文档内容
高一数学期中模拟试题
（A 基础卷）
班级_______ 姓名________ 考号_________
一、单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。每小题列出的四个选项中只有一
项是最符合题目要求的）
1．复数 满足 为虚数单位 ，则 的模为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【详解】
由 得 ，从而
2．已知向量 ， 满足 ， ，且 与 的夹角为 ，则向量 等于（ ）
A． B．
C． D．1
【答案】D
【详解】
由条件可得
故选：D
3．l，m，n是三条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若 ， ， ，则
B．若 ， ，则
C．若 ， ， ，则
D．若 ， ，则
【答案】A
【详解】如下图所示，在长方体 中，
令 为平面 ， 为平面 ， 为平面 ，易知A正确；
令m为AD，n为DC，l为 ，易知B错误；
令 为平面 ， 为平面 ，m为AD，n为 ，易知C错误；
令 为平面 ， 为平面AC，l为 ，易知D错误.
故选：A
4．如图所示，已知 是圆 的直径，点 是半圆弧的两个三等分点， ，则 （
）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：连接 ，因为 是圆 的直径，点 是半圆弧的两个三等分点，
所以 ，因为 ，
所以 是等边三角形，
所以四边形 是菱形，
所以
故选：D
5．“ ”是“复数 在复平面内对应的点位于第四象限”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】
若复数 在复平面内对应的点位于第四象限，则 ，解得 ，
因为 ，
因此，“ ”是“复数 在复平面内对应的点位于第四象限”的充分不必要条
件.
故选：A.
6．在 中，若 ， ， ，则 （ ）
A． B．4 C． D．3
【答案】A
【详解】因为 ，
所以 ，
又 ， ，
由余弦定理得： ，
，
所以 ，
故选：A
7．如图所示，在平面四边形 中， ， ， .若 ，
，则 的长为（ ）
A． B．2 C．3 D．
【答案】C
【详解】
在 中，由余弦定理得： ，又 ，
∴ ，
设 则 ，∴ ，
在 中，由正弦定理： ，故 .
故选：C.
8．《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马.若四棱锥 为阳
马，已知 面 ， ，四棱锥 的顶点都在球 的球面上，则球 的表
面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：由题意，因为 面 ，所以 ， ，又 ， ，所以将
四棱锥 放置在如图所示的正方体中，
则正方体的外接球即为四棱锥 的外接球，
所以四棱锥 的外接球直径为 ，
所以球 的表面积为 ，
二、多项选择题（本大题共4题，每小题5分，共计20分。每小题列出的四个选项中有多项
是符合题目要求的，多选或错选不得分）
9．设a，b是空间中不同的直线， 是不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】AD
【详解】
在选项A中， ，由线面平行判定定理得， ，故A项正确；
在选项B中， ，则a与b平行或异面，故B项错误；
在选项C中， ，则 与 相交或平行，故C项错误；
在选项D中，由面面平行的性质定理得D项正确．
故选：AD﹒
10．已知 是虚数单位， 是复数，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 在复平面上对应的点位于第一象限 B． 在复平面上对应的点位于第二象限
C． D．
【答案】BD
【详解】
由 ，
则 ，
所以 在复平面上对应的点为 ，
即 在复平面上对应的点位于第二象限.
所以 .
故选：BD
11．在 中， ， ， ，则（ ）A． B． 的面积为
C． 外接圆直径是 D． 内切圆半径是
【答案】ACD
【详解】
解： ，
由于在 中，则 ，
故 ，A正确；
，B错误；
设 外接圆半径为 ， ，C正确；
设 内切圆半径为 ，则 ，
即 ，解得 ，D正确.
故选：ACD.
12．如图，在正三棱柱ABC﹣ABC 中，AB=AA=1，P为线段BC 上的动点，则下列结论中正确的是（
1 1 1 1 1 1
）A．点A到平面ABC的距离为 B．平面APC与底面ABC的交线平行于AP
1 1 1
C．三棱锥P﹣ABC的体积为定值 D．二面角A-BC-A的大小为
1 1
【答案】BC
【详解】
A选项，四边形 是正方形，所以 ，所以 ，
但 与 不垂直，所以 与平面 不垂直，所以 到平面 的距离不是 ，A选项错误.
B选项，根据三棱柱的性质可知，平面 平面 ，所以 平面 ，
设平面 与平面 的交线为 ，根据线面平行的性质定理可知 ，B选项正确.
C选项，由于 平面 , 平面 ，所以 平面 .所以 到平面 的距
离为定值，所以三棱锥 的体积为定值，C选项正确.
D选项，设 是 的中点，由于 ，所以 ，所以二面角
的平面角为 ，由于 ，所以 ，D选项错误.
故选：BC三、填空题（每小题5分，共计20分）
13．已知 ，复平面内表示复数 的点在虚轴上，则m=_____________．
【答案】 或6
【详解】
复数对应点的坐标为 ， ，
若点在虚轴上，
则 ，解得 或 ．
故答案为： 或6.
14．已知向量 与 的夹角为 ， ，则 在 方向上的投影为______．
【答案】
【详解】
在 方向上的投影为 ．
故答案为：
15．已知三棱锥 的各棱长均为1，且其四个顶点都在球O的球面上．若过球心О的一个截面如图
所示，则该截面中三角形（阴影部分）的面积为______．【答案】
【详解】
解：根据题意，过该球球心的一个截面经过正三棱锥的一条棱，
由球的对称性可得球心在该正三棱锥的高上，
所以截面是三棱锥的一条棱与高线所在的平面，故截面中三角形即为这条棱和与其相对棱的中点构成的三
角形，
如图，在正三棱锥 ，设截面中的三角形为 ，其中 为棱 的中点，
因为三棱锥 的各棱长均为1，
所以 ，
取 的中点 ，连接 ，则 为等腰三角形 底边 上的高，
，
所以 ，
即该截面中三角形（阴影部分）的面积为 .
故答案为： .16．在三棱锥 中， 底面 ， ， ， ，则三棱锥 外接球
的表面积为___________.
【答案】
【详解】
如下图所示：
圆柱 的底面圆直径为 ，母线长为 ，则 的中点 到圆柱底面圆上每点的距离都相等，
则 为圆柱 的外接球球心，且有 ，
底面 ，可将三棱锥 置于圆柱 内，其中圆 为 的外接圆，由余弦定理可得 ， ，则 ，
则 外接圆的直径 ，则 ，
所以三棱锥 外接球的半径 ，
故三棱锥 外接球的表面积为 .
四、解答题（解答题需写出必要的解题过程或文字说明，共70分）
17．设 ．
（1）求证：
（2）求证：
（3）在复数范围内，解方程
【答案】
（1）因为
所以
（2）因为所以
所以
（3）令 则
故 故
故
故 或 或
18．如图，在 ABCD中，若 ，
▱
（1）当 ， 满足什么条件时， ?
（2）当 ， 满足什么条件时， ?
【答案】（1）根据题意， ，
，即 ，即平行四边形的对角线的互相垂直
此时四边形ABCD为菱形，从而可得
时，
（2）由（1）可得，，即 ，此时四边形ABCD为矩形
从而可得
时， .
19．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ．
（1）求角 ；
（2）若 ， 的面积为 ，求 的周长．
【答案】（1）因为 ，所以 ，
化简得 ，所以 ．
因为 ，所以
（2）因为 ， ， 的面积为 ，所以 ，得 ．
所以 ，整理得 ．
即 ，解得 ，
故 的周长为 ．
20．已知 是关于 的方程 的一个根，其中 为虚数单位．
（1）求 的值；
（2）记复数 ，求复数 的模．
【答案】（1）解：知 是关于 的方程 的一个根，
所以 ，即 ，所以 ，解得 .
所以
（2）解：由（1）得复数 ，
所以
所以复数 的模为
21．如图，四面体 中， ，D在棱 上， ， ， ， ．
（1）证明 平面PBC；
（2）若 ，求四面体 的体积V．
【答案】（1）证明：连接PD
， ，
∴由余弦定理 ， ，又
平面PBC
（2）解：作 ，交AD于点O，
由 ， ， ．
平面
又
平面
，
则
22．如图，四棱锥 中， 平面 ，且四边形 中， ， ，二面
角 的大小为 ，且 ．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】（1）证明： 平面 ， 平面，
∵
∴
∵ ，
平面
平面 ，
平面 平面 .
（2） ， ， 二面角 的平面角即为
，
∵ 平面 ， 平面
∴
∵ ，
∴ ， ，
过 作 于点 ，由（1）中平面 平面 ，交线为 ，则 平面 ，连接
即为所求线面角，而 ，由勾股定理可得： ，在△CQM中，过点Q作QN⊥AC于点
N，则 ，因为 ，所以 ， 是等腰直角三角形，所以 ，
，由余弦定理得： ，由勾股定理得：
，
即 与平面 所成角正弦值为 ．
