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高一数学期中模拟试题
（B 能力卷）
班级_______ 姓名________ 考号_________
一、单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。每小题列出的四个选项中只有一
项是最符合题目要求的）
1．复数 的虚部是（ ）
A． B． C． D．
2．设向量 ， ，若 则实数 的值是（ ）
A． B．1 C．2 D．3
3．已知 是单位向量， 与 的夹角是 ，且 ， 则 =（ ）
A． B． C． D．
4．已知平面 与平面 交于直线 ，且直线 ，直线 ，且直线 ， ， 不重合，则下列命题错
误的是（ ）
A．若 ， ，且 与 不垂直，则
B．若 ， ，则
C．若 ， ，且 与 不平行，则
D．若 ， ，则
5．在长方体 中， ， ，则异面直线 与 所成角的正弦值
是（ ）A． B． C． D．
6． 中，角 所对的边分别为 .若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．若z是复数，且 ，则 的最大值是（ ）
A．12 B．8 C．6 D．3
8．已知球 的半径为 ， 三点在球 的球面上，球心 到平面 的距离为 ，
， ，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本大题共4题，每小题5分，共计20分。每小题列出的四个选项中有多项
是符合题目要求的，多选或错选不得分）
9．己知圆台的上底半径为1，下底半径为3，球O与圆台的两个底面和侧面都相切，则下列命题中正确的
是（ ）
A．圆台的高为4 B．圆台的母线长为4
C．圆台的表面积为 D．球O的表面积为
10．在 中，内角 所对的边分别为 ， 的面积为 ．下列与 有关的结论，正确
的是（ ）A．若 ， ， ，则 或
B．若 为锐角三角形，则
C．若 为 的外接圆半径，则
D．若 ， ，则 是直角三角形
11．已知向量 ，下列结论正确的是（ ）
A． 与 能作为一组基底
B．与 同向的单位向量的坐标为
C． 与 的夹角的正弦值为
D．若 满足 ，则
12．在正六棱锥 中，已知底面边长为1，侧棱长为2，则（ ）
A．
B．共有4条棱所在的直线与AB是异面直线
C．该正六棱锥的内切球的半径为
D．该正六棱锥的外接球的表面积为
三、填空题（每小题5分，共计20分）
13．已知复数 为纯虚数，则实数 ______.
14．已知平面向量 ， 的夹角为 ，且 ， ，则 ______.
15．如图，在 ABC中，点D在边AB上，CD垂直于BC，∠A=30°，BD=2AD， ，则 ABC的
△ △
面积为______.16．数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一.勒洛四面体是以正四面
体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分.如图，在勒洛四面体中，正四面体
ABCD的棱长为4，则该勒洛四面体内切球的半径是______.
四、解答题（解答题需写出必要的解题过程或文字说明，共70分）
17．(本小题10分)
已知复数 ， .
(1)求 ；
(2)复数 ， 对应的向量分别是 ， ，其中 为坐标原点，当 时，求 的值.
18．(本小题12分)
已知向量 .
(1)求向量 的夹角 ；
(2)求 的值.
19．(本小题12分)
如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PCD是正三角形，且与底面ABCD垂直，已知底面ABCD是菱形，
，M是PB的中点．(1)求证： ；
(2)求证：平面PAB⊥平面CDM；
(3)求四棱锥P－ABCD的体积．
20．(本小题12分)
如图，在一条东西方向的海岸线上的点C处有一个原子能研究所，海岸线北侧有一个小岛，岛上建有一个
核电站.该岛的一个端点A位于点C的正北方向 km处，另一个端点B位于点A北偏东30°方向，且与
点A相距10 km，研究所拟在点C正东方向海岸线上的P处建立一个核辐射监测站.
(1)若CP=4 km，求此时在P处观察全岛所张视角∠APB的正切值；
(2)若要求在P处观察全岛所张的视角最大，问点P应选址何处？
21．(本小题12分)
在△ 中，内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，已知__________.（在以下这三个条件中任选一个
填入上方的横线上作为已知条件，并解答下面两个问题，如果选择多个条件解答，按第一个解答计分）
① ；② ；③ （ 是锐角△ 的外接圆半径）.
(1)求 ；
(2)若 ，△ 的面积为 ，求△ 的周长.
22．(本小题12分)
如图，四棱锥 ，M、N分别是AB、PC的中点，底面ABCD为平行四边形(1)求证:MN//平面PAD;
(2)若MN=BC=4，PA= ，求异面直线PA与MN所成的角的大小.
