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2024届新高考二轮复习第四讲：导数及导数的应用
15. 已知函数 在点 处的切线与直线 垂直．
（1）求 ；
（2）求 的单调区间和极值．
【答案】（1）
（2）单调递增区间为 、 ，单调递减区间为 ，极大值 ，极小值
【解析】
【小问1详解】
，则 ，
由题意可得 ，解得 ；
【小问2详解】
由 ，故 ，
则 ， ，
故当 时， ，当 时， ，当 时， ，
故 的单调递增区间为 、 ， 的单调递减区间为 ，
故 有极大值 ，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
有极小值 .
题型一：导数的计算及几何意义
【典例例题】
例1.（2024春·湖北省）若点 是曲线 上任意一点，则点 到直线 的最小距离为
（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】设 ，函数 的定义域为 ，求导得 ，
当曲线 在点 处的切线平行于直线 时， ，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
则 ，而 ，解得 ，于是 ，
平行于 的直线与曲线 相切的切点坐标为 ，
所以点 到直线 的最小距离即点 到直线 的距离 ．
故选：D
【变式训练】
1.（2024春·新高考）已知函数 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为 ，则 ，
则 ，
所以， ，
所以， ，故 .
故选：C.
2.（2024春·安徽芜湖）若 为奇函数，则曲线 在点 处的切线
方程为 .
【答案】
【详解】因为 为奇函数，且定义域为 ，
所以 ，得到 ，
当 时， ， ，
所以 满足意义，故 ，所以 ，
故 ，又 ，所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
故答案为： .
3．（2024春·重庆）已知定义在 上的偶函数 满足 ，且当 时， ．更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
若 ，则 在点 处的切线方程为 ．（结果用含 的表达式表示）
【答案】
【详解】因为 ，所以 ，即 ，
令 ，有 ，令 ，有 ，所以 ，
，因为 为偶函数，所以 ，
由 ，令 得 ，所以 ，
令 得 ，所以 ，
因为 为偶函数，所以 ，
所以 在点 处的切线方程为 ，
即 .
故答案为： .
4.（2024春·云南大理）（多选）激活函数是神经网络模型的重要组成部分，是一种添加到人工神经网络中
的函数. 函数是常用的激活函数之一，其解析式为 ，则（ ）
A． 函数是奇函数
B． 函数是减函数
C．对于实数 ，当 时，函数 有两个零点
D．曲线 存在与直线 垂直的切线
【答案】AC
【详解】 定义域为 ，
所以 为奇函数， 正确；
恒成立，所以 函数是增函数，故B错误；更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
当 时， 恒成立，所以 在 上单调递减，
在 上单调递增，且 ，
故当 时， 与直线 有两个交点，故函数 有两个零点.
C正确；
，且 ，
所以 ，故曲线 不存在与直线 垂直的切线. 错误.
故选：AC.
题型二：用导数研究函数的单调性
【典例例题】
例1.（2024春·安徽合肥）已知函数 .
(1)若 ，分析 的单调性；
(2)若 ，证明： 在 ， 内各恰有一个零点，并且这两个零点互为相反数.
【答案】(1) 在 上单调递增 (2)证明见解析
【详解】（1）若 ，则 .
设 ，则 ，令 ，得 ，
当 时， ，则 在 上单调递减，
当 时， ，则 在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，所以 在 上单调递增.
（2） .
设 ，则 ，
令 ，解得 ，令 ，解得 ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增.更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
若 ，即 ，则 ，
又 ，当 时， ，当 时， ，
所以 在 内各恰有一个零点，设为 .
当 或 时， 单调递增，当 时， 单调递减.
由于 ，所以 ，
又当 时 ，当 时 ，
的大致图象如下:
设 为函数 在 内的零点，下面证明 也是 的零点，即 .
因为 ，
所以 .
综上， 在 ， 内各恰有一个零点，并且这两个零点互为相反数.
【变式训练】
1.（2024春·山东枣庄）已知定义在 上的连续函数 ，其导函数为 ，且 ，函数
为奇函数，当 时， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【详解】A项，在 中， ，函数 为奇函数，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
所以函数 为偶函数，则 ，
所以函数 关于 对称，
所以 ，故A正确；
B项，令 ，
因为当 时 ，
所以当 时， ，函数 单调递增，
所以 ，
所以 ，B正确；
C项，当 时， ，
所以 ，函数 单调递增，
所以当 时，函数 单调递减，
则 在 取得最小值为1，
所以不存在 ，C错误；
D项，由函数 关于 对称，
当 时，令 ， ，函数 单调递增，
所以 ，则 ，
所以 ， ，
令 ， ，
所以函数 单调递减， ，
所以 ，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
所以 ， ，
所以 与 的差大于 与 的差，
因为函数 关于 对称，当 时，函数 单调递增，
所以 ，D正确；
故选：ABD.
2．（2024春·全国新高考）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)设 ， 分别为 的极大值点和极小值点，记 ， ．
（ⅰ）证明：直线AB与曲线 交于另一点C；
（ⅱ）在（i）的条件下，判断是否存在常数 ，使得 ．若存在，求n；若
不存在，说明理由．
附： ， ．
【答案】(1) 在 ， 单调递增，在 单调递减
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）存在，
【详解】（1）因为 ，
则 ，
令 得 或 ，
当 与 时， ；
当 时， ；
所以 在 ， 单调递增，在 单调递减．
（2）由（1）得 ， ，
（ⅰ）直线 的方程为 ，即 ，
由 ，得 ，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
设 ，则 ，
令 得 ，
当 时， ；当 时， ；
所以 在 单调递减，在 单调递增，
因为 ， ， ，
所以 有且仅有2个零点 ， ，其中 ，
这表明方程 的解集为 ，
即直线AB与曲线 交于另一点C，且C的横坐标为 ，
（ⅱ）由（ⅰ）得 ，即 ，
假设存在常数 ，使得 ，则 ，
所以 ，代入可得 ．
设 ，则 ．令 得 ．
当 时， ；当 时， ．
所以 在 单调递减，在 单调递增．
因为 ， ， ，
所以存在唯一的 ，使得 ．
此时 ．
因此，存在常数 ，使得 ，且 ．
4.（2024春·陕西西安）已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)求证：当 时，对 ，不等式 恒成立．
【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析
【详解】（1）定义域为 ，
由 ，得 ，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
① 时， ，则 在 上为增函数；
② 时，由 ，得 ，由 ，得 ，
则 在 上为增函数，在 上为减函数．
综上，当 时， 在 上为增函数；当 时， 在 上为增函数，在 上为减函数．
（2）证明：当 时， ，
则
，
∴要证原不等式成立，即证 对 恒成立，
令 ，则 ，
在 上为增函数，
当 时， ，
对 恒成立．
对 恒成立．
题型三：函数的极值和最值
【典例例题】
例1.（2024春·广东省）已知函数 有极值点
(Ⅰ)求函数 的单调区间及 的取值范围；
(Ⅱ)若函数 有两个极值点 ，且 求 的值.
【答案】(I) 的增区间为 ， ，减区间为 ，
或 ；(II) ．
【详解】(I)求单调区间先求导 ， ，解得 或 ，
令 ，解得更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
∴ 的增区间为 ， ，减区间为 .
（II) 极值点即为导数 零点得
即
解得 或
∵ 或 ，则
【变式训练】
1.（2024春·黑龙江哈尔滨）已知函数 的定义域为 ，且满足 ，
在 处取极值，则下列说法中正确的是 （ ）
A． 是奇函数 B． 是偶函数
C． 在 处取极小值 D． 的最大值为4
【答案】C
【详解】因为 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
因为 在 处极值，所以 ，解得 ，
所以 ，
所以 且 ，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
所以 不是奇函数也不是偶函数，所以A、B错误；
对于C中，由B知， ，
令 ，解得 或 ，
则当 时， ；当 时， ，
所以 在 处取得极小值，所以C正确；
对于D中，令 ，则 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以D错误.
故选：C.
2.（2024春·湖北武汉）已知函数 ．
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）证明： ．
【答案】（1） （2）证明见解析
【解析】
【小问1详解】
， ， ．
故曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ．
【小问2详解】
由（1）得 ．
令函数 ，则 ，所以 是增函数．更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
因为 ， ，
所以存在 ，使得 ，即 ．
所以当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
．
因为 ，所以 ，
所以 ．
故 ．
3.（2024春·江西赣州）已知函数 ．
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)若 ，不等式 在 上存在实数解，求实数 的取值范围．
【答案】(1)单调增区间为 ，单调减区间为 (2)
【详解】（1）当 时， ，
∴ ，由 ，得 ，由 ，得 ，
所以函数 的单调增区间为 ，单调减区间为 ；
（2）原条件等价于： 在 上存在实数解．更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
化为 在 上存在实数解，
令 ，
则 ，
∴在 上， ，得 ，故 在 上单调递增，
∴ 的最小值为 ，
∴ 时，不等式 在 上存在实数解．
4．（2024春·河北衡水）已知函数 ．
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)若 是 的极小值点，求 的取值范围．
【答案】(1) 在 上单调递减 (2)
【详解】（1）当 时， ，
设 ，则 ，
所以当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，
当 时， 取得极大值 ，所以 ，
所以 在 上单调递减；
（2） ，
设 ，则 ，
（i）当 时，二次函数 开口向上，对称轴为 ，
当 时， 单调递增，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
因为 ，所以当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，所以 是 的极小值点．
当 时， ，又 ，
所以存在 ，使得 ，所以当 时， 单调递增，
又 ，所以当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，所以 是 的极小值点；
（ii）当 时， ，当 时， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，所以 是 的极小值点；
（iii）当 时， 开口向下，对称轴为 ，
此时 ，故 ，使 ，
当 时， ，因此 在 上单调递增，
又 ，当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，所以 为 的极小值点；
（iv）当 时， ，使 ，
当 时， ，因此 在 上单调递减，
又 ，当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，所以 为 的极大值点；
（v）当 时，由（1）知 非极小值点．
综上所述， ．
题型四：导数的新颖题型
【典例例题】
例 1.（2024 春新高考）若函数 在 上有定义，且对于任意不同的 ，都有更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
，则称 为 上的“ 类函数”.
(1)若 ，判断 是否为 上的“3类函数”；
(2)若 为 上的“2类函数”，求实数 的取值范围；
(3)若 为 上的“2类函数”，且 ，证明： ， ， .
【答案】(1) 是 上的“3类函数”，理由见详解.
(2) (3)证明过程见详解.
【详解】（1）对于任意不同的 ，
有 ， ，所以 ，
，
所以 是 上的“3类函数”.
（2）因为 ，
由题意知，对于任意不同的 ，都有 ，
不妨设 ，则 ，
故 且 ，
故 为 上的增函数， 为 上的减函数，
故任意 ，都有 ，
由 可转化为 ，令 ，只需
，令 ， 在 单调递减，
所以 ， ，故 在 单调递减，
，
由 可转化为 ，令 ，只需更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
，令 ， 在 单调递减，
且 ， ，所以 使 ，即 ，
即 ，
当 时， ， ，故 在 单调递增，
当 时， ， ，故 在 单调递减，
，
故 .
（3）因为 为 上的“2类函数”，所以 ，
不妨设 ，
当 时， ；
当 时，因为 ，
，
综上所述， ， ， .
【变式训练】
1．（2024春·重庆·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）对于函数 ，若存在 ，使得
，则称 为函数 的一阶不动点； 若存在 ，使得 ，则称 为函数 的
二阶不动点； 依此类推，可以定义函数 的 阶不动点. 其中一阶不动点简称不动点，二阶不动点也
称为稳定点.
(1)已知 ，求 的不动点；
(2)已知函数 在定义域内单调递增，求证： “ 为函数 的不动点”是“ 为函数 的稳定
点”的充分必要条件；更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
(3)已知 ，讨论函数 的稳定点个数.
【答案】(1)1 (2)证明见解析 (3)答案见解析
【详解】（1）设 ，则 恒成立，
故函数 在R上单调递增，
又 ，故函数 在R上有唯一零点，
即 有唯一不动点1；
（2）证明：充分性：设 为函数 的不动点，则 ，
则 ，即 为函数 的稳定点，充分性成立；
必要性：设 为函数 的稳定点，即 ，
假设 ，而 在定义域内单调递增，
若 ，则 ，与 矛盾；
若 ，则 ，与 矛盾；
故必有 ，即 ，
即 ，故 为函数 的不动点，
综上， “ 为函数 的不动点”是“ 为函数 的稳定点”的充分必要条件；
（3）当 时，函数 在 上单调递增，
由（2）知 的稳定点与 的不动点等价，故只需研究 的不动点即可；
令 ，
则 ，则 在 上单调递减，
①当 时， 恒成立，即 在 上单调递增，
当x无限接近于0时， 趋向于负无穷小，且 ，
故存在唯一的 ，使得 ，即 有唯一解，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
所以此时 有唯一不动点；
②当 时，即 时， ，
当x趋向无穷大时， 趋近于0，此时 ，
存在唯一 ，使得 ，
此时 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 ，
当x趋近于0时， 趋向于负无穷大，当x趋向正无穷大时， 趋向于负无穷大，
设 ，则 在 上单调递增，且 ，
又 在 时单调递增，
故（i）当 时，即 ，
此时 ，方程 有一个解，即 有唯一不动点；
（ii）当 shi ，即 ，
此时 ，方程 无解，即 无不动点；
（iii）当 时，即 ，
此时 ，方程 有两个解，即 有两个不动点；
综上，当 时或 时， 有唯一稳定点；
当 时， 无稳定点；
当 ， 有两个稳定点；
2.（2024春·浙江宁波）在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
如图所示的光滑曲线C： 上的曲线段 ，其弧长为 ，当动点从A沿曲线段 运动到B点时，
A点的切线 也随着转动到B点的切线 ，记这两条切线之间的夹角为 （它等于 的倾斜角与 的倾
斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲
程度越大，因此可以定义 为曲线段 的平均曲率；显然当B越接近A，即 越小，K就越能精
确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义 （若极限存在）为曲线C在点A处
的曲率．（其中y＇，y＇＇分别表示 在点A处的一阶、二阶导数）
(1)求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率；
(2)求椭圆 在 处的曲率；
(3)定义 为曲线 的“柯西曲率”．已知在曲线 上存在两点
和 ，且P，Q处的“柯西曲率”相同，求 的取值范围．
【答案】(1)1 (2) (3)更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
【详解】（1） ．
（2） ， ， ，
故 ， ，故 ．
（3） ， ，故 ，其中 ，
令 ， ，则 ，则 ，其中 （不妨 ）
令 ， 在 递减，在 递增，故 ；
令 ，
，令 ，
则 ，当 时， 恒成立，故 在 上单调递增，
可得 ，即 ，
故有 ，
则 在 递增，
又 ， ，故 ，
故 ．
一、单项选择更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
1．（2024春·江苏常州）已知定义在 上的函数 的导数为 ， ，且对任意的 满足
，则不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】构建 ，则 ，
因为 ，则 ，即 ，
可知 在 上单调递减，且 ，
由 可得 ，即 ，解得 ，
所以不等式 的解集是 .
故选：A．
2.（2024春·江西省）设 、 、 满足 ， ， ，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】A
【详解】 、 、 且 ， ， ，则 ，
先比较 与 的大小关系，
构造函数 ，其中 ，
则 ，所以， ，
则 ，
令 ，其中 ，则 ，
令 ，其中 ，所以， ，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
所以，函数 在 上单调递增，故 ，
所以，函数 在 上单调递增，则 ，即 ，
因为 ，则 ，
所以， ，
所以， ，
因为 ，所以，
，
所以，对任意的 ， ，
故函数 在 上单调递减，
因为 ，则 ，故 ，
由基本不等式可得 （ ，故取不了等号），所以， ，
故选：A.
二、填空题
3．（2024春·陕西）已知 ，函数 有两个极值点 ，则下列说法正确的序号为
．
①若 ，则函数 在 处的切线方程为 ；②m可能是负数；
③ ；④若存在 ，使得 ，则 ．
【答案】①④
【详解】①若 ，则 ， ，
， ，
所以函数 在 处的切线方程为 ，即 ，说法①正确．更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
② ，有 ，则 ，说法②错误．
③ ，当 时， ， 单调递减，没有极值，
当 时，由 ，解得 ，
所以在区间 上 ， 单调递增，
在区间 上 ， 单调递减，
所以 是 的极大值点， 是 的极小值点，
而 ，
所以 为定值，说法
③错误．
④若存在 ，使得 ，
即 ，得 ，
即 ，即 ，
由于 ，所以 必存在，
对于 ，则有 ，
即 ，解得 ，所以说法④正确.
故答案为：①④
4.（2024春·新高考）已知 若存在 ，使得 成立，
则 的最大值为 .
【答案】
【详解】因 则 ，
由 知 时， ，即函数 在 上单调递增.更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
由 可得： 且 ,故得： ，
则 ，不妨设 ，则 ，
故当 时， ， 递增，当 时， ， 递减，
即 ，故 的最大值为 .
故答案为： .
5.（2024春·江西省）若 ，设 的零点分别为 ，则 ，
.（其中 表示a的整数部分，例如： ）
【答案】
【 详 解 】 令 ， 则 ， 利 用 对 数 恒 等 式 ， 原 式 等 价 变 为 ：
，
下令 ，于是 ，由 可知 在 上递减，
上递增，在 取到极小值 ， ， 且 ， ，
可作出 大致图像如下：
结合图像， 可能有如下情形：
由 的单调性可知，若 均在 中的一种时，则有 .
记 ， ，即 在 上递增，由 ，则
，故 ，使得 ；
显然 在 上递增，由 ，故 时， ，故 时，
；更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
又 ，故 ，使得 ，故 时 ；
不可能 均满足 ，事实上，由 ，得到 ，
这与 矛盾.
于是 时，由 可以推出： .
设 ， ，由 在 上单调递增，故 在
上单调递增，又 ， ，即 ，故 ，使得 ，且
时 ， ， 递 减 ， 时 ， ， 递 增 ， 故
， 由 ， 可 得 ， 由
，根据基本不等式， （等号取不到），故 ，又
， ，故存在 ，使得 ；
，显然 ，故 ，即 ；
，显然 ，故 ，即 .
由 ，故 ，使得 .
注意到 ，故 .
综上讨论，当 时原方程有两个根： ， ；
虽 说 ， ， 根 据 上 述 讨 论 ， 在 上 无 实 根 . 即
时， 有两个零点： ， .
当 时， ，而 时， ， ，而 在 处无定义，
不可能有 ，即 时， 无零点；
当 时，注意到 且 时， ，又 ，故更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
时， 存在零点 ，即 ，使得 ，若 ，且 ，不
妨 设 ， 由 于 均 在 上 单 调 递 增 ， 故 ，
， 在 上 递 减 ， 在 递 增 ， 故
，于是 是唯一实根.
综上所述，原函数有 ， ， 三个零点， .
故答案为：
6. （2024春·湖北省）已知 ， ，则在下列关系① ② ③
④ 中，能作为“ ”的必要不充分条件的是______（填正确的序号）.
【答案】②③
【解析】
【分析】利用基本不等式可判断①；数形结合，作出 的图象，结合不等式相应的几何意义判断②；
利用放缩法说明 ，再用构造函数，利用导数知识说明 ，从而判断③；构造函数
，求导判断单调性，数形结合，说明两命题之间的推理关系，判断④.
【详解】对于①，取 ，满足 ，但不满足 ，
即 成立推不出 ，
由于 ，故 ，
而 ，故 ，当且仅当 时取等号，
即 成立可推出 成立，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
故 不是“ ”的必要不充分条件；
对于②，作出函数 的图象，如图曲线，即将 的图像向右平移1个单位得到；
则 （ ）表示几何意义为曲线 在第一象限内和坐标轴围成的区域部分（不含坐
标轴），
则 中相应的点 所在区域即上述区域；
而 表示的几何意义为直角三角形 区域部分（不含坐标轴），
显然直角三角形 区域部分（不含坐标轴）对应集合为曲线 在第一象限内和坐标轴围成的区域
部分（不含坐标轴）相应集合的真子集，
即 是 的必要不充分条件，
对于③，由 得 ，故 ，（ ），
设 ，则 ，
则 在 上单调递减，且 ，
则存在 ，使得 ，即 时， ， 在 上单调递增，
时， ， 在 上单调递减，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
而 ，则在 上 恒成立，
即 ，故 ；
而当 成立时，不妨取 ， 成立，
但 不成立，故 是 的必要不充分条件；
对于④，当 时，设 ，
则 ，显然 在 单调递增，
当 时， ， 在 单调递减，
当 时， ， 在 单调递增，
又 ，
作出 的大致图象如图：
由图象可知存在 ，使得 ，
故当 时， 只有唯一解，
若 ，则 与条件不符；
即此时得不出 ，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
即 不是 的必要条件，
故能作为“ ”的必要不充分条件的是②③，
故答案为：②③
三、简答题
7．（2024春·全国）设函数 .
(1)若 ，求函数 的最值；
(2)若函数 有两个不同的极值点，记作 ，且 ，求证： .
【答案】(1)无最小值，最大值为 (2)证明见解析
【详解】（1）由题意得 ，则 .
令 ，解得 ；令 ，解得 ，
在 上单调递增，在 上单调递减，
，
无最小值，最大值为 .
（2） ，则 ，
又 有两个不同的极值点 ，
欲证 ，即证 ，
原式等价于证明 ①.
由 ，得 ，则 ②.
由①②可知原问题等价于求证 ，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
即证 .
令 ，则 ，上式等价于求证 .
令 ，则 ，
恒成立， 在 上单调递增，
当 时， ，即 ，
原不等式成立，即 .
8．（2024春·天津宁河）已知函数 ， ．
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)求 的单调区间；
(3)设 是函数 的两个极值点，证明： ．
【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析
【详解】（1）当 时， ，
得 ，则 ， ，
所以切线方程为 ，即 ；
（2） ，
当 时， 恒成立， 在 上单调递增，无减区间，
当 时，令 ，得 ， 单调递增，
令 ，得 ， 单调递减，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
综合得：当 时， 的单调递增区间为 ，无减区间；
当 时， 的单调递增区间为 ， 的单调递减区间为 ；
（3） ，
则 ，
因为 是函数 的两个极值点，
即 是方程 的两不等正根，
所以 ，得 ，
令 ，则 ，
得 ，
则 ，
所 以
，
则 ，
令 ，
则 ，
所以 在 上单调递增，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
所以 ，
所以 ，
即 .
9．（2024春·黑龙江）设函数 ， .
(1)已知 对任意 恒成立，求实数 的取值范围；
(2)已知直线 与曲线 、 分别切于点 、 ，其中
①求证： ；
②已知 对任意 恒成立，求 的取值范围．
【答案】(1) (2)①证明见解析；② .
【详解】（1）解：由已知可得 ，其中 ，
设 ，其中 ，则 ，
当 时， ，即 在 上单调递增，
当 时， ，即 在 上单调递减，
所以， ；
令 ，其中 ，则 ，
当 时， ，即函数 在 上单调递减，
当 时， ，即函数 在 上单调递增，
所以， ，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
综上所述，实数 的取值范围是 .
（2）证明：①因为 ， ，则 ， ，
所以，直线 可表示为 ，即 ，
直线 的方程也可表示为 ，即 ，
故有 ，所以， ，
所以， ，即 ，
设 ，其中 ，则 ，
令 ，其中 ，则 对任意的 恒成立，
所以，函数 在 上单调递增，
又因为 ， ，所以，存在 ，使得 ，
当 时， ，即函数 在 上单调递减，
当 时， ，即函数 在 上单调递增，
因为 ，则 ， ，
所以，函数 在 上无零点，
因为 ，所以，存在 ，使得 ，
所以， ，则 ；
解：②由①可知， ，当 时， ，
由 可得 ，
设 ，其中 ，则 对任意的 恒成立，
所以，函数 在 上单调递增，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
所以， ，
所以， ，解得 ，
故实数 的取值范围是 .
10．（2024春·湖南长沙）给出下列两个定义：
I.对于函数 ，定义域为 ，且其在 上是可导的，若其导函数定义域也为 ，则称该函数是“同
定义函数”.
II.对于一个“同定义函数” ，若有以下性质：
① ；② ，其中 为两个新的函数， 是
的导函数.
我们将具有其中一个性质的函数 称之为“单向导函数”，将两个性质都具有的函数 称之
为“双向导函数”，将 称之为“自导函数”.
(1)判断函数 和 是“单向导函数”，或者“双向导函数”，说明理由.如果具有性质①，则写
出其对应的“自导函数”；
(2)已知命题 是“双向导函数”且其“自导函数”为常值函数，命题
.判断命题 是 的什么条件，证明你的结论；
(3)已知函数 .
①若 的“自导函数”是 ，试求 的取值范围；
②若 ，且定义 ，若对任意 ，不等式 恒成立，求
的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)既不充分也不必要条件；证明见解析更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
(3)
【详解】（1）解：对于函数 ，则 ，
这两个函数的定义域都是 ，
所以函数 为“同定义域函数”，此时， ，
由函数的定义，对于 ， 无法同时成立，
所以 为“单向导函数”，其“自导函数”为 ，
对于函数 ，则 ，
因为这两个函数的定义域不同，所以不是“同定义函数”.
（2）解：若 成立， ，则 ，
设 ，则 ，所以 为“单向导函数”，
又设 ，则 ，所以 为“双向导函数”，
但 不是常值函数，所以 不是 的必要条件；
若 成立，则 ，所以 ，所以 ，
所以 不成立，所以 是 的既不充分也不必要条件.
（3）解：①由题意， ，且 ，
所以 ，所以 ；
②由题意 ，所以 且 ，
令 ，
可得 ，且 ，
因为 为单调递增函数，且 ，
所以存在 使得 ，
且当 时， ， 单调递减；更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
当 时， ， 单调递增，
（i）当 时，即 ，
所以 ，
此时 ， 在 上单调递增，可得 ；
（ii）当 时， ，此时 ，
所以当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
又由 ，所以 ；
（iii）当 且 时， ，
所以函数 在 上存在两个极值点，
若 ，即 时，极大值点为 ；
若 ，即 时，极大值点为 ，
则 为函数的极大值或 ，
由当 时， ，
令 ，则 ，
设 ，
则 ，
所以 ，即 单调递增，所以 ，
所以 单调递增，所以 ，
综上可得， ，所以实数 的取值范围为 .
11．（2024春·云南昆明）悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．通过适当建更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数 的图象，类比三角函数的三种性质：①平方关系：①
，②和角公式： ，③导数： 定义双曲正
弦函数 ．
(1)直接写出 ， 具有的类似①、②、③的三种性质（不需要证明）；
(2)若当 时， 恒成立，求实数a的取值范围；
(3)求 的最小值．
【答案】(1)答案见解析 (2) (3)0
【详解】（1）平方关系： ；
和角公式： ；
导数： ．
理由如下：平方关系，
；
，
和角公式：
故 ；更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
导数： ， ；
（2）构造函数 ， ，由（1）可知 ，
i．当 时，由 可知，
故 ，故 单调递增，
此时 ，故对任意 ， 恒成立，满足题意；
ii．当 时，令 ， ，
则 ，可知 单调递增，
由 与 可知，存在唯一 ，使得 ，
故当 时， ，则 在 内单调递减，
故对任意 ， ，即 ，矛盾；
综上所述，实数a的取值范围为 ．
（3） ， ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
当 时，由（2）可知， ，则 ，
令 ，则 ，故 在 内单调递增，
则 ，故 在 内单调递增，
则 ，故 在 内单调递增，
则 ，故 在 内单调递增，
因为 ，
即 为偶函数，故 在 内单调递减，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
则 ，故当且仅当 时， 取得最小值0.
12．（2024春·江苏常州）已知函数 ，曲线 在点 处切线方程为 ．
(1)讨论函数 在 上的单调性；
(2)当 时， 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1)单调递增
(2)
【详解】（1）因为 ，所以 ，
由题有 ，即 ，解得
所以 ， ，
当 时， ，所以 ，
又当 时， ，所以 ，
即 在区间 上恒成立，所以 在区间 上单调递增．
（2）由 对 恒成立，
即 对 恒成立，
令 ，所以 对 恒成立，
则 ，
令 ，则 ，
当 时，由于 ， ， ，所以 ，当且仅当 时取等号，
当 时， ，所以 ，
所以 在区间 上单调递增，
故 ，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
当 时， ，所以 在区间 上单调递增，
又 ，所以 符合题意，
当 时，因为 ，则存在 ，使得 ，
所以 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
又 ，则 时， ，不合题意，
综上： 的取值范围为 ．
