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期末模拟卷
（A 基础卷）
班级______ 姓名_______ 考号______
一、单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。每小题列出的四个选项中只有一
项是最符合题目要求的）
1．复数 （ 为虚数单位）的虚部为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【详解】
复数 的虚部是 .
故选：A
2．已知向量 ，那么向量 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：因为 ，所以 ；
故选：D
3． ， 是两个不同的平面， ， 是两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ）
A．如果 ， ， ， 是异面直线，那么
B．若 ， ， ，则
C．若 ， ，则
D．如果 ， ， ， 共面，那么
【答案】B
【详解】
对于A：如果 ， ， ， 是异面直线，那么 或 与 相交，A不正确；
对于B：若 ，则 ，使得
，则 ，使得
∴
∵ ，则
B正确；
对于C：若 ， ，则 ， 的位置关系为：平行或相交，C不正确；对于D：如果 ， ， ， 共面，则 ， 的位置关系：相交或平行，D不正确；
故选：B．
4．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的
数字记为b，其中 ，则“a＝b”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：甲乙猜数字时互不影响，故各有5种可能，故基本事件是 种，
则“a＝b”的基本事件有： ，故5种，
所以“a＝b”的概率为 ，
故选：C
5．在 中，已知 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：在 中，因为 ，即 ，
所以由正弦定理得： ,
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
故选：D
6．已知 ，向量 在向量 上的投影向量的模为 ，则 与 的夹角可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
解：记向量 与向量 的夹角为 ， ，
而 ，在 上的投影为 ，
在 上的投影为 ， ，
，
，
．
故选：B．
7．某中学从甲、乙两个班中各选出7名学生参加2022年“希望杯”全国数学邀请赛，他们取得成绩的茎
叶图如图，其中甲班学生成绩的中位数是84，乙班学生成绩的平均数是86，则xy的值为（ ）
A．36 B．12 C．10 D．24
【答案】D
【详解】
因为甲班学生成绩的中位数是84，
所以根据茎叶图可得 为中位数，
即 ，
解得 ．
又因为乙班学生成绩的平均数是86，
即 ，
解得 ，
故 .
故选：D．
8．中国古代数学名著《九章算术》的商功章记载了圆锥型几何体的体积公式，“水曰：下周自乘，以高
乘之三十六而一”，其意思是：已知圆锥的底面周长C，高h，那么圆锥的体积公式是 ，若一
圆锥的轴截面是边长为 的等边三角形，据依所给公式计算其体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为圆锥的轴截面是边长为 的等边三角形，
所以其底面直径 ，周长为 ，高 ，
故其体积为 .
故选：C
二、多项选择题（本大题共4题，每小题5分，共计20分。每小题列出的四个选项中有多项
是符合题目要求的，多选或错选不得分）
9．已知i为虚数单位，以下说法正确的是（ ）
A．
B．复数 的虚部为2
C．复数 在复平面对应的点在第一象限
D． 为纯虚数，则实数
【答案】AD
【详解】
, 为纯虚数，则 ,故A,D对.
复数 的虚部为 , ,对应的点为 ，不在第一象限，故B,C错误.
故选：AD
10．如图是某超市一年中各月份的收入与支出（单位：万元）情况的条形统计图．己知利润为收入与支出
的差，即利润=收入-支出，则下列说法不正确的是（ ）
A．利润最高的月份是2月份，且2月份的利润为40万元
B．利润最低的月份是5月份，且5月份的利润为10万元
C．收入最少的月份的利润也最少
D．收入最少的月份的支出也最少
【答案】ABC
【详解】在A中，利润最高的月份是3或10月份，且3或10月份的利润为15万元，故A错误；
在B中，利润最小的月份是8月份，且8月分的利润为5万元，故B错误；
在C中，收入最少的月份是5月份，但5月份的支出也最少，故5月分的利润不是最少，故C错误；
在D中，收入最少的月份是5月份，但5月份的支出也最少，故D正确．
故选：ABC．
11．从一批准备出厂的电视机中随机抽取10台进行质量检查，其中有1台是次品，若用C表示抽到次品
这一事件.则下列说法中不正确的是（ ）
A．事件C发生的概率为 B．事件C发生的频率为
C．事件C发生的概率接近 D．每抽10台电视机，必有1台次品
【答案】ACD
【详解】
事件C发生的频率为 ，由于只做了一次实验，故不能得到概率为 或概率接近 ；
当然每抽10台电视机，必有1台次品也不一定发生.
故B正确，ACD错误.
故选：ACD
12．如图所示，在正方体 中，O为DB的中点，直线 交平面 于点M，则下列结
论正确的是（ ）
A． ，M，O三点共线 B． 平面
C．直线 与平面 所成角的为 D．直线 和直线 是共面直线
【答案】ABC
【详解】
由正方体的特性可知， 为正方体 的体对角线， 平面 ，平面 平
面 于 ，又 交平面 于点 ，故点 在 上，故A项正确；
由正方体的特性可知， 平面 ， 平面 ，故 ，同理， ，
于点 ，故 平面 ，故B项正确；
设正方体的边长为1，直线 与平面 的夹角为 ，则 ，点 到平面 的距离为，故 ， ，C项正确；
直线 与直线 为异面直线，故D项错误.
故选：ABC.
三、填空题（每小题5分，共计20分）
13．在 中， ，若 ，则 的大小是___________.
【答案】 ##
【详解】
由余弦定理可得
整理得 ，即
由 ，所以 为等边三角形
所以 .
故答案为：
14．已知 与 夹角 求 在 方向上的投影____________.
【答案】1
【详解】
因为 与 夹角 ，
所以 在 方向上的投影为 ，
故答案为：1.
15．把一个正方体的表面涂上红色，在它的长、宽、高上等距离地各切三刀，则大正方体被分割成了
个大小相等的小正方体，将这些小正方体均匀地搅混在一起.如果你从这些小正方体中随意地取出 个，则
这个小正方体至少有一个面涂有红色的概率为_______.
【答案】 ##
【详解】个小正方体中，将大正方体外层的正方体去掉，可知没有面是红色的小正方体有 个，
至少有一个面涂有红色的概率为 .
故答案为： .
16．某歌舞厅的迪斯科球体积为 （立方米），其表面上有A，B，C，D四点构成一等腰梯形，
， ，则该迪斯科球的球心到面ABCD的距离为__________米．
【答案】
【详解】
解：由题意得：
设球的半径为R，由球的体积公式可得 ，即 ，故 ．
取BC中点F，易证FB＝FD＝BA＝FC＝2．
同理FA＝FD＝2
∴F是梯形ABCD外接圆圆心，其半径r＝2．
∴球心到面的距离 ．
故答案为：四、解答题（解答题需写出必要的解题过程或文字说明，共70分）
17．设复数 （其中 ）， ．
(1)若 是纯虚数，求 ；
(2)求满足 的复数 在复平面上对应的点构成的图形的面积．
【答案】(1) (2)
【解析】(1)
依题意 且 ，
所以
(2)
设 ，则
故复数 在复平面上对应的点构成的图形是以 为圆心，半径为 的圆及其内部
所以
18．已知平面向量 ， 满足： ， ， .
(1)求 与 的夹角 ；
(2)求向量 在向量 上的投影.
【答案】(1) (2)
【解析】(1)
∵ ，∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ ．
∵ ，∴ ．
(2)
∵ ，∴ ，∴向量 在向量 上的投影为 ．
19．在 ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且 .
△
(1)求角C的大小；
(2)如果 ， ，求c的值.
【答案】(1) (2)
【解析】(1)
由 得 ，
由正弦定理可得 ，
因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 .
(2)
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 .
20．设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为 、9、 ，现用分层抽样的方法从三个协会中抽
取 名运动员参加比赛.
(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数；
(2)现从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛.
①列出所有可能的结果；
②求选到的两名运动员来自同一协会的概率.
【答案】(1)甲、乙、丙三个乒乓球协会分别抽取运动员人数为 、 、
(2)①答案见解析，②
【解析】(2)
设甲乒乓球协会分别抽取的 名运动员编号为 ，
乙乒乓球协会分别抽取的1名运动员编号为 ，
丙乒乓球协会分别抽取的 名运动员编号为 ，
①选出两人共有15种结果，
，，
，
，
②两名运动员来自同一协会的结果： ，共有 种；
所以选到的两名运动员来自同一协会的概率为 .
21．在三棱柱 中， ， 平面 ， ， 分别是 ， 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)求证：平面 平面 ．
【解析】(1)
， 分别是 ， 的中点．
所以 ，因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
(2)
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，
又因为 ， ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，
所以平面 平面 ．
22．某超市有甲、乙两家分店，为调查疫情期间两家分店的销售情况，现随机抽查了上个年度两家店20
天的日销售额（单位：万元），分别得到甲、乙两家分店日销售额的频率分布直方图如下：(1)比较甲乙两店日销售额的平均数的大小（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）：
(2)若规定分店一年（按360天计算）中日销售额不低于55万的天数不少于120天为运转良好，请结合上
图，分析甲店上个年度运转是否良好？
(3)如果你是投资决策者，你更愿意在哪家店投资，请你根据所学的统计知识，说明你的理由．（不需要
计算，只需要说清楚理由）
【答案】(1) (2)甲店运转良好(3)我选乙店，理由见解析
【解析】
【详解】
（1）解：估计算甲店的日销售额平均数为
估计算乙店的日销售额平均数为
．
．
（2）解：日销售额超过55万的天数占比不少于 ，
甲日销售额不低于55万的概率约为 ，
甲店运转良好．
（3）解：答案一：甲店日销售额平均值略高于乙店，由频率分布直方图可知．甲店的销售额方差明显低
于乙店，故甲店销售情况比乙店要稳定，所以我选甲店；
答案二：虽然甲店日销售额平均值略高于乙店，但乙店日销售额在80万-100万出现的概率比甲店高，故
我认为乙店更有潜力，所以我选乙店．
