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7.8 习题课：机械能守恒定律的应用
一 夯实基础
1.如图所示，一轻绳的一端系在固定粗糙斜面上的O点，另一端系一小球.给小球一足够大的初速度，使小
球在斜面上做圆周运动.在此过程中( )
A.小球的机械能守恒
B.重力对小球不做功
C.轻绳的张力对小球不做功
D.在任何一段时间内，小球克服摩擦力所做的功总是等于小球动能的减少量
【答案】 C
【解析】 斜面粗糙，小球受到重力、支持力、摩擦力、轻绳张力的作用，由于除重力做功外，支持力和
轻绳张力总是与运动方向垂直，故不做功，摩擦力做负功，机械能减少，A、B错，C对；小球动能的变
化量等于合外力对其做的功，即重力与摩擦力做功的代数和，D错.
2.木块静止挂在绳子下端，一子弹以水平速度射入木块并留在其中，再与木块一起共同摆到一定高度，如
图2所示，从子弹开始入射到共同上摆到最大高度的过程中，下面说法正确的是( )
A.子弹的机械能守恒 B.木块的机械能守恒
C.子弹和木块的总机械能守恒 D.以上说法都不对
【答案】 D
【解析】 子弹打入木块的过程中，子弹克服摩擦力做功产生热能，故系统机械能不守恒.
更多资料添加微信号：hiknow_007 淘宝搜索店铺：乐知课堂3.如图所示，在轻弹簧的下端悬挂一个质量为m的小球A，若将小球A从弹簧原长位置由静止释放，小球
A能够下降的最大高度为h，若将小球A换为质量为2m的小球B，仍从弹簧原长位置由静止释放，则小球
B下降h时的速度大小为(重力加速度为g，不计空气阻力)( )
A. B. C. D.0
【答案】 B
【解析】 小球A由静止释放到下降h的过程中系统机械能守恒，则mgh＝E.小球B由静止释放到下降h
p
的过程中系统机械能也守恒，则2mgh＝E＋(2m)v2，解得v＝，故B正确.
p
4.如图所示的滑轮光滑轻质，阻力不计，M ＝2 kg，M ＝1 kg，M 离地高度为H＝0.5 m，g＝10 m/s2.M 与
1 2 1 1
M 从静止开始释放，M 由静止下落0.3 m时的速度为( )
2 1
A. m/s B.3 m/s C.2 m/s D.1 m/s
【答案】 A
【解析】 对系统运用机械能守恒定律得，(M －M)gh＝(M ＋M)v2，代入数据解得v＝ m/s，故A正确，
1 2 1 2
B、C、D错误.
5.如图所示，小物体A和B通过轻质弹簧和轻绳跨过光滑定滑轮连接，初状态在外力控制下系统保持静止，
轻弹簧处于原长，且轻弹簧上端离滑轮足够远，A离地面足够高，物体A和B同时从静止释放，释放后短
时间内B能保持静止，A下落h高度时，B开始沿斜面上滑，则下列说法中正确的是( )
A.B滑动之前，A机械能守恒
更多资料添加微信号：hiknow_007 淘宝搜索店铺：乐知课堂B.B滑动之前，A机械能减小
C.B滑动之前，A、B组成的系统机械能守恒
D.B 滑动之后，A、B组成的系统机械能守恒
【答案】 B
【解析】 B滑动之前，A下落时，绳子的拉力对A做负功，A的机械能不守恒，由功能关系知，A的机械
能减小，故A错误，B正确；B滑动之前，A的机械能减小，B的机械能不变，则A、B组成的系统机械能
减小，故C错误；B滑动之后，A、B及弹簧组成的系统机械能守恒，则A、B组成的系统机械能不守恒，
故D错误.
6.竖直放置的轻弹簧下连接一个小球，用手托起小球，使弹簧处于压缩状态，如图 6所示.则迅速放手后(不
计空气阻力)( )
A.放手瞬间小球的加速度等于重力加速度
B.小球、弹簧与地球组成的系统机械能守恒
C.小球的机械能守恒
D.小球向下运动过程中，小球动能与弹簧弹性势能之和不断增大
【答案】 BD
【解析】 放手瞬间小球的加速度大于重力加速度，A错；整个系统(包括地球)的机械能守恒，B对，C错；
向下运动过程中，由于重力势能减小，所以小球的动能与弹簧弹性势能之和增大，D正确.
7.内壁光滑的环形凹槽半径为R，固定在竖直平面内，一根长度为R的轻杆，一端固定有质量为m的小球
甲，另一端固定有质量为2m的小球乙.现将两小球放入凹槽内，小球乙位于凹槽的最低点，如图所示，由
静止释放后( )
更多资料添加微信号：hiknow_007 淘宝搜索店铺：乐知课堂A.下滑过程中甲球减少的机械能总是等于乙球增加的机械能
B.下滑过程中甲球减少的重力势能总是等于乙球增加的重力势能
C.甲球可沿凹槽下滑到槽的最低点
D.杆从右向左滑回时，乙球一定能回到凹槽的最低点
【答案】 AD
【解析】 环形凹槽光滑，甲、乙组成的系统在运动过程中只有重力做功，故系统机械能守恒，下滑过程
中甲减少的机械能总是等于乙增加的机械能，甲、乙系统减少的重力势能等于系统增加的动能；甲减少的
重力势能等于乙增加的势能与甲、乙增加的动能之和；由于乙的质量较大，系统的重心偏向乙一端，由机
械能守恒，知甲不可能滑到凹槽的最低点，杆从右向左滑回时乙一定会回到凹槽的最低点.
8.如图所示，光滑圆轨道固定在竖直面内，一质量为m的小球沿轨道做完整的圆周运动。已知小球在最低
点时对轨道的压力大小为N ，在最高点时对轨道的压力大小为N 。重力加速度大小为g，则N －N 的值为
1 2 1 2
( )
A．3mg B．4mg C．5mg D．6mg
【答案】 D
【解析】 设小球在最低点速度为v ，在最高点速度为v ，根据牛顿第二定律和牛顿第三定律，在最低点
1 2
有N －mg＝m，在最高点有N ＋mg＝m，从最高点到最低点，根据机械能守恒定律有mg·2R＝mv－mv，联
1 2
立以上三式可以得到：N －N ＝6mg，故D正确。
1 2
9.如图所示，半径为R的光滑半圆弧轨道与高为10R的光滑斜轨道放在同一竖直平面内，两轨道之间由一
条光滑水平轨道CD相连，水平轨道与斜轨道间有一段圆弧过渡.在水平轨道上，轻质弹簧被a、b两小球挤
压，处于静止状态.同时释放两个小球，a球恰好能通过圆弧轨道的最高点A，b球恰好能到达斜轨道的最
高点B.已知a球质量为m，b球质量为m，重力加速度为g.求：
1 2
更多资料添加微信号：hiknow_007 淘宝搜索店铺：乐知课堂(1)a球离开弹簧时的速度大小v；
a
(2)b球离开弹簧时的速度大小v；
b
(3)释放小球前弹簧的弹性势能E.
p
【答案】 (1) (2)2 (3)(m＋10m)gR
1 2
【解析】 (1)由a球恰好能到达A点知：mg＝m
1 1
由机械能守恒定律得：mv－mv ＝mg·2R
1 1 1
解得v＝.
a
(2)对于b球由机械能守恒定律得：mv ＝mg·10R
2 2
解得v＝＝2.
b
(3)由机械能守恒定律得：E＝mv＋mv
p 1 2
解得E＝(m＋10m)gR.
p 1 2
10.物块A的质量为m＝2 kg，物块与坡道间的动摩擦因数为μ＝0.6，水平面光滑.坡道顶端距水平面高度为
h＝1 m，倾角为θ＝37°.物块从坡道进入水平滑道时，在底端O点处无机械能损失，将轻弹簧的一端固定
在水平滑道M处，另一自由端恰位于坡道的底端O点，如图11所示.物块A从坡顶由静止滑下，重力加速
度为g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：
(1)物块滑到O点时的速度大小；
(2)弹簧为最大压缩量时的弹性势能；
(3)物块A被弹回到坡道后上升的最大高度.
【答案】 (1)2 m/s (2)4 J (3) m
【解析】 (1)由动能定理得mgh－＝mv2
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(2)在水平滑道上，由机械能守恒定律得mv2＝E
p
代入数据得E＝4 J
p
(3)设物块A能够上升的最大高度为h，物块被弹回过程中由动能定理得
1
0－mv2＝－mgh －
1
代入数据解得h＝ m.
1
二 提升训练
1.重10 N的滑块在倾角为30°的光滑斜面上，从a点由静止下滑，到b点接触到一个轻弹簧，滑块压缩弹
簧到c点开始弹回，返回b点离开弹簧，最后又回到a点，已知ab＝1 m，bc＝0.2 m，那么在整个过程中，
下列选项正确的是( )
A．滑块动能的最大值是6 J B．弹簧弹性势能的最大值是6 J
C．从c到b弹簧的弹力对滑块做的功是6 J D．整个过程系统机械能守恒
【答案】 BCD
【解析】滑块和弹簧组成的系统，在整个运动过程中，只发生动能、重力势能和弹性势能之间的相互转化，
系统的机械能守恒，D正确；以c点做重力势能零点，a、c点动能为零，整个系统的机械能等于a点的重
力势能或c点的弹性势能。滑块从a到c，重力势能减小了mg··sin30°＝6 J，全部转化为弹簧的弹性势能，
B正确；从c到b弹簧恢复原长，通过弹簧的弹力对滑块做功，将6 J的弹性势能全部转化为滑块的机械能，
C正确；当重力沿斜面的分力等于弹簧弹力时动能最大，此时还有重力势能和弹性势能，总机械能只有6
J，所以动能不能达到6 J，A错误。
2.如图所示，固定的竖直光滑长杆上套有质量为m的小圆环，圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧
的另一端连接在墙上，并且处于原长状态，现让圆环由静止开始下滑，已知弹簧原长为L，圆环下滑到最
大距离时弹簧的长度变为2L(未超过弹性限度)，则在圆环下滑到最大距离的过程中( )
更多资料添加微信号：hiknow_007 淘宝搜索店铺：乐知课堂A．圆环的机械能守恒 B．弹簧弹性势能变化了mgL
C．圆环下滑到最大距离时，所受合力为零 D．圆环重力势能与弹簧弹性势能之和保持不变
【答案】 B
【解析】 圆环在下滑过程中机械能减少，弹簧弹性势能增加，而圆环与弹簧组成的系统机械能守恒，
A、D错误；圆环下滑到最低点时速度为零，但是加速度不为零，即合力不为零，C错误；圆环下降高度h
＝＝L，所以圆环重力势能减少了mgL，由机械能守恒定律可知，弹簧的弹性势能增加了mgL，B正确。
3．(多物体机械能守恒)(多选)如图所示，在两个质量分别为m和2m的小球a和b之间，用一根长为L的轻
杆连接，两小球可绕穿过杆中心O的水平轴无摩擦地转动。现让轻杆处于水平位置，然后无初速度释放，
重球b下落，轻球a上升，产生转动，在杆转至竖直的过程中( )
A．b球的重力势能减少，动能增加 B．a球的重力势能增加，动能增加
C．a球和b球的总机械能守恒 D．a球和b球的总机械能不守恒
【答案】 ABC
【解析】 a、b两球组成的系统中，只存在动能和重力势能的相互转化，系统的机械能守恒，C正确、D
错误；其中a球的动能和重力势能均增加，机械能增加，轻杆对a球做正功；b球的重力势能减少，动能
增加，机械能减少，轻杆对b球做负功，A、B正确。
4.(多选)如图所示，a、b两物块质量分别为m、3m，用不计质量的细绳相连接，悬挂在定滑轮的两侧。开
始时，a、b两物块距离地面高度相同，用手托住物块 b，然后由静止释放，直至a、b物块间高度差为h，
不计滑轮质量和一切摩擦，重力加速度为g。在此过程中，下列说法正确的是( )
更多资料添加微信号：hiknow_007 淘宝搜索店铺：乐知课堂A．物块a的机械能守恒 B．物块b的机械能减少了mgh
C．物块b机械能的减少量等于物块a机械能的增加量 D．物块a、b与地球组成的系统机械能守
恒
【答案】 CD
【解析】 释放b后物块a加速上升，动能和重力势能均增加，故机械能增加，A错误。对物块a、b与地
球组成的系统，只有重力和绳拉力做功，由于绳的拉力对a做的功与b克服绳的拉力做的功相等，故系统
机械能守恒，D正确。物块a、b构成的系统机械能守恒，有3mg·－mg·＝mv2＋·3mv2，解得v＝；物块b动
能增加量为(3m)v2＝mgh，重力势能减少mgh，故机械能减少mgh－mgh＝mgh，B错误。a、b组成的系统
机械能守恒，故物块b机械能的减少量等于物块a机械能的增加量，C正确。
5.(多选)如图所示，A、B、C、D四图中的小球以及小球所在的左侧斜面完全相同，现从同一高度 h处由静
止释放小球，使之进入右侧不同的轨道：除去底部一小圆弧，A图中的轨道是一段斜面，高度大于h；B
图中的轨道与A图中轨道相比只是短了一些，且斜面高度小于h；C图中的轨道是一个内径略大于小球直
径的管道，其上部为直管，下部为圆弧形且与斜面相连，管的高度大于 h；D图中的轨道是个半圆形轨道，
其直径等于h。如果不计任何摩擦阻力和拐弯处的能量损失，小球进入右侧轨道后能到达h高度的是( )
【答案】 AC
【解析】 小球在运动过程中机械能守恒，A、C图中小球不能脱离轨道，在最高点速度为零，因而可以
达到h高度。但B、D图中小球都会脱离轨道而做斜抛运动，在最高点具有水平速度，所以在最高点的重
力势能要小于mgh(以最低点为零势能点)，即最高点的高度要小于h。故A、C正确。
6．如图所示，从光滑的圆弧槽的最高点由静止滑下的小物块，滑出槽口时速度沿水平方向，槽口与一个
半球顶点相切，半球底面在水平面内，若要使小物块滑出槽口后不沿半球面下滑，已知圆弧轨道的半径为
R，半球的半径为R，则R 与R 的关系为( )
1 2 1 2
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1 2 1 2
C．R≤ D．R≥
1 1
【答案】 D
【解析】 小物块沿光滑的圆弧槽下滑的过程，只有重力做功，机械能守恒，故有mgR ＝mv2，要使小物
1
块滑出槽口后不沿半球面下滑，即做平抛运动，则mg≤m，联立解得R≥，故D正确。
1
7.如图所示，一根很长的、不可伸长的柔软轻绳跨过光滑定滑轮，绳两端各系一小球 a和b。a球质量为
m，静置于地面；b球质量为3m，用手托住，高度为h，此时轻绳刚好拉紧。不计空气阻力，从静止开始
释放b后，a可能到达的最大高度为( )
A．h B．1.5h C．2h D．2.5h
【答案】 B
【解析】在b球落地前，a、b球组成的系统机械能守恒，且a、b两球速度大小相等，根据机械能守恒定
律可知ΔE ＝－ΔE ，即(m＋3m)v2＝3mgh－mgh，解得v＝，b球落地时，a球高度为h，之后a球以v为初
k p
速度做竖直上抛运动，在这个过程中机械能守恒，mv2＝mgΔh，Δh＝＝，所以a球可能到达的最大高度为
1.5h，B正确。
8.(多选)如图所示，在倾角θ＝30°的光滑固定斜面上，放有两个质量分别为1 kg和2 kg的可视为质点的小
球A和B，两球之间用一根长L＝0.2 m的轻杆相连，小球B距水平地面的高度h＝0.1 m。两球从静止开始
下滑到光滑地面上，不计球与地面碰撞时的机械能损失，g取10 m/s2。则下列说法中正确的是( )
A．下滑的整个过程中A球机械能守恒 B．下滑的整个过程中两球组成的系统机械能守恒
更多资料添加微信号：hiknow_007 淘宝搜索店铺：乐知课堂C．两球在光滑水平面上运动时的速度大小为2 m/s D．下滑的整个过程中B球机械能的增加量为 J
【答案】 BD
【解析】当B球到达水平地面上时，杆对A球做负功，A球机械能不守恒，A错误；下滑的整个过程中，
对A、B组成的系统只有重力做功(杆的弹力对A、B做功的代数和为0)，系统机械能守恒，B正确；由机
械能守恒定律知，m gh＋m g(Lsin30°＋h)＝(m ＋m )v2，解得v＝ m/s，C错误；ΔE ＝m v2－m gh＝ J，D
B A A B B B B
正确。
9.为了研究过山车的原理，某兴趣小组提出了下列设想：取一个与水平方向夹角为37°、长为L＝2.0 m的
粗糙倾斜轨道AB，通过水平轨道BC与半径为R＝0.2 m的竖直圆轨道相连，出口为水平轨道DE，整个轨
道除AB段以外都是光滑的。其中AB与BC轨道以微小圆弧相接，如图所示。一个质量m＝1 kg的小物块
以初速度v＝5.0 m/s从A点沿倾斜轨道滑下，小物块到达C点时速度v ＝4.0 m/s。取g＝10 m/s2，sin37°＝
0 C
0.6，cos37°＝0.8。
(1)求小物块到达C点时对圆轨道压力的大小；
(2)求小物块从A到B运动过程中摩擦力所做的功；
(3)为了使小物块不离开轨道，并从轨道DE滑出，求竖直圆轨道的半径应满足什么条件？
【答案】 (1)90 N (2)－16.5 J (3)R≤0.32 m
【解析】(1)设小物块到达C点时受到圆轨道的支持力大小为F ，根据牛顿第二定律有，F －mg＝m，解得
N N
F ＝90 N。根据牛顿第三定律，小物块对圆轨道压力的大小为90 N。
N
(2)由于水平轨道BC光滑，无摩擦力做功，所以可将研究小物块从A到B的运动过程转化为研究从A到C
的过程。物块从A到C的过程中，根据动能定理有：
mgLsin37°＋W＝mv－mv
f
解得W＝－16.5 J。
f
(3)设小物块进入圆轨道到达最高点时速度大小为v，根据牛顿第二定律有：F ＋mg＝m，且F ≥0
N N
以C点所在水平面为零势能面，小物块从圆轨道最低点到最高点的过程中，根据机械能守恒定律有：
mv＝mv2＋mg·2R，联立得R≤，
更多资料添加微信号：hiknow_007 淘宝搜索店铺：乐知课堂解得R≤0.32 m。
10.某游乐场过山车简化为如图所示模型，光滑的过山车轨道位于竖直平面内，该轨道由一段斜轨道和与之
相切的圆形轨道连接而成，圆形轨道的半径为 R，可视为质点的过山车从斜轨道上某处由静止开始下滑，
然后沿圆形轨道运动。
(1)若要求过山车能通过圆形轨道最高点，则过山车初始位置相对于圆形轨道底部的高度至少要多少？
(2)考虑到游客的安全，要求全过程游客受到的支持力不超过自身重力的 7倍，过山车初始位置相对于圆形
轨道底部的高度不得超过多少？
【答案】 (1)2.5R (2)3R
【解析】 (1)设过山车总质量为M，从高度h 处开始下滑，恰能以速度v 通过圆形轨道最高点。
1 1
在圆形轨道最高点有：Mg＝M①
运动过程机械能守恒：Mgh＝2MgR＋Mv②
1
由①②式得：h＝2.5R，即高度至少为2.5R。
1
(2)设从高度h 处开始下滑，游客质量为m，过圆周最低点时速度为v，游客受到的支持力是N＝7mg。
2 2
最低点：N－mg＝m③
运动过程机械能守恒：mgh ＝mv④
2
由③④式得：h＝3R，即高度不得超过3R。
2
11.(2019·河北省唐山市高一下学期三校联考)山谷中有三块石头和一根不可伸长的轻质青藤，其示意图如下，
图中A、B、C、D均为石头的边缘点，O为青藤的固定点，h ＝1.8 m，h ＝4.0 m，x ＝4.8 m，x ＝8.0 m。
1 2 1 2
开始时，质量分别为M＝10kg和m＝2 kg的大、小两只滇金丝猴分别位于左边和中间的石头上，当大猴发
现小猴将受到伤害时，迅速从左边石头的A点水平跳至中间石头。大猴抱起小猴跑到C点，抓住青藤下端，
荡到右边石头上的D点，此时速度恰好为零。运动过程中猴子均可看成质点，空气阻力不计，重力加速度
g＝10 m/s2。求：
更多资料添加微信号：hiknow_007 淘宝搜索店铺：乐知课堂(1)大猴从A点水平跳离时速度的最小值；
(2)猴子抓住青藤荡起时的速度大小；
(3)猴子荡起时，青藤对猴子的拉力大小。
【答案】：(1)8 m/s (2)9 m/s (3)216 N
【解析】：猴子先做平抛运动，后做圆周运动，两运动过程机械能均守恒。寻求力的关系时要考虑牛顿第
二定律。
(1)设猴子从A点水平跳离时速度最小值为v ，根据平抛运动规律，有：h＝gt2①
min 1
x＝v t ②
1 min
由①②式，得v ＝8 m/s ③
min
(2)猴子抓住青藤后的运动过程中机械能守恒，设荡起时速度为v ，有：
C
(M＋m)gh＝(M＋m)v ④
2
v ＝＝m/s≈9 m/s ⑤
C
(3)设拉力为F ，青藤长度为L，在最低点，由牛顿第二定律得：
T
F －(M＋m)g＝ ⑥
T
由几何关系(L－h)2＋x＝L2 ⑦
2
故L＝10 m ⑧
综合⑤⑥⑧式并代入数据得F＝216 N
12.如图所示，“蜗牛”状轨道OAB竖直固定在水平地面上，与地面在B处平滑连接。其中“蜗牛”状轨
道由内壁光滑的半圆轨道OA和AB平滑连接而成，半圆轨道OA的半径R ＝0.6 m，半圆轨道AB的半径
1
R ＝1.2 m，水平地面BC长为x ＝11 m，C处是一个开口较大的深坑，一质量m＝0.1 kg的小球从O点沿
2 BC
切线方向以某一初速度进入轨道OA后，沿OAB轨道运动至水平地面，已知小球与水平地面间的动摩擦因
数μ＝0.4，g取10 m/s2。
更多资料添加微信号：hiknow_007 淘宝搜索店铺：乐知课堂(1)为使小球不脱离OAB轨道，小球在O点的初速度至少为多大？
(2)若小球在O点的初速度v＝6 m/s，求小球在B点对半圆轨道的压力大小；
(3)若使小球能落入深坑C，则小球在O点的初速度至少为多大？
【答案】 (1)6 m/s (2)6 N (3)8 m/s
【解析】(1)小球通过最高点A的临界条件是
mg＝m
解得小球过A点的最小速度v ＝2 m/s
A
设O点为零势能点，小球由O到A过程由机械能守恒定律得mg·2R＋mv＝mv
1
解得v＝6 m/s。
0
(2)设B点为零势能点，小球由O到B过程机械能守恒，则mgR＋mv2＝mv
2
解得v ＝2 m/s
B
在B点由牛顿第二定律得F －mg＝m
N
解得F ＝6 N
N
由牛顿第三定律得轨道受到的压力F ′＝F ＝6 N。
N N
(3)设小球恰能落入深坑C，即v ＝0时初速度最小，小球由O到C过程由动能定理得
C
mgR－μmgx ＝0－mv′2
2 BC
解得v′＝8 m/s>v＝6 m/s，则假设成立，小球在O点的速度至少为8 m/s。
0
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