B. 2．“二十四节气”是中国古代劳动人民伟大的智慧结晶，其划分如图所示．小明打算在网上搜集一些与 二十四节气有关的古诗．他准备在春季的6个节气与夏季的6个节气中共选出3个节气，则小明选取节气 的不同情况的种数是（ ） A．90 B．180 C．220 D．360 【答案】C 学科网（北京）股份有限公司【分析】根据组合知识进行求解. 【详解】小明选取节气的不同情况的种数为C3 =220. 12 故选：C 3．已知数列{a }的前n项和S =n2+n，则a +a 的值是（ ） n n 2023 2024 A．8094 B．8095 C．8096 D．8097 【答案】A 【分析】利用前n项和和通项公式的关系求出通项公式，再求值即可. 【详解】易知a =S =1+1=2，S =(n−1)2+n−1， 1 1 n−1 故a =S −S =n2+n−((n−1)2+n−1)=2n，当n=1时符合题意，故a =2n成立, n n n−1 n 显然a +a =4046+4048=8094. 2023 2024 故选：A 4．已知直线kx− y+2=0和以M(3,−2)，N(2,5)为端点的线段相交，则实数k的取值范围为（ ）  4 3  A．−∞,−  B．  ,+∞  3 2   4 3  4 3  C．  − ,  D．−∞,    ,+∞  3 2  3 2  【答案】C 【分析】根据题意可知直线kx− y+2=0恒过定点A(0,2)，根据斜率公式结合图象分析求解. 【详解】因为直线kx− y+2=0恒过定点A(0,2)，如图. 4 3  4 3 又因为k AM =− 3 ，k AN = 2 ，所以直线的斜率k的范围为   − 3 , 2   . 故选：C. 5．已知函数 f (x)=a⋅ex2 +bx2+x−2，若 f′(1)=1，则 f′(−1)=（ ） A．−1 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】求出 f′(x)，计算出 f′(x)+ f′(−x)，结合已知条件即可得解. 【详解】因为 f (x)=a⋅ex2 +bx2+x−2，则 f′(x)=2axex2 +2bx+1， 学科网（北京）股份有限公司则 f′(−x)=−2axe (−x)2 −2bx+1=−2axex2 −2bx+1， 所以， f′(x)+ f′(−x)= ( 2axex2 +2bx+1 ) + ( −2axex2 −2bx+1 ) =2， 所以， f′(1)+ f′(−1)=1+ f′(−1)=2，故 f′(−1)=1. 故选：C. 6．中国古建筑闻名于世，源远流长．如图甲所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶 的结构示意图如图乙所示，在结构示意图中，已知四边形ABCD为矩形，EF∥AB,AB=2EF =4,ADE与 △BCF都是边长为2的等边三角形，若点A，B C，D，E，F都在球O的球面上，则球O的表面积为（ ） 11 11π A．22π B．11π C． π D． 2 4 【答案】A 【分析】如图，根据球的性质可得OO ⊥平面ABCD，根据中位线的性质和勾股定理可得MO ⊥PQ且 1 1 MO = 2，分类讨论当O在线段OM 上和O在线段MO 的延长线上时，由球的性质可得球半径的平方为 1 1 1 11 R2 = ，再用球的表面积公式计算即可. 2 【详解】如图，连接AC，BD， 设AC∩BD=O ，因为四边形ABCD为矩形，所以O 为矩形ABCD外接圆的圆心． 1 1 连接OO ，则OO ⊥平面ABCD， 1 1 分别取EF，AD，BC的中点M ，P，Q， 根据几何体ABCDEF的对称性可知，直线OO 交EF于点M ． 1 连接PQ，则PQ∥AB，且O 为PQ的中点， 1 因为EF∥AB，所以PQ∥EF，连接EP，FQ， 在ADE与△BCF，易知EP=FQ= 22−12 = 3，所以梯形EFQP为等腰梯形， 所以MO 1 ⊥PQ，且MO 1 = 3 2 −  4− 2 2   2 = 2． 学科网（北京）股份有限公司设OO =m，球O的半径为R，连接OE，OA， 1 当O在线段OM 上时，由球的性质可知R2 =OE2 =OA2，易得OA= 22+12 = 5， 1 1 则 ( 2−m)2+12 = 5 2 +m2，此时无解． 当O在线段MO 的延长线上时，由球的性质可知， 5 2 +m2 =( 2+m)2+12， 1 2 11 解得m= ，所以R2 =OE2 = ， 2 2 所以球O的表面积S =4πR2 =22π. 故选：A． 7．已知随机事件A，B满足P(A)= 1 ，P ( A∣B )= 3 ，P ( B∣A ) = 7 ，则P(B)=（ ） 3 4 16 1 3 9 41 A． B． C． D． 4 16 16 48 【答案】A 【分析】根据已知结合条件概率公式，即可得出P ( AB ) = 7 ，进而推得P(AB)= 3 .即可根据条件概 48 16 率公式，得出答案. ( ) P AB 【详解】由已知可得，P ( B∣A ) = = 7 . P(A) 16 1 因为P(A)= ， 3 ( ) 7 所以，P AB = . 48 又P(A)=P(AB)+P ( AB ) = 1 , 3 3 所以，P(AB)= . 16 P(AB) 3 又P ( A∣B )= = ， P(B) 4 1 所以，P(B)= . 4 故选：A. x2 y2 8．如图，已知双曲线C: − =1(a>0,b>0)的一条弦AB所在直线的倾斜角为75，点B关于原点O的 a2 b2 对称点为B ，若∠BAB =30，双曲线C的离心率为e，则e2 =（ ） 1 1 学科网（北京）股份有限公司A．3 B．2+ 3 C．3+ 3 D．4 【答案】C 【分析】由题意结合两角和的正切公式求出k ,k ，设A(x,y ),B(x ,y )，利用点差法可推出 AB1 AB 1 1 2 2 b2 b2 k ⋅k = ，再根据e2 = +1，即可求得答案. AB AB1 a2 a2 【详解】由题可知，弦AB所在直线的倾斜角为75，∠BAB =30， 1 则直线AB 的倾斜角为45， 1 k =tan45 =1,k =tan75 =tan ( 45+30) = tan45+tan30 =2+ 3. AB1 AB 1−tan45tan30 设A(x,y ),B(x ,y )，则B (−x ,−y )， 1 1 2 2 1 2 2 x2 y2 x2 y2 x2−x2 y2−y2 则 1 − 1 =1， 2 − 2 =1，两式相减可得 1 2 + 2 1 =0， a2 b2 a2 b2 a2 b2 y −y y +y b2 即 1 2 ⋅ 1 2 = ， x −x x +x a2 1 2 1 2 b2 b2 即k ⋅k = ，则 =2+ 3， AB AB1 a2 a2 c2 b2 故e2 = = +1=3+ 3， a2 a2 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数z ，z 满足3z +z =−1−2i，z +3z =5+2i，则（ ） 1 2 1 2 1 2 A．z =−1−i B．z =2+i 1 2 z −3−i C．z −z =−3+2i D． 1 = 1 2 z 5 2 【答案】ABD 【分析】根据复数的四则运算求解即可. 【详解】3z +z =−1−2i，z +3z =5+2i， 1 2 1 2 学科网（北京）股份有限公司∴z =−1−i，z =2+i， 1 2 z −1−i −(1+i)(2−i) −3−i ∴所以z −z =−3−2i， 1 = = = ， 1 2 z 2+i 5 5 2 故选:ABD 10．在ABC中，a=2 3，c=2 2，C =45°，则A可能为（ ） A．30° B．150° C．120° D．60° 【答案】CD 【分析】由正弦定理可得答案. a c 【详解】由正弦定理 = ， sinA sinC 1 2 3× 得 asinC 2 3， sinA= = = c 2 2 2 又因为a>c，所以A>C， 因为0 < A<180，所以A=60或A=120. 故选：CD. x2 11．已知椭圆C： +y2 =1的左、右焦点分别为F，F ，P是C上一点，则（ ） 1 2 4 A． PF + PF − FF =4− 3 B． PF PF 的最大值为8 1 2 1 2 1 2     C． PF +PF 的取值范围是[ 2,4 ] D．PF ⋅PF 的取值范围是[−2,1 ] 1 2 1 2 【答案】CD 【分析】利用椭圆的定义，结合基本不等式判断AB；设出点P的坐标，利用向量的坐标运算，结合椭 圆的范围计算判断CD. 【详解】由椭圆定义得 PF + PF =4， FF =2 3， PF + PF − FF =4−2 3，A错误； 1 2 1 2 1 2 1 2 2  PF + PF  PF PF ≤ 1 2  =4，当 PF = PF 时取等号，B错误； 1 2  2  1 2   x2 ( ) ( ) F(− 3,0),F ( 3,0)，设P(x,y)，则−2≤x≤2，y2 =1− ，PF = − 3−x,−y ,PF = 3−x,−y ， 1 2 4 1 2     3 PF +PF =2 x2+y2 =2 x2+1，由−2≤x≤2，得2≤ PF +PF ≤4，C正确； 1 2 4 1 2   3 3 PF ⋅PF = x2 −3+ y2 = x2 −2，−2≤ x2−2≤1，D正确. 1 2 4 4 故选：CD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知集合A= { x∣2x <1 } ,B={ x∣x≥a }，若∃x∈A,x∈B，则实数a的取值范围是 . 学科网（北京）股份有限公司【答案】(−∞,0) 【分析】由命题的真假得出a∈A，从而易得其范围． 【详解】A={x|2x <1}={x|x<0}，B={x|x≥a}， 因为∃x∈A,x∈B，所以a∈A，所以a的范围是(−∞,0)， 故答案为：(−∞,0)． 13．如图，在三棱锥A−ABC 中，AA ⊥平面ABC ，∠ABC =90°，AB =2AA=2BC =2，P为线 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 段AB 的中点，M,N分别为线段AC 和线段BC 上任意一点，则 5PM +MN的最小值为 ． 1 1 1 1 【答案】 5 【分析】根据题意，证得BC ⊥平面ABA，得到BC ⊥ AB ，根据S +S =S ，得到 1 1 1 1 1 1 1 AB1M B1MC1 AB1C1 5PMsin∠MPB +MNsin∠MNC = 5，进而得到 5≤ 5PM +MN ，进而得到M 为AC 的中点，且N 为BC 1 1 1 1 1 的中点，即可求解. 【详解】因为AA ⊥平面ABC ，AB,BC ⊂面ABC ，所以AA ⊥BC,AA ⊥ AB ， 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 又因为∠ABC =90°，BC ⊥ AB ， 1 1 1 1 1 1 1 因为AA AB = A，AA,AB ⊂平面ABA，所以BC ⊥平面ABA， 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 又因为AB ⊂平面ABA，所以BC ⊥ AB ， 1 1 1 1 1 1 在RtAAB中，可得AB = AA2+AB2 = 5， 1 1 1 1 1 1 在Rt△ABC 中，S +S =S ， 1 1 AB1M B1MC1 AB1C1 1 1 1 故 × 5×PMsin∠MPB + ×1×MNsin∠MNC = ×1× 5， 2 1 2 1 2 则 5PMsin∠MPB +MNsin∠MNC = 5， 1 1 又因为 5PMsin∠MPB ≤ 5PM,MNsin∠MNC ≤MN， 1 1 所以 5PMsin∠MPB +MNsin∠MNC ≤ 5PM +MN， 1 1 即 5≤ 5PM +MN ，当且仅当∠MPB =90°,∠MNC =90°时，等号成立， 1 1 当∠MPB =90°时，M 为AC 的中点，此时当∠MNC =90°时，N 为BC 的中点， 1 1 1 1 1 综上所述， 5PM +MN的最小值是 5. 故答案为： 5 学科网（北京）股份有限公司x 14．已知 f(x)= xlnx,g(x)= x⋅ex,若存在x ∈(0,+∞),x ∈R，使得 f(x )= g(x )>0成立，则 2 的最大 1 2 1 2 x 1 值为 . 1 【答案】 /e−1 e 【分析】根据两函数的同构特征，不难发现 f(x )= g(lnx )，考查利用函数g(x)= x⋅ex的单调性推得 1 1 x lnx lnx x lnx = x ，从而将 2 转化为 1，最后通过h(x)= ,(x>1)的最大值求得 2 的最大值. 1 2 x x x x 1 1 1 【详解】因 f(x)= xlnx,g(x)= x⋅ex,则 f(x )= x lnx =lnx ⋅elnx1 = g(lnx )， 1 1 1 1 1 由g(x)= x⋅ex知x>0时，g′(x)=(x+1)ex >0，即函数g(x)= x⋅ex在(0,+∞)上单调递增. 由 f(x )= g(x )>0可得：x >1,x >0且g(lnx )= g(x ),故得：lnx = x ， 1 2 1 2 1 2 1 2 x lnx lnx 1−lnx 则 2 = 1，不妨设h(x)= ,(x>1)，则h′(x)= ,(x>1)， x x x x2 1 1 故当10，h(x)递增，当x>e时，h′(x)<0，h(x)递减， 1 x 1 即h(x) =h(e)= ，故 2 的最大值为 . max e x e 1 1 故答案为： . e 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应 写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．设等差数列{a }的前n项和为S ，a =3，S =35． n n 5 5 (1)求{a }的通项公式； n { } (2)设数列 a 的前n项和为T ，求T ． n n 10 【答案】(1)a =13−2n n (2)52 【分析】（1）设出{a }的公差为d，利用等差数列通项公式和前n项和公式求解即可； n （2）由（1）判断出{a }前六项为正，后四项为负，进而利用前n项和公式求解即可. n 学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）设等差数列{a }的公差为d， n a =a +4d =3  5 1 a =3，S =35，∴ 5×4 ， 5 5 S =5a + d =35  5 1 2 解得a =11，d =−2， 1 故a =a +(n−1)d =13−2n. n 1 （2）由（1）知a =−2n+13，d =−2， n n(11+13−2n) ∴a =1，a =−1，S = =12n−n2， 6 7 n 2 ∴T = a + a ++ a =a +a ++a −(a +a +a +a ) 10 1 2 10 1 2 6 7 8 9 10 =S −(S −S )=2S −S =52． 6 10 6 6 10 16．某运动队为评估短跑运动员在接力赛中的作用，对运动员进行数据分析．运动员甲在接力赛中跑 第一棒、第二棒、第三棒、第四棒四个位置，统计以往多场比赛，其出场率与出场时比赛获胜率如下表所 示． 比赛位置 第一棒 第二棒 第三棒 第四棒 出场率 0.3 0.2 0.2 0.3 比赛胜率 0.6 0.8 0.7 0.7 (1)当甲出场比赛时，求该运动队获胜的概率． (2)当甲出场比赛时，在该运动队获胜的条件下，求甲跑第一棒的概率． (3)如果你是教练员，将如何安排运动员甲比赛时的位置？并说明理由． 【答案】(1)0.69 6 (2) 23 (3)应多安排甲跑第四棒，理由见解析 【分析】（1）根据全概率公式即得出答案. （2）根据条件概率的计算公式即可求解. （3）分别求出四个位置上的获胜概率，即可做出判断. 【详解】（1）记“甲跑第一棒”为事件A，“甲跑第二棒”为事件A ，“甲跑第三棒”为事件A ，“甲跑第四 1 2 3 棒”为事件A ，“运动队获胜”为事件B， 4 则P(B)=P(A)P(B|A)+P(A )P(B|A )+P(A )P(B|A )+P(A )P(B|A ) 1 1 2 2 3 3 4 4 =0.3×0.6+0.2×0.8+0.2×0.7+0.3×0.7=0.69， 所以当甲出场比赛时，该运动队获胜的概率为0.69． 学科网（北京）股份有限公司P(AB) P(A)P(B|A) 0.3×0.6 6 （2）P(A |B)= 1 = 1 1 = = ， 1 P(B) P(B) 0.69 23 6 所以当甲出场比赛时，在该运动队获胜的条件下，甲跑第一棒的概率为 ． 23 P(A B) 0.2×0.8 16 （3）P(A |B)= 2 = = ， 2 P(B) 0.69 69 P(AB) 0.2×0.7 14 P(A |B)= 3 = = ， 3 P(B) 0.69 69 P(A B) 0.3×0.7 21 P(A |B)= 4 = = ， 4 P(B) 0.69 69 所以P(A |B)>P(A |B)>P(A |B)>P(A |B)． 4 1 2 3 所以应多安排甲跑第四棒，以增加运动队获胜的概率． 17．如图，在三棱柱ABCABC 中，ABC是正三角形，四边形ABCD是菱形，AC与BD交于点O， 1 1 1 OB ⊥平面ABCD，AB=OB =4. 1 1 (1)若点E为AA 中点，求异面直线BE与DC 所成角的余弦值； 1 1 (2)求平面ACD与平面BCCB 的夹角的余弦值. 1 1 1 1 2 7 【答案】(1) 35 2 19 (2) 19   【分析】（1）根据题设易于建系，分别求出相关点的坐标，得到DC ， BE 的坐标，利用空间向量的 1 夹角公式计算即得； （2）同上建系，求出相关点坐标，分别求得两个平面的法向量坐标，最后利用空间向量的夹角公式计 算即得. 学科网（北京）股份有限公司【详解】（1） 因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD， 因为OB ⊥平面ABCD，所以OB，OA，OB 两两垂直，AB=OB =4 1 1 1 如图，以点O为原点，OB，OA，OB 所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系. 1 则A(0,2,0)，B ( 2 3,0,0 ) ，C(0,−2,0)，D ( −2 3,0,0 ) ，B (0,0,4) . 1   ( ) ( ) BA= −2 3,2,0 ，BB = −2 3,0,4 ，在三棱柱ABCABC 中，因BC //BC//AD,BC =BC = AD， 1 1 1 1 1 1 1 1   易得ADCB ,故DC = AB =(0,−2,4)， 1 1 1 1          1 1 1 ( ) 因为点E为AA 中点，所以AE= AA ，所以BE=BA+AE=BA+ AA =BA+ BB = −3 3,2,2 ， 1 2 1 2 1 2 1     BE⋅DC 1 4 2 7 因 cosBE,DC =   = = ， 1 BE DC 35×2 5 35 1 2 7 所以异面直线BE与DC 所成角的余弦值为 . 7 35      ( ) ( ) （2）DC =(0,−2,4)，C A =CA=(0,4,0)，BC = −2 3,−2,0 ，BB = −2 3,0,4 ， 1 1 1 1      n ⋅C A =4y =0 设n =(x,y ,z )是平面ACD的一个法向量，则 11 1 1 ， 1 1 1 1 1 1 n ⋅DC =−2y +4z =0 1 1 1 1  取x =1，得n =(1,0,0)， 1 1     n ⋅BC =−2 3x −2y =0 设n =(x ,y ,z )是平面BCCB 的一个法向量，则2  2 2 ， 2 2 2 2 1 1 n ⋅BB =−2 3x +4z =0 2 1 2 2  取x =2，得n = ( 2,−2 3, 3 ) ， 2 2 设平面ACD与平面BCCB 的夹角为θ， 1 1 1 1     n ⋅n 1 2 2 2 19 则cosθ= cosn 1 ,n 2 = n  n  = ( )2 ( )2 = 19 ， 1 2 22+ −2 3 + 3 2 19 故平面ACD与平面BCCB 的夹角的余弦值为 . 1 1 1 1 19 学科网（北京）股份有限公司18．已知椭圆C: x2 + y2 =1(a>b>0)的离心率为 6 ，点P(0,2)在椭圆C上，过点P的两条直线PA， a2 b2 3 PB分别与椭圆C交于另一点A，B，且直线PA，PB，AB的斜率满足k +k =4k (k ≠0)． PA PB AB AB (1)求椭圆C的方程； (2)证明直线AB过定点； (3)椭圆C的焦点分别为F，F ，求凸四边形FAF B面积的取值范围． 1 2 1 2 x2 y2 【答案】(1) + =1 12 4 (2)证明见解析 24 6  (3) ,8 2    11  【分析】（1）根据条件列出方程组，解出即可； （2）设直线l :y=kx+m(m≠2)，联立直线和椭圆方程，消元后，利用k +k =4k (k ≠0)，建 AB PA PB AB AB 立方程，解出后验证即可； （3）设直线l :y=kx−1，联立直线和椭圆方程，消元后，利用韦达定理得到条件，利用 AB 1 S = FF y −y 进行计算，换元法求值域即可. F1AF2B 2 1 2 1 2 b=2  c 6 【详解】（1）由题设得 = ，解得a2 =12， a 3 a2 =b2+c2  x2 y2 所以C的方程为 + =1； 12 4 （2）由题意可设l :y=kx+m(m≠2)，设A(x,y )，B(x ,y )， AB 1 1 2 2 y=kx+m  由x2 y2 ，整理得 ( 1+3k2) x2+6kmx+3m2−12=0，  + =1 12 4 Δ=36k2m2−4 ( 1+3k2)( 3m2−12 ) =12 ( 12k2−m2+4 ) >0． 3m2−12 −6mk 由韦达定理得xx = ，x +x = ， 1 2 1+3k2 1 2 1+3k2 y −2 y −2 由k +k =4k 得 1 + 2 =4k， PA PB AB x x 1 2 kx +m−2 kx +m−2 即 1 + 2 =4k， x x 1 2 整理得2mk(m−2)=2 ( 4−m2) k， 学科网（北京）股份有限公司因为k ≠0，得m2−m−2=0，解得m=2或m=−1， m=2时，直线AB过定点P(0,2)，不合题意，舍去； m=−1时，满足Δ=36 ( 4k2+1 ) >0， 所以直线AB过定点(0,−1)． 1 （3））由（2）得直线l :y=kx−1，所以x= (y+1)， AB k  1 x= (y+1)   k 由 ， x2 y2 + =1 12 4  1  2 1  1  整理得 +3y2+ y+ −12=0，Δ=36 +4>0， k2  k2 k2 k2  1 +4 由题意得S = 1 FF y −y =2 2 y −y =12 2 k2 ， F1AF2B 2 1 2 1 2 1 2 1 +3 k2 1 1 1 因为k = ，所以k2 > ，所以0< <8， AF2 2 2 8 k2 1 令t= +4，t∈(2,2 3)， k2 t 1 S =12 2 =12 2 所以 F1AF2B t2−1 1，在t∈(2,2 3)上单调递减， t− t 24 6  所以S 的范围是 ,8 2． F1AF2B   11   19．若函数 f (x)在[ a,b ]上有定义，且对于任意不同的x,x ∈[ a,b ]，都有 f (x )− f (x ) ，利用导函数研究函数的单调性和最值即可. xex xex 1 1 （3）分 x −x < 和 ≤ x −x <1两种情况进行证明， f (1)= f (2)，用放缩法 1 2 2 2 1 2 f (x )− f (x ) = f (x )− f (1)+ f (2)− f (x ) ≤ f (x )− f (1) + f (2)− f (x ) 进行证明即可. 1 2 1 2 1 2 【详解】（1）对于任意不同的x,x ∈[ 1,2 ]， 1 2 x +x +2 有1≤x f (x )−2x ， 1 1 2 2 1 1 2 2 故 f (x)+2x为[ 1,e ]上的增函数， f (x)−2x为[ 1,e ]上的减函数， 故任意x∈[1,e]，都有−2≤ f′(x)≤2， x+lnx+3 x+lnx+3 由 f′(x)≤2可转化为a≤ ，令g(x)= ，只需a0，m(e)=1−e<0，所以∃x ∈[ 1,e ]使m(x )=0，即2−lnx −x =0， 0 0 0 0 即lnx =2−x ,x =e2−x0， 0 0 0 当x∈[1,x )时，m(x)>0，h′(x)>0，故h(x)在[ 1,x )单调递增， 0 0 当x∈(x ,e ]时，m(x)<0，h′(x)<0，故h(x)在(x ,e ]单调递减， 0 0 x +lnx −1 1 h(x) =h(x )= 0 0 = ， max 0 x ee+1 e2 0 1 4+e 故 ≤a≤ . e2 ee+1 （3）因为 f (x)为[1,2]上的“2类函数”，所以 f (x )− f (x ) <2 x −x ， 1 2 1 2 不妨设1≤x