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房山区 2023-2024 学年度第一学期期末检测试卷
高三数学
本试卷共6页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无
效.考试结束后，将答题卡交回，试卷自行保存.
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 在复平面内，若复数 对应的点为 ，则 （ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量 ， ，且 与 的夹角为 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
4. 的展开式中的常数项是（ ）
A. B. C. D.
的
5. 已知 ， 为非零实数，且 ，则下列结论正确 是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知直线 与圆 相切，则实数 （ ）
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
7. 已知函数 满足 ，且在 上单调递减，对于实数a，b，则“ ”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 保护环境功在当代，利在千秋，良好的生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系社会发展的潜力和
后劲.某工厂将生产产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量 （单位：毫
米/升）与过滤时间 （单位：小时）之间的函数关系为 ，其中 为常数， ， 为
原污染物数量.该工厂某次过滤废气时，若前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉 ，那么再继续过
滤3小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的（参考数据： ）（ ）
A. B. C. D.
9. 已知双曲线C： 的左、右焦点分别为 ， ， 为双曲线C左支上一动点，
为双曲线C的渐近线上一动点，且 最小时， 与双曲线C的另一条渐近线平行，则双曲线
C的方程可能是（ ）
.
A B.
C. D.
10. 数学家祖冲之曾给出圆周率 的两个近似值：“约率” 与“密率” .它们可用“调日法”得到：
称小于3.1415926的近似值为弱率，大于3.1415927的近似值为强率.由于 ，取3为弱率，4为强率，计算得 ，故 为强率，与上一次的弱率3计算得 ，故 为强率，继续
计算，….若某次得到的近似值为强率，与上一次的弱率继续计算得到新的近似值；若某次得到的近似值为
弱率，与上一次的强率继续计算得到新的近似值，依此类推.已知 ，则 （ ）
A. 8 B. 7 C. 6 D. 5
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 函数 的定义域是______.
12. 记 为等差数列 的前 项和，已知 ， ，则 ______.
13. 在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ，则 ______.
14. 已知平面直角坐标系中，动点 到 的距离比 到 轴的距离大2，则 的轨迹方程是
______.
15. 如图，在棱长为 的正方体 中，点 是线段 上的动点.给出下列结论：
① ；
② 平面 ；
③直线 与直线 所成角的范围是 ；
④点 到平面 的距离是 .
其中所有正确结论的序号是______.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 如图，在四棱锥 中， 为等腰三角形， ， ，底面 是正方
形， ， 分别为棱 ， 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求 与平面 所成角的正弦值.
条件①： ；
条件②： .
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
17. 已知函数 的图象上所有点向右平移 个单位长度，所得函数图象关
于原点对称.
（1）求 的值；
（2）设 ，若 在区间 上有且只有一个零点，求 的取值范围.
18. 某移动通讯公司为答谢用户，在其APP上设置了签到翻牌子赢流量活动.现收集了甲、乙、丙3位该公
的
司用户2023年12月1日至7日获得 流量（单位：MB）数据，如图所示.的
（1）从2023年12月1日至7日中任选一天，求该天乙获得流量大于丙获得流量 概率；
（2）从2023年12月1日至7日中任选两天，设 是选出的两天中乙获得流量大于丙获得流量的天数，
求 的分布列及数学期望 ；
（3）将甲、乙、丙3位该公司用户在2023年12月1日至7日获得流量的方差分别记为 ， ， ，试
比较 ， ， 的大小（只需写出结论）.
19. 设椭圆 ： 的左、右顶点分别为 ， ，右焦点为 ，已知 ，离心
率为 .
（1）求椭圆 的标准方程；
的
（2）已知点 是椭圆 上 一个动点（不与顶点重合），直线 交 轴于点 ，若 的面积是
面积的4倍，求直线 的方程.
20. 已知函数 .
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）当 时，求函数 的单调递增区间；（3）若函数 在区间 上只有一个极值点，求 的取值范围.
21. 若无穷数列 满足： ，对于 ，都有 （其中 为常数），则称
具有性质“ ”.
（1）若 具有性质“ ”，且 ， ， ，求 ；
（2）若无穷数列 是等差数列，无穷数列 是公比为2的等比数列， ， ，
，判断 是否具有性质“ ”，并说明理由；
（3）设 既具有性质“ ”，又具有性质“ ”，其中 ， ， ，求证：
具有性质“ ”.房山区 2023-2024 学年度第一学期期末检测试卷
高三数学
本试卷共6页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无
效.考试结束后，将答题卡交回，试卷自行保存.
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】计算出集合 后由交集定义运算可得.
【详解】 ，故 .
故选：C.
2. 在复平面内，若复数 对应的点为 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数的几何意义可得出复数 ，再利用复数的乘法可求得 的值.
【详解】在复平面内，若复数 对应的点为 ，由复数的几何意义可得 ，
因此， .
故选：A.
3. 已知向量 ， ，且 与 的夹角为 ，则 的值为（ ）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先表示出 ，然后根据 求解出 的值.
【详解】因为 ， ，
所以 ，所以 ，
解得 或 （舍去），
故选：B.
4. 的展开式中的常数项是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】写出二项式展开式通项，令 的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得解.
【详解】 的展开式通项为 ，
令 ，可得 ，
因此，展开式中的常数项为 .
故选：B.
5. 已知 ， 为非零实数，且 ，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D【解析】
【分析】对A、B、C举反例即可得，对D作差计算即可得.
【详解】对A：若 ，则 ，故错误；
对B：若 ，则 ，故错误；
对C：若 ，则 ， ，左右同除 ，有 ，故错误；
对D：由 且 ， 为非零实数，则 ，即 ，故正确.
故选：D.
6. 已知直线 与圆 相切，则实数 （ ）
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】利用圆心到直线的距离等于圆的半径，可求得实数 的值.
【详解】圆 的圆心为 ，半径为 ，
因为直线 与圆 相切，则 ，即 ，解得 或 .
故选：D.
7. 已知函数 满足 ，且在 上单调递减，对于实数a，b，则“ ”是“
”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，可得函数 是R上的偶函数，利用充分条件、必要条件的定义，结合偶函数性质及单调性判断即得.
【详解】由函数 满足 ，得函数 是R上的偶函数，而 在 上单调递减，
因此 ，
所以“ ”是“ ”的充要条件.
故选：C
8. 保护环境功在当代，利在千秋，良好的生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系社会发展的潜力和
后劲.某工厂将生产产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量 （单位：毫
米/升）与过滤时间 （单位：小时）之间的函数关系为 ，其中 为常数， ， 为
原污染物数量.该工厂某次过滤废气时，若前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉 ，那么再继续过
滤3小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的（参考数据： ）（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可得 ，解得 ，从而求得关于残留数量与过滤时间的函数关系
式，再将 代入即可求得答案.
【详解】因为前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉 ，所以 ，即 所以
．
再继续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为．
故选：A.
9. 已知双曲线C： 的左、右焦点分别为 ， ， 为双曲线C左支上一动点，
为双曲线C的渐近线上一动点，且 最小时， 与双曲线C的另一条渐近线平行，则双曲线
C的方程可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用双曲线定义确定 最小时，点 的位置，进而求出 的关系即
得.
【详解】双曲线C： 的渐近线为 ，由对称性不妨令点 在第二象限，
由双曲线定义得 ，当且仅当 为线段 与双曲线的交点时
取等号，
因此 的最小值为 的最小值与 的和，显然当 与渐近线 垂直时，
取得最小值，而 平行于渐近线 ，于是双曲线的两条渐近线互相垂直，即 ，则双曲线 的渐近线方程为 ，显然选项ABD不满足，C满足，
所以双曲线C的方程可能是 .
故选：C
10. 数学家祖冲之曾给出圆周率 的两个近似值：“约率” 与“密率” .它们可用“调日法”得到：
称小于3.1415926的近似值为弱率，大于3.1415927的近似值为强率.由于 ，取3为弱率，4为强
率，计算得 ，故 为强率，与上一次的弱率3计算得 ，故 为强率，继续
计算，….若某次得到的近似值为强率，与上一次的弱率继续计算得到新的近似值；若某次得到的近似值为
弱率，与上一次的强率继续计算得到新的近似值，依此类推.已知 ，则 （ ）
A. 8 B. 7 C. 6 D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意不断计算即可解出．
【详解】因为 为强率，由 可得， ，即 为强率；
由 可得， ，即 为强率；
由 可得， ，即 为强率；
由 可得， ，即 为强率；由 可得， ，即 为弱率，所以 ，
故选：B.
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 函数 的定义域是______.
【答案】
【解析】
【分析】由真数大于零及分母不等于零计算即可得.
【详解】由题意可得 、 ，故 且 ，
故该函数定义域为 .
故答案为： .
12. 记 为等差数列 的前 项和，已知 ， ，则 ______.
【答案】
【解析】
【分析】由等差数列及其前 项和的性质计算即可得.
【详解】设 ，则 ，
即 ，故 .
故答案为： .
13. 在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ，则 ______.【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式求解即得.
【详解】在 中，由 及正弦定理，得 ，
则 ，整理得 ，而 ，
因此 ，又 ，所以 .
故答案为：
14. 已知平面直角坐标系中，动点 到 的距离比 到 轴的距离大2，则 的轨迹方程是
______.
【答案】 或
【解析】
【分析】设出点 的坐标，利用已知列出方程化简即得.
【详解】设点 ，依题意， ，即 ，整理得 ，
的
所以 轨迹方程是 或 .
故答案为： 或
15. 如图，在棱长为 的正方体 中，点 是线段 上的动点.给出下列结论：
① ；
② 平面 ；
③直线 与直线 所成角的范围是 ；④点 到平面 的距离是 .
其中所有正确结论的序号是______.
【答案】①②④
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系后逐个分析即可得.
【详解】
以 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则有 、 、 、 、 、 、
、 ，
则 、 、 、 、
、 、 ，
设 ， ，则 ，
，故 ，故①正确；
设平面 的法向量为 ，则有 ，即 ，取 ，则 ，
有 ，故 ，又 平面 ，则 平面 ，故②正确；
当 时，有 ，此时 ，即 ，
即此时直线 与直线 所成角为 ，故③错误；
由 ， ，
则 ，故④正确.
故答案为：①②④.
【点睛】关键点睛：对空间中线上动点问题，可设出未知数表示该动点分线段所得比例，从而用未知数的
变化来体现动点的变化.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 如图，在四棱锥 中， 为等腰三角形， ， ，底面 是正方
形， ， 分别为棱 ， 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求 与平面 所成角的正弦值.
条件①： ；
条件②： .注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由线面平行的判定定理即可得；
（2）选①，由题意及 去推导得到 、 、 两两垂直，即可建立空间直角坐标系解决问
题；选②，由题意及 结合勾股定理的逆定理去推导得到 、 、 两两垂直，即可建立
空间直角坐标系解决问题.
【小问1详解】
连接点 与 中点 、连接 ，又 ， 分别为棱 ， 的中点，
故 、 ，又底面 是正方形，
故 、 ，故 且 ，
故四边形 为平行四边形，故 ，
又 平面 ， 平面 ，故 平面 ；
【小问2详解】
选条件①： ，由 且 为等腰三角形，故 ，又 ，
故 ，有 ，
由 ， ， 、 平面 ， ，
故 平面 ，又 平面 ，故 ，
故 、 、 两两垂直，故可以 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
有 、 、 、 、 、 ，
则 、 、 ，
令平面 的法向量为 ，
则有 ，即 ，令 ，则 ，
则 ，
故 与平面 所成角的正弦值为 .
条件②： ，
由 且 为等腰三角形，故 ，又 ，
故 ，有 ，
由 ，则 ，故 ，又 ，
故 ，又 ， 、 平面 ， ，
故 平面 ，又 平面 ，故 ，故 、 、 两两垂直，故可以 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
有 、 、 、 、 、 ，
则 、 、 ，
令平面 的法向量为 ，
则有 ，即 ，令 ，则 ，
则 ，
故 与平面 所成角的正弦值为 .
17. 已知函数 的图象上所有点向右平移 个单位长度，所得函数图象关
于原点对称.
（1）求 的值；
（2）设 ，若 在区间 上有且只有一个零点，求 的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】（1）求出平移后所得函数的解析式，根据正弦型函数的奇偶性，结合 的取值范围可求得 的值；
（2）利用三角恒等变换化简得出 ，由 可得 ，结合题意可得出关
于 的不等式，解之即可.
【小问1详解】
解：将函数 的图象上所有点向右平移 个单位长度，
可得到函数 ，
由题意可知，函数 为奇函数，则 ，
可得 ，又因为 ，则 .
【小问2详解】
解：由（1）可知， ，
则 ，
因为 ，则 ，
由 ，可得 ，
因为 在区间 上有且只有一个零点，则 ，解得 .
因此，实数 的取值范围是 .18. 某移动通讯公司为答谢用户，在其APP上设置了签到翻牌子赢流量活动.现收集了甲、乙、丙3位该公
司用户2023年12月1日至7日获得的流量（单位：MB）数据，如图所示.
的
（1）从2023年12月1日至7日中任选一天，求该天乙获得流量大于丙获得流量 概率；
（2）从2023年12月1日至7日中任选两天，设 是选出的两天中乙获得流量大于丙获得流量的天数，
求 的分布列及数学期望 ；
（3）将甲、乙、丙3位该公司用户在2023年12月1日至7日获得流量的方差分别记为 ， ， ，试
比较 ， ， 的大小（只需写出结论）.
【答案】（1）
（2） 的分布列见解析，
（3）
【解析】
【分析】（1）利用古典概型计算公式进行求解即可；
（2）利用古典概型计算公式，结合数学期望公式进行求解即可.
（3）根据数据的集中趋势进行判断即可.
【小问1详解】
由图可知，七天中只有1日、2日乙获得流量大于丙获得流量，
所以该天乙获得流量大于丙获得流量 概率为 ；
的
【小问2详解】由（1）可知七天中只有1日、2日乙获得流量大于丙获得流量，
因此 ，
， ， ，
所以 的分布列如下图所示：
0 1 2
；
【小问3详解】
根据图中数据信息，甲、乙七天的数据相同，都是1个50,2个30,1个10,3个5；而且丙的的数据最分散，
所以， .
19. 设椭圆 ： 的左、右顶点分别为 ， ，右焦点为 ，已知 ，离心
率为 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）已知点 是椭圆 上的一个动点（不与顶点重合），直线 交 轴于点 ，若 的面积是
面积的4倍，求直线 的方程.
【答案】19.
20.
【解析】
【分析】（1）由题意计算即可得；（2）设出直线，联立曲线，得到 、 两点的纵坐标，结合面积公式计算即可得.
【小问1详解】
由 ， ，解得 ， ，故 ，
即椭圆 的标准方程为 ；
【小问2详解】
由椭圆 的标准方程为 ，则 、 、 ，
由题意可得直线 斜率存在且不为 ，设 ，
令 ，则 ，故 ，
联立 ，消去 得 ，
即 ，故 或 ，
由 ，故 ，
则 ，
又 ，即 ，
即 ，
若 ，则 ，即 ，即 ，即 ，则 ，
若 ，则 ，即 ，不符，故舍去，
即 ，故 ，
即直线 的方程为 .
20. 已知函数 .
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）当 时，求函数 的单调递增区间；
（3）若函数 在区间 上只有一个极值点，求 的取值范围.
【答案】（1）
（2） 、
（3）
【解析】
【分析】（1）当 时，求出 、 的值，利用导数的几何意义可求得所求切线的方程；（2）当 时，求出 ，利用函数的单调性与导数的关系可求得函数 的单调递增区间；
（3）令 ，分析可知，函数 在 上有且只有一个异号零点，对实数 的取值进
行分类讨论，结合题意可得出关于实数 的不等式，综合可得出实数 的取值范围.
【小问1详解】
解：当 时， ，则 ，所以， ， ，
故当 时，曲线 在点 处的切线方程为 ，即 .
【小问2详解】
解：当 时， ，该函数的定义域为 ，
，
由 ，即 ，解得 或 ，
因此，当 时，函数 的单调递增区间为 、 .
【小问3详解】
解：因为 ，则 ，
令 ，因为函数 在 上有且只有一个极值点，
则函数 在 上有一个异号零点，
当 时，对任意的 ， ，不合乎题意；
当 时，函数 在 上单调递增，
因为 ，只需 ，合乎题意；当 时，函数 的图象开口向下，对称轴为直线 ，
因为 ，只需 ，不合乎题意，舍去.
的
综上所述，实数 取值范围是 .
21. 若无穷数列 满足： ，对于 ，都有 （其中 为常数），则称
具有性质“ ”.
（1）若 具有性质“ ”，且 ， ， ，求 ；
（2）若无穷数列 是等差数列，无穷数列 是公比为2的等比数列， ， ，
，判断 是否具有性质“ ”，并说明理由；
（3）设 既具有性质“ ”，又具有性质“ ”，其中 ， ， ，求证：
具有性质“ ”.
【答案】（1）
（2） 不具有性质“ ”，理由见解析
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由 具有性质“ ”，可得当 时， ，结合题意计算即可得；
（2）由题意计算出 通项公式后，检验 是否恒等于 即可得；（3）借助 既具有性质“ ”，又具有性质“ ”，则当 时，有 ，
，则有 ， ，通过运算得到 ，从而可验
证对任意的 时，是否有 即可得.
【小问1详解】
由 具有性质“ ”，则当 时， ，
故 ， ， ，又 ， ，
故 ，
即 ；
【小问2详解】
不具有性质“ ”，理由如下：
设 ， ，由 ， ，
即有 ，解得 ，故 ， ，
则 ，有 ，
则 ，不恒等于 ，故 不具有性质“ ”；
【小问3详解】
由 既具有性质“ ”，又具有性质“ ”，即当 时，有 ， ，
则有 ， ，
由 ，故 ，
故 ，即 ，由 ， ，则 ，
当 ，即 时，有 ，
即对任意的 时，有 ，即 具有性质“ ”.
【点睛】关键点睛：本题关键点在于通过对数列新定义的分析，从而得到 ， ，并由此得
到 ， ，从而得出 .
