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专题 06 向量专题（新定义）
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习） 定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的
．令 ，下面说法错误的是（ ）
A．若 与 共线，则
B．
C．对任意的 , ,
D．
【答案】B
【分析】根据给出的运算“⊙”的新定义，结合已知的向量的数量积公式及模长公式逐项判断即可.
【详解】若 与 共线，则有 ，故A正确；
，而 ， ，故选项B错误；
对任意的 ， ，
又 ， ，故C正确；
，
又 ，故D正确.
故选：B.
2．（2022春·湖南邵阳·高一统考期中）定义 .若向量 ，向量 为单位向量，则
的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求得 ，设 ，整理可得 为关于 的关系式，进而求解.
【详解】因为 ，所以 ，
设 ， ，由向量 为单位向量，
所以 ，
因为 ，所以 ，
故选：B
3．（2021春·云南昆明·高一云南师大附中校考期中）平面内任意给定一点 和两个不共线的向量 ， ，
由平面向量基本定理，平面内任何一个向量 都可以唯一表示成 ， 的线性组合，
，则把有序数组 称为 在仿射坐标系 下的坐标，记为 ，在仿
射坐标系 下， ， 为非零向量，且 ， ，则下列结论中（ ）
① ②若 ，则
③若 ，则 ④
一定成立的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】利用向量的新定义结合向量的性质逐个分析判断即可
【详解】在仿射坐标系 下，设 ，因为 ， ，所以 ，，所以 ，所以 ，①正确；
若 ，则 ，所以 ，
，故②不一定正确；
因为 ，所以存在唯一的实数 ，使得 ，则 ，所以 ， ，
所以 ，所以③正确；
，由②知， ，所以④不一定正确，
所以正确的有2个，
故选：B
4．（2022·高一单元测试）若对于一些横纵坐标均为整数的向量，它们的模相同，但坐标不同，则称这些
向量为“等模整向量”，例如向量 ，即为“等模整向量”，那么模为 的“等模整向
量”有（ ）
A．4个 B．6个 C．8个 D．12个
【答案】D
【分析】把 ，分别写出向量即可.
【详解】因为
所以模为 的等模整向量有
， ， ，
， ， ，
， ， ，
所以模为 的等模整向量共有12个.故选：
【点睛】在求向量模的有关问题时通常的处理方法有：
(1)a2＝a·a＝|a|2或 ；
(2) ＝ ＝ ；
(3)若a＝(x，y)，则|a|＝ .
5．（2017·四川广元·统考三模）对于 个向量 ，若存在 个不全为0的示数 ，
使得： 成立；则称向量 是线性相关的，按此规定，能使向量
， ， 线性相关的实数 ，则 的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【分析】由题可得 ，结合条件可得 ，即得.
【详解】由题可知 ， ， ， ，
所以 ，
两等式两边相加可得 .
故选：B．
6．（2022秋·内蒙古鄂尔多斯·高三统考期中）对任意两个非零的平面向量 ，定义 ，若平
面向量 满足 ， 的夹角 ，且 和 都在集合 中，则 =
（ ）A． B．1 C． D．
【答案】C
【分析】由题意可可设 ， ， ， ，得 ，对 ， 进行赋值即
可得出 ， 的值，进而得出结论．
【详解】解： ，故 ．
又由 ，可设 ， ，
令 ， ，且
又夹角 ，所以 ，
对 ， 进行赋值即可得出
所以 ．
故选：C．
7．（2023·全国·高三专题练习）互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标
系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”．如图，在斜坐标系中，过点P作两坐标轴的
平行线，其在x轴和y轴上的截距a，b分别作为点P的x坐标和y坐标，记 ，则在x轴正方向和y轴
正方向的夹角为 的斜坐标系中，下列选项错误的是（ ）
A．当 时 与 距离为B．点 关于原点的对称点为
C．向量 与 平行的充要条件是
D．点 到直线 的距离为
【答案】D
【分析】根据“斜坐标系”的定义，结合向量运算对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】设 轴正方向的单位向量为 ， 轴正方向的单位向量为 ，
对于A选项：由已知得 ，所以 .
由 及斜坐标的定义可知 ，
，
故A选项正确；
对于B选项：根据“斜坐标系”的定义可知：点 ，则 ，设 关于原点的对称点为
，则 ，
由于 不共线，所以 ，
故B选项正确；
对于C选项： ，
若 是零向量，则 成立，同时 ，所以 成立，
此时 ；
若 是非零向量，则 存在非零常数 ，使，所以 .
故C选项正确；
对于D选项：设直线 上的动点为 , ，
因为 ，所以 ，
设 ，则点 在直线 上，
所以直线 过点 ，
因为 ，则 ，
，
由于 ，所以 .
所以 ，所以 ，
所以点A到直线 的距离为 ，
故D选项错误.
故选：D
8．（2022春·黑龙江大庆·高三大庆实验中学校考阶段练习）如图所示，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴， 分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为 斜坐标
系，若 ，则把有序数对 叫做向量 的斜坐标，记为 ．在 的斜坐标
系中， ﹒则下列结论中，错误的是（ ）
① ；② ；③ ；④ 在 上的投影为
A．②③ B．②④ C．③④ D．②③④
【答案】D
【分析】借鉴单位向量夹角为 时的情况，注意夹角为 ；
； ；
数量积为 ；
在 上的投影为 .
【详解】对于①. ，所以 ，故①正确；
对于②. ，故②错误；
对于③. ，故③错误；
对于④. 在 上的投影为 ，故④错误.
故选：D
9．（2021春·上海浦东新·高一华师大二附中校考阶段练习）如图，定义 、 的向量积 ，
为当 、 的起点相同时，由 的方向逆时针旋转到与 方向相同时，旋转过的最小角，对于 ，
， 的向量积有如下的五个结论：
① ； ② ；
③ ； ④ ；
⑤ ；
其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【答案】C【分析】结合题目中的新定义的概念逐项分析即可得出结论.
【详解】① 至少有一个为0时，显然成立；
都不为0时，
若 ，则 ；
若 ，则 ；
综上： ，故①正确；
② ，所以 ，故②错误；
③ ，故③正确；
④由③知： ，故④正确；
⑤ 与
不一定相等，故⑤错误；
故选：C.
10．（2022春·山西朔州·高一校考阶段练习）定义 为两个向量 ， 间的“距离”，若向量 ，
满足下列条件：(ⅰ) ；(ⅱ) ；(ⅲ)对于任意的 ，恒有 ，现给出下面结论的编号，
①. ②. ③. ④. ⑤.
则以上正确的编号为（ ）
A．①③ B．②④ C．③④ D．①⑤
【答案】B
【分析】根据题意可得 ，转化为 对于任意的 恒成立，即
，整理得 ，再利用向量的数量积逐一判断即可.【详解】由于 ，又对于 ，恒有 ，
显然有 ，即 ，
则 对于任意的 恒成立，
显然有 成立，
即 ，则 ，故序号①错误，
进而 ，
∵ ，于是 ，得 ，即序号④正确.
再由 得 ，得 ，
∴ ，显然序号②正确.从而序号③错误，
再由② ，故序号⑤错误.
综上知本题正确的序号为②④.
故选：B.
【点睛】本题命制是以新定义为背景，考查向量长度及数量积等知识概念，同时考查了等价转换、不等式
恒成立问题，符合以生考熟的高考理念，考查知识内容源于教材，试题面向全体考生，不同思维能力层次
的考生度可以利用熟悉的通法来解决问题，从而增强考生的自信心，有利于考生正常发挥，属于中档题.
11．（2018·湖南·统考一模）在实数集 中，我们定义的大小关系“ ”为全体实数排了一个“序”，类似
的，我们这平面向量集合 上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“ ”．
定义如下：对于任意两个向量 ， ， 当且仅当“ ”或“ 且 ”，
按上述定义的关系“ ”，给出下列四个命题：
①若 ， ， ，则 ；②若 ， ，则 ；
③若 ，则对于任意的 ， ；
④对于任意的向量 ，其中 ，若 ，则 ．
其中正确的命题的个数为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】按照新定义，对每一个命题进行判断.
【详解】对于①，由定义可知①是正确的；
对于②，中 ，满足已知 ，则 ，只要有一个没有
等号，则一定 ，若 ，则 ，都满足 ，正确；
对于③，∵ ，∴命题正确，
对于④，中若 ，则 ，但 ，错误，因此有①②③正确.
故选:B.
【方法点睛】新定义问题，关键是正确理解新概念，并掌握解决新概念下问题的方法，有一定的难度.本题
中新概念关系“＞”与向量的坐标之间的大小关系联系在一起，由实数大小关系的传递性可得新关系
“＞”的传递性，但向量的数量积与新关系“＞”之间没有必然的联系，这可通过举反例说明.实际上举反
例说明一个命题是错误的，是数学中一个常用的方法.
12．（2017秋·河南郑州·高三郑州一中阶段练习）若非零向量 的夹角为锐角 ，且 ，则称
被 “同余”.已知 被 “同余”，则 在 上的投影是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】首先根据“同余”的定义得 ，再根据投影公式，列式求解.
【详解】根据 被 “同余”，则有 ，所以 ， 在 上的投影为：
，
故选：A.
13．（2022春·陕西榆林·高一榆林市第一中学校考期中）设 定义一种向量积：
．已知 ， ，点 在 的图象上运
动，点Q在 的图象上运动，且满足 (其中O为坐标原点)，则 的最大值
A及最小正周期T分别为( )
A．2，π B．2,4π
C． ，4π D． ，π
【答案】C
【分析】根据题意,设出Q的坐标，根据 的运算得到P、Q坐标间的关系，从而得到
的解析式，即可求得最大值和最小正周期．
【详解】由题意知可设 ，
则根据 可得
即
所以
而P在 的图象上运动，满足所以 ，即
所以最大值为 ，即A=
最小正周期为
故选：C．
14．（2023·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）设向量 与 的夹角为 ，定义
.已知向量 为单位向量， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由平面向量数量积的运算律求出向量 与 的夹角，代入新定义求解即可.
【详解】由题意得 ，
解得 ，
又 ，所以 ，
所以 .
故选：C
15．（2022春·浙江金华·高一浙江金华第一中学校考期中）记 ，设 ， 为平面内的
非零向量，则（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】根据向量加法减法的几何意义和向量数量积运算，结合排除法解题.
【详解】对于A选项：考虑 ，根据向量加法减法法则几何意义知： ，所
以A错误；
B选项：根据平面向量数量积可知：不能保证 恒成立，
，
所以它们的较小者一定小于等于 ，所以B错误D正确；
C选项：考虑 ，所以C错误.
故选：D
【点睛】此题考查向量相关新定义问题，其本质考查向量加减法运算的几何意义，平面向量数量积的运算
和辨析，综合性较强，解题中结合排除法得选项.
16．（2021·全国·高三专题练习）对于向量 ，把能够使得 取到最小值
的点 称为 的“平衡点”.如图，矩形 的两条对角线相交于点 ，延长 至 ，使得
，联结 ，分别交 于 两点.下列的结论中，正确的是（ ）
A． 的“平衡点”为 .
B． 的“平衡点”为 的中点.
C． 的“平衡点”存在且唯一.
D． 的“平衡点”必为【答案】D
【分析】利用“平衡点”的定义、三角形中两边之和大于第三边，对选项进行一一验证．
【详解】对 ， 、 的“平衡点”为线段上的任意一点，故 错误；
对 ， 、 、 的“平衡点”为三角形内部对3条边的张角均为 的点，故 错误；
对 ， 、 、 、 的“平衡点”是线段 上的任意一点，故 错误；
对 ，因为矩形 的两条对角线相交于点 ，延长 至 ，使得 ，联结 ，分别交 、
于 、 两点，所以 、 、 、 的“平衡点”必为 ，故 正确．
故选： ．
【点睛】本题考查“平衡点”的求法，考查对新定义的理解与应用，求解时要注意平面向量知识的合理运
用．
二、多选题
17．（2022春·浙江·高一期中）如图所示，在平面上取定一点O和两个以点O为起点的不共线向量 ， ，
称为平面上的一个仿射坐标系，记作 ，向量 与有序数组 之间建立了一一对应
关系，有序数组 称为 在伤射坐标系 下的坐标，记作 ．已知 ， 是夹角为
的单位向量， ， ，则下列结论中正确的有（ ）
A． B．
C． D． 在 方向上的投影向量为
【答案】ABD
【分析】根据向量线性运算的坐标表示，向量数量积的定义，运算律及投影向量的概念，逐项分析即得.【详解】由题可知 ， ，
∴ ，故A正确；
因为 ， 是夹角为 的单位向量，
所以 ，
∴ ，故B正确；
∴ ，故C错误；
∴ 在 方向上的投影向量为 ，故D正确.
故选：ABD.
18．（2022春·河南·高一校联考阶段练习）对任意两个非零向量 ，定义新运算： .已
知非零向量 满足 且向量 的夹角 ，若 和 都是整数，则 的
值可能是（ ）
A．2 B． C．3 D．4
【答案】BC
【分析】由题意可得 、 ，利用 的范围，可得 从而
定点答案.
【详解】由题意可得 ，因为 所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，即 ，解得 ，因为 ，所以 ，
所以 ，则 ，故 ，
因为 ，所以 ，因为0 ，
所以 ，所以 ，所以 ，则
即 .
故选：BC.
19．（2023·全国·高三专题练习）已知向量 ， 是平面 内的一组基向量，O为 内的定点，对于 内
任意一点P，当 时，则称有序实数对 为点P的广义坐标．若点A，B的广义坐标分别为
， ，关于下列命题正确的是（ ）
A．线段A，B的中点的广义坐标为
B．A，B两点间的距离为
C．若向量 平行于向量 ，则
D．若向量 垂直于向量 ，则
【答案】AC
【分析】由题目给的定义结合向量的线性运算、向量的模长、向量的平行及垂直依次判断4个选项即可.
【详解】根据题意得，设A，B的中点为 ，则
，
故线段A，B的中点的广义坐标为 ，A正确；，故
，
当向量 ， 是相互垂直的单位向量时，A，B两点间的距离为 ，否则距离不为
，B错误；
与 平行，当 与 存在 时，结论显然成立，当 与 都不为 时，设 ，
则 ，即 ， ， ，所以 ，故C正确；
，当 与 为相互垂直的单位向量时，
与 垂直的充要条件是 ，故D不正确.
故选：AC．
20．（2022·江苏南京·统考模拟预测）设 是大于零的实数，向量 ，
其中 ，定义向量 ，记 ，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD【分析】根据定义求出 和 ，再根据平面向量的数量的坐标运算，结合恒等变换公式可求出
，由此可判断A和B选项；利用向量加减法的坐标运算、模长公式以及基本不等式，可判断C
和D选项.
【详解】因为向量 ，
所以 是一个实数，不是向量，
所以A不正确，B正确；
因为 ，
所以
，当且仅当 时，取得等号，
所以 ，故C正确；
因为 ，
所以，当且仅当 时，取得等号，
所以 ，故D正确.
故选：BCD
21．（2022·浙江温州·高一永嘉中学统考竞赛）设 、 、 是平面上任意三点，定义向量的运算：
，其中 由向量 以点 为旋转中心逆时针旋转直角得到（若 为零向量，规
定 也是零向量）.对平面向量 、 、 ，下列说法正确的是（ ）
A．
B．对任意 ，
C．若 、 为不共线向量，满足 ，则 ，
D．
【答案】BD
【分析】利用平面向量数量积的坐标运算可判断A选项；利用A选项中的结论结合题中定义可判断B选项；
利用平面向量数量积的运算性质可判断C选项；对 、 是否共线进行分类讨论，结合题中定义可判断D
选项.
【详解】设向量 、 在平面直角坐标系中的坐标分别为 ， ，
设 ，则 ，
同理可得 ，所以， ，
，则 ，A错；
对任意的 ，由A选项可知， ，
当 、 不共线时， ，
，B对；
因为 ，所以， ，
所以， ，同理可得 ，C错；
当 、 不共线时，由C选项可知， ，
所以， ，
所以， .
任取两个向量 、 ，对任意的实数 ， ，
当 、 共线时，设存在 使得 ，且 ，
所以，
，
综上所述， ，D对.
故选：BD.
【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量中的新定义，解题的关键在于理解题中运算的含义，结合平面向
量的线性运算与数量积运算逐项判断即可.22．（2023春·湖北武汉·高一华中师大一附中校考阶段练习）对任意两个非零的平面向量 和 ，定义
，若平面向量 满足 与 的夹角 ，且 和 都在集合
中．给出以下命题，其中一定正确的是（ ）
A．若 时，则
B．若 时，则
C．若 时，则 的取值个数最多为7
D．若 时，则 的取值个数最多为
【答案】AC
【分析】由新定义可知 ，再对每个命题进行判断，即可得出结
论.
【详解】对A，若 时， ，
两式相乘得 ，又 ，
，即 ，
，即 ，故A正确；
对B，若 时，则 ，同理 ，
相乘得到 ，又 ，所以 ，即 ，
则 取值 时符合 ，此时 ，故B错误；
对C，若 时，则 ，
同理 ，相乘得 ，又 ，
， ，
又 ，得 ，
，
，
，
的取值个数最多为7个，故C正确；
对D，若 时，由上面推导方法可知 ，
， ， ，
的取值个数最多为 ，故D错误.
故选：AC.
【点睛】数学中的新定义题目解题策略：①仔细阅读，理解新定义的内涵；②根据新定义，对对应知识进
行再迁移.
23．（2023·全国·高三专题练习）定义平面向量的一种运算“ ”如下：对任意的两个向量 ，
，令 ，下面说法一定正确的是（ ）A．对任意的 ，有
B．存在唯一确定的向量 使得对于任意向量 ，都有 成立
C．若 与 垂直，则 与 共线
D．若 与 共线，则 与 的模相等
【答案】AD
【分析】由 表示出 和 ，即可判断A；假设存在唯一确定的向
量 使得对于任意向量 ，都有 成立，即方程组
，对任意 恒成立，解方程可判断B；若 与 垂直，则 ，设
，分别表示出 与 即可判断C；若 与 共线，则 ，设 ，
分别表示出 与 即可判断D.
【详解】设向量 ， ，对于A，对任意的 ，有
，故A正确；
对于B，假设存在唯一确定的向量 使得对于任意向量 ，都有 成立，即
恒成立，即方程组
，对任意 恒成立，而此方程组无解，故B不正确；对于C，若 与 垂直，则 ，设 ，则
，
，其中 ，故C不正确；
对于D，若 与 共线，则 ，设 ，
，
，所以 与 的模相等，故D正确.
故选：AD.
【点睛】本题在平面向量的基础上，加以创新，属于创新题，考查平面向量的基础知识以及分析问题、解
决问题的能力.
三、填空题
24．（2023春·江苏泰州·高一靖江高级中学校考阶段练习）设向量 与 的夹角为 ，定义 与 的“向量
积”， 是一个向量，它的模等于 ，若 ， ，则 ______．
【答案】2
【分析】分别计算两个向量的模长及夹角，代入计算即可.
【详解】 ， ，则 ，
则 ，则 ,
故答案为：2
25．（2018春·安徽芜湖·高一芜湖一中校考阶段练习）在平面斜坐标系 中， ，平面上任一
点 关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若 （其中 ， 分别为 ， 轴方向相同的单位
向量），则 的坐标为 ，若 关于斜坐标系 的坐标为 ，则 ______
【答案】
【分析】由斜坐标定义用 ， 表示 ，然后平方转化为数量积求得模．
【详解】由题意 ，
，
故答案为： ．
26．（2019春·安徽芜湖·高一校联考期中）定义 ，若 ， ，则与 方向相反
的单位向量的坐标为______________．
【答案】
【分析】先求得 ，然后求得与 方向相反的单位向量的坐标.
【详解】 ，
所以与 方向相反的单位向量的坐标为
.故答案为：
27．（2022秋·湖南长沙·高三校考阶段练习）已知对任意平面向量 ，把 绕其起点沿逆时针方
向旋转 角得到向量 ．如图所示，顶角 的等腰三角形PQR的顶
点P、Q的坐标分别为 、 ，则顶点R的坐标为______．
【答案】
【分析】设 ，表示出 ，根据已知列出式子即可求出.
【详解】设 ，则 ，
因为 ，所以 ，
解得 ，即顶点R的坐标为 .
故答案为： .
28．（2022春·北京海淀·高一校考期中）设平面中所有向量组成集合 ， 为 中的一个单位向量，定义.则下列结论中正确的有___________（只需填写序号）.
①若 ､ ，则 ；
②若 ， ，则 ；
③若 ， ， ，则 有唯一解 .
【答案】①②
【分析】根据所给定义及向量数量积的运算律计算可得；
【详解】解：因为 ，
所以 ， ，
所以
即 ，故①正确；
对于②， ， ， ，
所以
，所以 ，故②正确；对于③，设 ，则 ， ， ，
所以 ，
所以 ，因为 ，
所以 ，所以 ，解得 或 ，
所以 或 ，故③错误；
故答案为：①②
29．（2022春·江苏南通·高一海安市曲塘中学校考期中）小顾同学在用向量法研究解三角形面积问题时有
如下研究成果：若 ， ，则 .试用上述成果解决问题：已知
， ， ，则 ___________.
【答案】1
【分析】计算 的坐标，结合结论求三角形的面积.
【详解】因为 ， ， ，
所以 ，
又当 ， 时， ，
所以 ，
故答案为：1.
30．（2022春·上海宝山·高一上海交大附中校考阶段练习）关于任意平面向量可实施以下6种变换，包括
2种v变换和4种w变换
：模变为原来的 倍，同时逆时针旋转90°；
：模变为原来的 倍，同时顺时针旋转90°；：模变为原来的 倍，同时逆时针旋转45°；
：模变为原来的 倍，同时顺时针旋转45°；
：模变为原来的 倍，同时逆时针旋转135°；
：模变为原来的 倍，同时顺时针旋转135°．
记集合 ，若每次从集合S中随机抽取一种变换.经过n次抽取，依次将第i次抽取的
变换记为 ，即可得到一个n维有序变换序列，记为 ，则以下判断中正确的
序号是______．
①单位向量 经过2022次v变换后所得向量一定与向量 垂直；
②单位向量 经过2022次w变换后所得向量一定与向量 平行；
③单位向量 经过 变换后得到向量 ，则 中有且只有2个v变换；
④单位向量 经过 变换后不可能得到向量 ；
⑤存在n，使得单位向量 经过 次变换后，得到 ．
【答案】①③
【分析】按照给出的变换以及向量的平行和垂直依次判断即可.
【详解】对于①，先考虑单位向量 经过2次v变换，若经过2次 变换得到的向量为 ，若经
过2次 变换得到的向量为 ，若经过1次 变换1次 变换得到的向量为 ，因此所得向量均
和 共线，故经过2022次v变换后所得向量也和 共线，即和向量 垂直，①正确；对于②，若依次按照 ， ， ， 的顺序变换2022次，易知所得向量方向不改变，即和向量
同向，②错误；
对于③，可知向量的模长没有变化，设 中有 个v变换，则 ，即 ，解得 ，
即有2个v变换，其中一个 变换可以为 ， ， ， ， ， ，③正确；
对于④，由③知单位向量 经过 变换后可以得到向量 ，再经过一次 变换即可得到向量
，④错误；
对于⑤，易知向量的模长变为了原来的 倍，若存在n，设其中有 个v变换，则 ，且
，可得 ，化简得 ，显然不存在整数 使上式成立，
⑤错误.
故答案为：①③.
31．（2022春·湖南株洲·高一株洲二中校考阶段练习）设V是已知平面M上素有向量的集合，对于映射
，记 的象为 ．若映射 满足：对所有 及任意实数 都有
，则f称为平面M上的线性变换，现有下列命题：
①设f是平面M上的线性变换， ，则 ；
②若 是平面M上的单位向量，对 ，设 ，则f是平面M上的线性变换；
③对 ，设 ，则f是平面M上的线性变换；
④设f是平面M上的线性变换， ，则对任意实数k均有 ．
其中的真命题是______（写出所有真命题的编号）．
【答案】①③④【分析】取 ，可判断①；取 ，可判断④；根据线性变换的定义验证即可判断②③.
【详解】取 ，可知①为真；
因为 ，所以 ， ，
当 时， ，所以②为假；
因为 ，所以 ， ，所以
，故③正确；
取 ，可知④为真.
故答案为：①③④
32．（2021春·重庆南岸·高一重庆第二外国语学校校考阶段练习）定义平面非零向量之间的一种运算
“※”，记 ，其中 是非零向量 的夹角，若 ， 均为单位向量，且 ，
则向量 与 的夹角的余弦值为_________.
【答案】
【分析】根据已知得出 ， ，即可根据定义得出 与 ，再根据数
量积的定义可求出.
【详解】 ， ，则 ，
， ，
设向量 与 的夹角为 ，
则 .故答案为： .
33．（2021春·陕西宝鸡·高一统考期末）设 ､ 是平面内相交成 角的两条数轴， ， 分别是与
轴， 轴正方向同向的单位向量，若向量 ，则把有序数对 叫做 在坐标系 中的坐
标．假设 ，则 的大小为________．
【答案】
【分析】先依题意判断 和 ，再计算 即可.
【详解】依题意， ， ，
由 ，知 ，
所以 .
故答案为：2.
34．（2018春·浙江台州·高一台州中学校考期中）已知向量 及向量序列: 满足如下条件:
，且 ,当 且 时, 的最大值为__________．
【答案】
【分析】由 可得 ，进而得 ，结合二次函数的
性质即可求得 的最大值.
【详解】解： ，
又 ，
，= =
，
根据二次函数的性质可得，当 ， 有最大值 .
故答案为: .
35．（2017春·北京东城·高二统考期末）已知平面向量 ，平面向量 ，（其中
）．
定义： ．若 ， ，则 =_____________；
若 ，且 ， ，则 _________， __________（写出一组满足此条件的 和 即
可）．
【答案】 （0,5）
【详解】本题自定义： ， ，（其中 ） ，
已知若 ， ，则 = .
又 ，且 ， ，则 ， ，不妨在
内任取两组数 和 ，为了满足 ，即 ，取 和 ，此时恰好满足
，则 .
36．（2014·安徽·高考真题）已知两个不相等的非零向量 两组向量 和
均由2个 和3个 排列而成.记 ， 表示 所有可能取值中
的最小值.则下列命题的是_________（写出所有正确命题的编号）.① 有5个不同的值.
②若 则 与 无关.
③若 则 与 无关.
④若 ，则 .
⑤若 ，则 与 的夹角为
【答案】②④
【详解】试题分析：由题意 有三种结果，如下： ；
； .故①错误；∵
，∴ 中最小为 .若 ，则
与 无关，故②正确；若 // ，则 与 有关，故③错误；若
，则
，故④正确；若 ， ，∴ ，
∴ ，故⑤错误.所以正确的编号为②④.
考点：1.平面向量的运算；2.平面向量的数量积.
37．（2021春·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考阶段练习）定义：对于实数 和两个定点 、 ，在
某图形上恰有 个不同的点 ，使得 ，称该图形满足“ 度囧合”，若在边长
为 的正方形 中， ， ，且该正方形满足“ 度囧合”，则实数 的取值范围是_________.
【答案】
【分析】以点 为坐标原点， 、 所在直线分别为 、 轴建立平面直角坐标系，设点 ，求
出点 的轨迹方程为 ，分析可知，圆 与正方形
有 个交点，数形结合可得出关于实数 的不等式，由此可解得实数 的取值范围.
【详解】以点 为坐标原点， 、 所在直线分别为 、 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则 、 、 、 ，
因为 ， ，则 、 ，
设 ， ， ，
则 ，
整理可得 ，则 ，可得 ，
所以，点 的轨迹是以点 为圆心，半径为 的圆，因此，只需圆 与正方形 有 个交点即可，
当 时，即当 时（图中从内往外第一个圆），
此时圆 与正方形 有 个交点，
当动圆在图中第二个圆与第三个圆之间（从内往外）时，圆 与正方形 有
个交点，
此时 ，解得 .
综上所述，实数 的取值范围是 .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于求出点 的轨迹方程，将问题转化为动圆与正方形有 个交点
来处理.
38．（2022·全国·高三专题练习）定义两个向量组 的运算
，设 为单位向量，向量组 分别为
的一个排列，则 的最小值为_______．
【答案】 ##
【分析】讨论 、 且 、 且 或2或3，根据 的定义及向
量数量积的运算律，分别求最小值，即可得结果.
【详解】当 且 时， ；
当 且 、 时，则 ，当且仅当 时等号成立；同理 且 、 或 且 、 时， 的最小值也为 ；
当 时，则 ，
由 ，设 ，则 ，
所以 ，当 时等号成立.
综上， 的最小值为 ．
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：应用分类讨论，注意 中向量不同的排列情况下对应 的表达式，结合向量
数量积运算律和几何关系求最值.
39．（2022·北京顺义·统考二模）向量集合 ，对于任意 ， ，以及任意
，都有 ，则称集合 是“凸集”，现有四个命题：
①集合 是“凸集”；
② 若 为“凸集”，则集合 也是“凸集”；
③若 都是“凸集”，则 也是“凸集”；
④若 都是“凸集”，且交集非空，则 也是“凸集”．
其中，所有正确的命题的序号是_____________________．
【答案】①②④
【分析】理解新定义，对结论逐一判断
【详解】由题意得，若对于任意 ，线段 上任意一点 ，都有 ，则集合 是“凸集”，
由此对结论逐一分析
对于①， ，若对于任意 满足 ，则 ，由函数 的图象知，对线段 上任意一点 ，都有 ，即 ，故 为“凸集”，①
正确
对于②，若 为“凸集”，则对于任意 ，此时 ，其中
对于任意 ， ，故 为“凸集”，②正确
对于③，可举反例，若 ，
易知 都是“凸集”，而 不是“凸集”，故③错误
对于④，若 都是“凸集”， 则对于任意 ，任意
则 ，且 ，
故 ，故 也是“凸集”
故答案为：①②④
四、解答题
40．（2022秋·河北沧州·高二校考开学考试）平面内一组基底 及任一向量
，若点 在直线 上或在平行于 的直线上，我们把直线 以及与直线
平行的直线称为“等和线”，此时 为定值，请证明该结论.
【答案】见解析
【分析】如图， 为直线 上的点，若 ，过 点作直线 ，再根据平面向量共线定理及推
理即可得出结论.
【详解】解：如图， 为直线 上的点，若 ，
那么 ，
从而有 ，即 ，另一方面，过 点作直线 ，在 上任作一点 ，
连接 ，则 ，
以 为基底时，
，
所以 ，即 ，
综上 ，为定值.
41．（2022秋·上海嘉定·高二上海市嘉定区第一中学校考阶段练习）已知在平面直角坐标系中， 为坐标
原点，定义非零向量 的“相伴函数”为 ，向量 称为函数
的“相伴向量”；记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为
(1)已知 ， ，若函数 为集合 中的元素，求其“相伴向量”的模的取值范
围；
(2)已知点 满足条件： ， ，若向量 的“相伴函数” 在 处取得最大
值，当 在区间 变化时，求 的取值范围；
(3)当向量 时，“相伴函数”为 ，若 ，方程 存在4
个不相等的实数根，求实数 的取值范围.
【答案】(1)(2)
(3)
【分析】（1）把 化为 形式得“相伴向量” ，求出模后可得其范围；
（2）写出“相伴函数” ，根据辅助角公式得最大值及最大值点 ，由 的范围得 的范围，再得
出 的范围后可得 的取值范围；
（3）由定义得 并化简（化为一个角的一个三角函数形式），解方程 得
或 ， 求得两根，然后作出函数 ， 的图象，由图象可得
且 有两根的 的范围．
【详解】（1） ，
∴函数 的相伴向量 ，
，
∴ 时， ； 时， .
∴ 的取值范围为[1，3]
（2） 的相伴函数
其中 ， .
当 ， ，即 ， 时， 取得最大值，
∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ .
∴ .
（3） ，
当 时， ，
由 ，得： ，
∴ 或 ，
由 ，即 ，而 ，解得 或 ，
即∴ 在 上有两个根，
方程 在 上存在4个不相等的实数根，
当且仅当 且 在 上有两个不等实根，
在同一坐标系内作出函数 在 上的图像和直线 ，如图，
方程 在 上有两个不等实根，当且仅当函数 在 上的图像和直线 有两个公共点，
观察图像知： 或 ，
解得 或 ，
所以实数 的取值范围是 .
42．（2022春·上海奉贤·高一校考期末）对于一个向量组 ，令
，如果存在 ，使得 ，那么称 是该向量组的“好向量”
(1)若 是向量组 的“好向量”，且 ，求实数 的取值范围；
(2)已知 ， ， 均是向量组 的“好向量”，试探究 的等量关系并加以证明．
【答案】(1)
(2) ，证明见解析.
【分析】（1）由题意 ，用坐标表示向量的模，解之可得；
（2）由“好向量”的定义得三个不等式，平方转化为向量的数量积，三式相加整理后可得．
【详解】（1）由题意 ，而 ， ， ，
，
所以 ，解得 ，
所以 的范围是 ；
（2） 的等量关系是 ，证明如下：
由题意 是向量组 的“好向量”，
所以 ，则 ，即 ，
所以 ，同理 ， ，三式相加并整理得 ，
所以 ，
所以 ．
43．（2021春·山西临汾·高一统考阶段练习）如图，在正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F，G分别
是AD，BC的二等分点．
（1）EF，EG有什么关系？用向量方法证明你的结论．
（2）已知对任意平面向量 ，把 绕其起点沿逆时针旋转 角得到向量
，叫做把点N绕点M沿逆时针方向旋转 角得到点P．已知正方形
ABCD中，点 ，点 ，把点G绕点E沿顺时针方向旋转 后得到点P，求点P的坐标．
【答案】（1）EF，EG互相垂直，证明见解析；（2） ．
【分析】（1）利用向量的垂直的定义即可判断；
（2）利用题意得到 ，再利用坐标运算公式求出 的坐标，即可求解．
【详解】（1）EF，EG互相垂直，
因为 ，
，
所以 ，
即EF，EG互相垂直；
（2）点G绕点E沿顺时针方向旋转 ，即点G绕点E沿逆时针方向旋转 ，由此得到 ，
而 ，
所以 ，
设点P的坐标为 ，
因为点E是AB的中点，点 ，点 ，
所以 ．
所以 ，
所以 ，
所以点P为 ．
44．（2021春·四川成都·高一四川省成都市盐道街中学校考阶段练习）定义非零向量 的“相伴
函数”为 ，向量 称为函数 的“相伴向
量”（其中 为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为 ．
(1)设 ，请问函数 是否存在相伴向量 ，若存在，求出与
共线的单位向量；若不存在，请说明理由．
(2)已知点 满足： ，向量 的“相伴函数” 在 处取得最大值，求 的取
值范围．
【答案】(1)存在， 或
(2)
【分析】（1）由题知 ，进而根据相伴向量的定义求解即可；（2）根据三角函数的性质得 ，进而结合二倍角公式得 ，再令
，进而结合函数值域求解即可.
【详解】（1）因为
，
所以，函数 存在相伴向量， ，
所以，与 共线的单位向量为 或
.
（2） 的“相伴函数” ，
因为 在 处取得最大值，
所以，当 ，即 时， 有最大值 ，
所以 ， ，
所以 ，
因为 ， ，所以 ，
所以 ，
令 ，则 ，
因为 均为 上的单调递减函数，
所以 在 上单调递减，
所以 ，
所以， ，
所以， 的取值范围为 .
