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专题 04 三角函数（新定义）
一、单选题
1．（2023秋·山东临沂·高一统考期末）我们学过度量角有角度制与弧度制，最近，有学者提出用“面度
制”度量角，因为在半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称
这个常数为该角的面度数，这种用面度作为单位来度量角的单位制，叫做面度制.在面度制下，角 的面度
数为 ，则角 的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023秋·江苏苏州·高一统考期末）定义:正割 ，余割 .已知 为正实数，且
对任意的实数 均成立，则 的最小值为（ ）
A．1 B．4 C．8 D．9
3．（2022·全国·高一专题练习）密位制是度量角的一种方法，把一周角等分为6000份，每一份叫做1密
位的角．在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条
短线，如7密位写成“0-07”，478密位写成“4-78”．若 ，则角 可取的值用
密位制表示错误的是（ ）
A．12-50 B．2-50 C．13-50 D．32-50
4．（2022秋·山东青岛·高三山东省青岛第五十八中学校考阶段练习）计算器是如何计算 ， ， ，
， 等函数值的呢？计算器使用的是数值计算法，其中一种方法是用容易计算的多项式近似地表示这
些函数，通过计算多项式的值求出原函数的值，如 ， ，
其中 ，英国数学家泰勒发现了这些公式，可以看出，右边的项用得越多，计算得出的 和的值也就越精确.运用上述思想，可得到 的近似值为（ ）
A．0.50 B．0.52 C．0.54 D．0.56
5．（2022春·广东中山·高二统考期末）密位制是度量角与弧的常用制度之一，周角的 称为1密位.用
密位作为角的度量单位来度量角与弧的制度称为密位制.在密位制中，采用四个数字来记角的密位，且在百
位数字与十位数字之间加一条短线，单位名称可以省去，如15密位记为“00—15”，1个平角＝30—00，1
个周角＝60—00，已知函数 ， ，当 取到最大值时对应的x用密位制表
示为（ ）
A．15—00 B．35—00 C．40—00 D．45—00
6．（2022春·云南昆明·高二校考期末）在平面直角坐标系xOy中，P（x，y）（xy≠0）是角α终边上一点，
P与原点O之间距离为r，比值 叫做角α的正割，记作secα；比值 叫做角α的余割，记作cscα；比值
叫做角α的余切，记作cotα．四名同学计算同一个角β的不同三角函数值如下：甲： ；乙：
；丙： ；丁： ．
如果只有一名同学的结果是错误的，则错误的同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．（2023秋·湖南邵阳·高一统考期末）设 ，定义运算 ，则函数
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023秋·浙江杭州·高一浙江大学附属中学校考期末）正割 及余割 这两个概念是由
伊朗数学家阿布尔 威发首先引入的．定义正割 ，余割 ．已知 为正实数，且对任意的实数 均成立，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022春·江西景德镇·高二景德镇一中校考期中）对集合 和常数 ，把
定义为集合 相对于 的“正弦方差"，则集
合 相对于 的“正弦方差”为（ ）
A． B． C． D．与 有关的值
10．（2022秋·山东·高三山东聊城一中校联考阶段练习）现有如下信息：
（1）黄金分割比（简称：黄金比）是指把一条线段分割为两部分，较短部分与较长部分的长度之比等于
较长部分与整体长度之比，其比值为
（2）黄金三角形被誉为最美三角形，是较短边与较长边之比为黄金比的等腰三角形．
（3）有一个内角为 的等腰三角形为黄金三角形，
由上述信息可求得 （ ）
A． B．
C． D．
11．（2021秋·四川巴中·高一校联考期末）定义运算 ，如果
的图像的一条对称轴为 满足等式 ，则 取最小值时，函数 的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
12．（2020·全国·高三校联考阶段练习）对于集合 ，定义：
为集合 相对于 的“余弦方差”，则集合
相对于 的“余弦方差”为（ ）
A． B． C． D．
13．（2020秋·江西宜春·高三奉新县第一中学校考阶段练习）已知函数 的图象与直
线 的相邻交点间的距离为 ，若定义 ，则函数 ， 在区
间 内的图象是
A． B．
C． D．
14．（2022春·陕西延安·高一校考阶段练习）对于函数 ，在使 成立的所有常数 中，我们把 的最大值称为函数 的“下确界”.若函数 ， 的“下确界”为
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
15．（2020·全国·高一假期作业）如果函数 在区间 上是凸函数，那么对于区间 内的任意 ， ，
…， ，都有 ，若 在区间 上是凸函数，那么
在 中， 的最大值是（ ）
A． B．3 C． D．
二、多选题
16．（2022·全国·高一专题练习）定义： 为集合
相对常数 的“余弦方差”.若 ，则集合 相对 的“余弦方差”的取
值可能为（ ）
A． B． C． D．
17．（2021秋·全国·高三校联考期中）数学中一般用 表示a，b中的较小值， 表示a，b
中的较大值；关于函数： ；
，有如下四个命题，其中是真命题的是（ ）A． 与 的最小正周期均为
B． 与 的图象均关于直线 对称
C． 的最大值是 的最小值
D． 与 的图象关于原点中心对称
18．（2022·江苏·高一专题练习）已知角 和 都是任意角，若满足 ，则称 与 “广
义互余” 若 ，则下列角 中，可能与角 “广义互余”的有（ ）
A． B． C． D．
19．（2022春·辽宁沈阳·高一沈阳市第一二〇中学校考阶段练习）在数学史上，为了三角计算的简便并且
更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义 为角 的正矢，记作 ，定义
为角 的余矢，记作 ，则下列命题正确的是（ ）
A．
B．
C．若 ，则
D．函数 的最大值为
20．（2022秋·河南濮阳·高一濮阳一高校考期末）在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的
精确性，曾经出现过下列两种三角函数: 定义 为角 的正矢，记作 ， 定义 为角
的余矢，记作 ，则下列命题中正确的是（ ）
A．函数 在 上是减函数B．函数 的最小正周期为
C．
D．
三、填空题
21．（2023·高一课时练习）我们规定把 叫做 对 的余弦方差，
那么对任意实数B，B对 的余弦方差是______．
22．（2022·全国·高一专题练习）已知 都是定义在 上的函数，若存在实数 ，使得
，则称 是 ， 在 上生成的函数.
若 ，以下四个函数中：
① ； ② ；
③ ； ④ .
所有是 在 上生成的函数的序号为________.
23．（2021春·江苏淮安·高一校联考阶段练习）形如 的式子叫做行列式，其运算法则为
，则行列式 的值是___________.
24．（2023·高一课时练习）若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数．给出下列四个函数：① ；② ；③ ；④
．其中“同形”函数有__________．（选填序号）
25．（2023·高一课时练习）在直角坐标系中，横､纵坐标均为整数的点叫格点.若函数 的图像恰好
经过 个格点，则称函数 为 阶格点函数.在 上，下列函数中，为一阶格点函数的是
___________.(选填序号)① ；② ；③ ；④
26．（2022春·河南商丘·高一商丘市第一高级中学校考开学考试）在平面直角坐标系 中，已知任意角
以坐标原点 为顶点， 轴的非负半轴为始边，若终边经过点 ，且 ，定义：
，称“ ”为“正余弦函数”，对于“正余弦函数 ”，有同学得到以下性质：
①该函数的值域为 ； ②该函数的图象关于原点对称；
③该函数的图象关于直线 对称； ④该函数为周期函数，且最小正周期为 ；
⑤该函数的递增区间为 .
其中正确的是__________．（填上所有正确性质的序号）
27．（2015秋·广东揭阳·高一统考期中）定义一种运算 ，令 ，
且 ，则函数 的最大值是_______________
四、解答题
28．（2023春·云南文山·高一校考阶段练习）人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人
脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦
距离.若二维空间有两个点 ， ，则曼哈顿距离为： ，余弦相似
度为： ，余弦距离为
(1)若 ， ，求A，B之间的曼哈顿距离 和余弦距离；
(2)已知 ， ， ，若 ， ，求
的值
29．（2023·高一课时练习）知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此
边长与角的大小之间可以相互转化．与之类似，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等
腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对 ．如图，在 中， ．顶角 的正对记作 ，
这时 ．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．
根据上述对角的正对定义，解下列问题：
(1) 的值为（ ）
A． B． C． D
．
(2)对于 ， 的正对值 的取值范围是______．(3)已知 ，其中 为锐角，试求 的值．
30．（2020秋·全国·高三校联考阶段练习）若函数 ，平面内一点坐标
，我们称 为函数 的“相伴特征点”， 为 的“相伴函数”．
（1）已知 ，求函数 的“相伴特征点”；
（2）记 的“相伴函数”为 ，将 图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 倍（横坐标不
变），再将所得图象上所有点横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变），再将所得的图象上所有点向右平移
个单位长度，得到函数 ，作出 在 上的图象．
31．（2022秋·内蒙古包头·高一统考期末）对任意闭区间 ， 表示函数 在区间 上的最大值，则 ______，若 ，则 的值为______．
32．（2019秋·北京海淀·高三人大附中校考阶段练习）已知集合 是满足下列性质的函数 的全体，
存在非零常数 ，对任意 ，有 成立．
（1）给出下列两个函数： ， ，其中属于集合 的函数是__________．
（2）若函数 ，则实数 的取值集合为__________．
