专题5.4《一元函数的导数及其应用》单元测试卷（A卷基础篇）解析版_E015高中全科试卷_数学试题_选修2_01.同步练习_同步练习（第四套）

专题5. 4《一元函数的导数及其应用》单元测试卷（A卷基础篇）
（新教材人教A版,浙江专用）
参考答案与试题解析
第Ⅰ卷（选择题）
一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）
1．（2020·全国高二课时练习）已知函数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
， ，因此， .
故选：D.
2．（2020·河北高三月考）函数 的图象在点 处的切线斜率为（ ）
A．2 B．-2 C．4 D．
【答案】D
【解析】
因为 ，所以 ， .
故选：D
3．（2020·云南昆明市·昆明一中高三其他模拟（理））函数 的单调递减区间是（
）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】
函数的定义域是 ， ，
令 ，解得 ，
故函数 在 上单调递减，
选：D.
4．（2020·北京朝阳区·高二期末）曲线 在点 处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
， ，根据导数的几何意义可知曲线在 处的切线的斜率 ，所以曲线
在点 处的切线方程为 ，即 .
故选：A
5．（2020·海口市灵山中学高三月考）已知函数 的图象如图所示（其中 是函数 的导
函数），下面四个图象中 的图象大致是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
由函数 的图象可知：
当 时， ， ，此时 单调递增；
当 时， ， ，此时 单调递减；
当 时， ， ，此时 单调递减；
当 时， ， ，此时 单调递增．
故选：C
6．（2020·厦门市湖滨中学高三月考）已知函数 在区间 上单调递增，则 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在区间 上恒成立，则 在区间 上恒成立
即
故选：A
7．（2020·洛阳市第一高级中学高三月考（文））已知函数 的导函数为 ，且满足关系式
，则 的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
依题意 ，令 得 ， ，故选D.
8．（2020·全国高三专题练习（文））已知函数f(x)的图象如图所示，下列数值的排序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由图可知： ，
即 .
故选：B
9．（2020·全国高三专题练习（文））函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图所示，则下列结论成立的是
（ ）
A．a>0，b<0，c>0，d>0 B．a>0，b<0，c<0，d>0
C．a<0，b<0，c>0，d>0 D．a>0，b>0，c>0，d<0
【答案】A
【解析】
由图像知f(0)＝d>0，因为 有两个不相等的正实根 ，且 在
单调递增，在 上单调递减，
所以a>0，
所以b<0，c>0，
所以a>0，b<0，c>0，d>0.
故选：A
10．（2020·浙江温州市·高一期中）已知实数x、y满足 ，则（ ）
A． B． C． D．x、y大小不确定
【答案】C【解析】
设 ，
所以 ，
所以函数 在 上单调递增，
由题得 ，
所以 .
故选：C
第Ⅱ卷（非选择题）
二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）
11．（2020·全国高二课时练习）若函数 在 内是增函数，则实数b的取值范围是
_________．
【答案】
【解析】
由题意得 在 内恒成立，
即 在 内恒成立，
所以 ．
故答案为：
12．（2020·海口市第四中学高三期中）若函数 在 处取得极值，则 ________.
【答案】
【解析】
由题意，函数 ，可得 ，
因为 是函数 的极值点，可得 ，
所以 ，解得 .故答案为： .
13．（2020·湖南长沙市·雅礼中学高二期中）曲线 的一条切线的斜率为2，则切点坐标为
_________．
【答案】
【解析】
由 ，得 ，
设切点坐标为 ， ，
则 ，解得 ，
．
则切点坐标为 ．
故答案为： ．
14．（2018·全国高二课时练习）把长为60m的铁丝围成矩形,当长为___m,宽为___m时,矩形的面积最大.
【答案】15 15
【解析】
设矩形的长为xm,则宽为(30-x)m,
矩形面积S=30x-x2(0<x<30),
由S′=30-2x=0,得x=15,易知x=15时,S取得最大值.
故答案为:15；15.
15．（2018·全国高二单元测试）函数 在 上的最小值为__________,此时
__________.
【答案】
【解析】由题得
令 得函数在(2,+∞)单调递增,
令 得函数在(0,2)单调递减,
所以当x=2时，函数取最小值4.
故答案为(1). (2).
(可利用基本不等式)
16．（2020·全国高三专题练习）已知函数 （ 为自然对数的底数）的图象恒
过定点 ，
（1）则点 的坐标为__________；
（2）若 在点 处的切线方程 ，则 __________.
【答案】
【解析】
当 时， ， 点 的坐标为 ；
， ，解得： .
故答案为： ； .
17．（2011·吉林长春市·高一月考）已知函数 则函数的最大值为______，最小值为
_____
【答案】（1） .
【解析】
∵函数y ，（x∈[3，7]），∴
当x∈[3，7]时，f′（x）＜0恒成立
故函数y ，x∈[3，7]为减函数
故当x＝3时函数取最大值 ；当x＝7时函数取最小值 ．
故答案为 ．
三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分）
18．（2018·甘肃武威市·武威十八中高二期末（文））设 与 是函数
的两个极值点.
（1）试确定常数 和 的值；
（2）求函数 的单调区间；
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
（1）
由题意可知：
（2）19.（2020·西宁市海湖中学高二月考（文））已知函数f(x)=x3-3x2-9x+2.
f x
（1） 求函数 的单调区间；
f x
（2） 求函数 在区间[-2，2]上的最小值.
【答案】（1）f(x)的单调递增区间是(-∞，-1)，(3，+∞)；单调递减区间是(-1，3)；（2）-20.
【解析】
f′(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3)，
令f′(x)=0，得x=-1或x=3，
当x变化时，f′(x)，f(x)在区间R上的变化状态如下：
x ,1 1 1,3 3 3,
f 'x + 0 - 0 +
f x 极大 极小
  
所以f(x)的单调递增区间是(-∞，-1)，(3，+∞)；单调递减区间是(-1，3)；
（2）解：因为f(-2)=0，f(2)=-20，
再结合f(x)的单调性可知，
函数f(x)在区间[-2，2]上的最小值为-20.
f(x)＝x3 3x
20．（2020·四川省南充市白塔中学高二开学考试（文））已知函数 ．
f(x) [﹣2，1]
（1）求函数 在 上的最大值和最小值．
P(2，﹣6) y＝f x
（2）过点 作曲线 的切线，求此切线的方程．
【答案】（1） f x 的最小值是-2， f x 的最大值是2；（2） 3x y 0 或 24x y540
【解析】f x＝x3 3x
（1） ，
f 'x＝3x2 3＝3x1x1
，
f 'x＞0
令 ，解得： x＞1 或x＜-1，
f 'x＜0
1＜x＜1
令 ，解得： ，
f x [﹣2，﹣1) (﹣1，1]
故 在 递增，在 递减，
f(2)＝-2 f(1)＝2 f 1＝-2
而 ， ， ，
 f x f x
的最小值是-2， 的最大值是2；
f 'x＝3x2 3

（2） ，
(t，t﹣3 3t)
设切点坐标为 ，
y(t3 3t)＝3(t2 1)(xt)
则切线方程为 ，
P(2，-6)
∵切线过点 ，
6(t3 3t)＝3(t2 1)(2t)
∴ ，
t33t2＝0
化简得 ，
∴t＝0或t＝3．
3x y＝0 24x y54＝0
∴切线的方程： 或 ．
f(x)ln(x1) g(x) x2 axb x0
21．（2020·旬邑县中学高二月考（理））已知函数 与函数 在 处
有公共的切线.
（1）求实数a，b的值；
F(x) f(x)g(x) F(x)
（2）记 ，求 的极值.
a1 b0 0
【答案】（1） ， ．（2）极大值为 ；无极小值．【解析】
1
fx
gx2xa
（1） x1， ，
f0 g0 f 0 g0
由题意得 ， ，
a1 b0
解得 ， .
Fx f xgxlnx1x2 x
（2） ，
1
x2x3
Fx 2x1 (x1)
x1 x1 ，
Fx Fx
， 的变化情况如下表：
x
1,0
0
0,
Fx
+ 0 -
Fx
极大值
 
Fx F00
由表可知， 的极大值为 ，无极小值.
f(x) x3 ax2 bxc
22．（2017·内蒙古巴彦淖尔市·巴彦淖尔中学高二期中（文））已知函数 在
2
x
3与x1时都取得极值．
a,b f(x)
（1）求 的值与函数 的单调区间；
x[1,2] f(x)c2 c
（2）若对 ,不等式 恒成立，求 的取值范围．
1 2 2
a ,b2  
【答案】解：（1） 2 ，递增区间是（﹣∞， 3 ）和（1，+∞），递减区间是（ 3 ，1）．
c1,或c2
（2）【解析】
f x x3ax2 bxc
'
（1） ，f （x）＝3x2+2ax+b
 f ' 

 2

 12  4 ab0 
a
1
由  3 9 3 解得， 2


f '132ab0  b2
'
f（x）＝3x2﹣x﹣2＝（3x+2）（x﹣1），函数f（x）的单调区间如下表：
2 2 2
x （﹣∞, ）  （ ，1） 1 （1，+∞）
3 3 3
f'（x） + 0 ﹣ 0 +
f（x） 极大值 极小值
  
2 2
 
所以函数f（x）的递增区间是（﹣∞， 3 ）和（1，+∞），递减区间是（ 3 ，1）．
1
f x x3 x2 2xc，x1，2
（2）因为 2 ，根据（1）函数f（x）的单调性，
2 2
 
得f（x）在（﹣1， 3 ）上递增，在（ 3 ，1）上递减，在（1，2）上递增，
2 22 22
   2c c
所以当x 3时，f（x） 27 c为极大值，而f（2）＝ 27 ，所以f（2）＝2+c为最大值．
c2 c2
要使f（x）＜ 对x∈[﹣1，2]恒成立，须且只需 ＞f（2）＝2+c．
解得c＜﹣1或c＞2．