文档内容
怀化市 2024 年下期期末考试试题
高一数学
考试时长：120 分钟 满分：150 分
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一个选项是符合题目要求的．
1. 已知 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据并集的定义计算可得.
【详解】因为 ， ，
所以 .
故选：D
2. 如图，角 的顶点在原点，始边在 轴的非负半轴上，它的终边与单位圆 相交于点 ，且点 的横坐
标为 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角函数的定义计算可得.
【详解】因为角 的终边与单位圆 相交于点 ，且点 的横坐标为 ，
第 1页/共 16页
学科网（北京）股份有限公司所以 .
故选：B
3. 已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】由 推不出 ，故充分性不成立；
由 推得出 ，故必要性成立；
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B
4. 已知函数 ，则 （ ）
A. 1 B. 0 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据分段函数解析式计算可得.
【详解】因为 ，
所以 .
故选：A
5. 函数 在区间 上是单调递减的，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用二次函数的性质求解参数范围即可.
第 2页/共 16页
学科网（北京）股份有限公司【详解】由题意, 的图象开口向上，对称轴为直线 ，
因为 在区间 上单调递减，所以 ，
解得 .
故选：C.
6. 下列比较大小中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据换底公式及对数函数的性质判断 A，根据幂函数的性质判断 B、D，根据中间量判断 C.
【详解】对于 A：因为 ， ，
又 ，所以 ，所以 ，故 A 错误；
对于 B：因为 在 上单调递减， ，所以 ，故 B 错误；
对于 C：因为 ， ，所以 ，故 C 错误；
对于 D：因为 ，又 在 上单调递增，
所以 ，即 ，故 D 正确；
故选：D
7. 已知 ， ， ， ，则下列一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
第 3页/共 16页
学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】根据指数与对数的关系及指数幂的运算性质计算可得.
【详解】因 ， ，所以 ， ，
又 ，所以 ，
又 ，所以 ，所以 .
故选：C
8. 已知 ， ，则 的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由 将切化弦，再通分，结合两角差的正弦公式求出 ，再由两角差的
余弦公式求出 ，即可得解.
【详解】因为 ， ，
所以 ，
所以 ，
又 ，所以 ，
所以 .
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题关键是由所给条件推导出 、 的值.
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题满分 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求．全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分．
第 4页/共 16页
学科网（北京）股份有限公司9. 下列命题是真命题的有（ ）
A. 若 ， ，则 B. 若 且 ，则
C. 若 ， ，则 D. 若 ，则
【答案】BC
【解析】
【分析】利用特殊值判断 A、D，利用不等式 性质判断 B、C.
【详解】对于 A：如 ， ， ， ，满足 ， ，
但是 ，故 A 错误；
对于 B：因为 ，所以 ，又 ，所以 ，
所以 ，故 B 正确；
对于 C：因为 ，所以 ，则 ，又 ，所以 ，故 C 正确；
对于 D：若 ，则 ，故 D 错误.
故选：BC.
10. 下列关于函数 的说法正确的是（ ）
A. 要得到函数 的图象，只需将函数 的图象向左平移 个单位
B. 函数 的图象关于点 中心对称
C. 若 ，则
D. 函数 在区间 内单调递增
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据三角函数的平移变换判断 A，根据正弦函数的性质判断 B、D，利用诱导公式判断 C.
【详解】对于 A：将函数 的图象向左平移 个单位得到 ，故 A
错误；
第 5页/共 16页
学科网（北京）股份有限公司对于 B：因为 ，所以函数 的图象关于点 中心对称，故 B 正确；
对于 C：因为 ，所以 ，
所以 ，故 C 正确；
对于 D：由 ，所以 ，
因为 在 上单调递增，所以函数 在区间 内单调递增，故 D
正确；
故选：BCD
11. 若 是 定 义 在 R 上 的 函 数 ， 当 时 ， ， 且 对 任 意 x，
，
恒成立，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 是偶函数
C. 的图象关于 对称
D. 若 ，则 恒成立
【答案】ACD
【解析】
【分析】令 可求出 判断 A， 可得函数的奇偶性判断 B，函数的奇偶性，得到函数的对
称性，即可判断 C，利用单调性的定义判断 D.
【详解】已知 ，
令 ，可得 ，解得 ，故 A 正确；
再令 ，得 ，
第 6页/共 16页
学科网（北京）股份有限公司即 ，因为 不恒成立，所以 ，
所以 为奇函数，故 B 错误；
因为 为奇函数，所以 关于原点对称，则 的图象关于 对称，故 C 正确；
因为当 时， ，所以当 时， ，则 ；
设任意的 ， ，且 ，
则 ，
所以 ，
因为 ， ，且 ，
所以 ， ， ， ， ，
所以 ，即 ，
所以 上单调递增，则 在 上单调递增，
又 ，且当 时， ，当 时， ，
所以 是 R 上的增函数，则当 时， 恒成立，故 D 正确．
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：对于抽象函数求函数值一般采用赋值法，抽象函数的单调性的证明通常是利用定义
法.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 函数 的定义域是______．
【答案】
【解析】
【详解】 ，即定义域为
点睛：常见基本初等函数定义域的基本要求
第 7页/共 16页
学科网（北京）股份有限公司(1)分式函数中分母不等于零．
(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于 0.
(3)一次函数、二次函数的定义域均为 R.
(4)y＝x0 的定义域是{x|x≠0}．
(5)y＝ax(a>0 且 a≠1)，y＝sin x，y＝cos x 的定义域均为 R.
(6)y＝logx(a>0 且 a≠1)的定义域为(0，＋∞)．
a
13. 当 时， 的最小值是___________.
【答案】4
【解析】
【分析】利用换元法，令 将所给的代数式进行变形，然后利用均值不等式即可求得最小值.
【详解】由 ，可得 .
可令 ，即 ，则 ，
当且仅当 ， 时，等号成立.
故答案为： ．
14. 对于函数 ，若在其定义域内存在 ，使得 成立，则称函数 具有性质 ．下
列四个函数中具有性质 的有______．（填序号）
① ② ③ ④ ．
【答案】②③④
【解析】
【分析】假设函数具有性质 ，即判断 是否有解，构造函数，结合零点存在性定理判断即可.
【详解】对于①：假设 具有性质 ，则在 上存在 ，使得 ，
即 ，因为 ，所以 ，故方程 无解，
即 不具有性质 ，故①错误；
对于②：假设 具有性质 ，则在 上存在 ，使得 ，
即 在 时有解，
第 8页/共 16页
学科网（北京）股份有限公司设 ， ，显然 为定义域上的连续函数，
又 ， ，即 在 上有零点，
所以 具有性质 ，故②正确；
对于③：假设 具有性质 ，则存在 ，使得 ，
即 有解，
令 ，显然 为连续函数，
又 ， ，所以 在 上存在零点，
所以 具有性质 ，故③正确；
对于④：假设 具有性质 ，则存在 ，使得 ，
即 有解，
令 ，显然 为连续函数，又 ，
，
所以 上存在零点，所以 具有性质 ，故④正确.
故答案为：②③④.
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是将问题转化为方程 是否有解，结合零点存在性定理判
断即可.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知集合 ， ．
（1）当 时，求 ；
（2）若 ，求实数 m 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
第 9页/共 16页
学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】（1）首先解一元二次不等式，即可求出集合 ，再根据并集的定义计算可得；
（2）首先求出 ，再根据 ，即可求出 的取值范围.
【小问 1 详解】
由 ，即 ，解得 ，
所以 ，
当 时 ，
所以 ；
【小问 2 详解】
因为 ，所以 ，
又 ， ，
所以 ，所以实数 m 的取值范围为 .
16. 已知函数 ．
（1）求 的最大值；
（2）若 ，且直线 与 的图象在 上有交点，求 m 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦函数的性质计算可得；
（2）首先利用二倍角公式化简得到 ，再求出函数在 上的值域，即可求出参
数 的取值范围.
【小问 1 详解】
第 10页/共 16页
学科网（北京）股份有限公司因为 ，
因为 ，所以 ，
当 ，即 时 取得最大值且 ；
【小问 2 详解】
因为
，
当 ，则 ，所以 ，则 ，
又直线 与 的图象在 上有交点，所以 ；
17. 为了美化城市，某部门计划在一处绿化带做一个“福地怀化”字样的园圃，如图所示，该园圃的形状是
扇形 挖去半径为其一半的扇形 后得到的扇环 ，园圃的外围周长为 50m，其中圆心角 小
于 ， 的长不超过 10m．设 （单位：m），园圃的面积为 （单位： ）．
（1）写出 关于 x 的函数表达式，并求出该函数的定义域；
（2）当 x 为多少时，园圃的面积 最大，求出 y 的最大值及此时 与 的长．
【答案】（1）答案见解析
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）利用扇形的弧长公式和面积公式求解解析式即可.
（2）利用二次函数 性质求解最值即可.
【小问 1 详解】
在扇形 中，由题意得 ， ，
第 11页/共 16页
学科网（北京）股份有限公司由扇形面积公式得扇形 的面积为 ，
扇形 的面积为 ，
故 ，由弧长公式得 的长度为 ，
的长度为 ，而园圃的外围周长为 50m，
故 ，解得 ，
因为圆心角 小于 ，所以 ，
解得 ，而 ，故 ，
故 ，该函数的定义域为 .
【小问 2 详解】
由二次函数性质得 在 内单调递增，
当 时， 的最大值为 ，
的长度为 ，
的长度为 .
18. 已知函数 是偶函数．
（1）求实数 k 的值；
（2）求 的最小值；
（3）若不等式 对任意 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据偶函数的性质求出参数的值，再代入检验即可；
第 12页/共 16页
学科网（北京）股份有限公司（2）利用基本不等式求出 的最小值，即可求出 的最小值；
（3）依题意可得不等式 对任意 恒成立，令 ，即可得到不
等式 对任意 恒成立，参变分离可得 对任意 恒成立，结合
对勾函数的性质求出 ，即可得解.
【小问 1 详解】
函数 的定义域为 ，
因为 为偶函数，所以 ，
即 ，解得 ，
此时函数 的定义域为 ，
且 ，
所以 为偶函数，符合题意，
所以 ；
【小问 2 详解】
由（1）可得 ，
因为 ， ，所以 ，当且仅当 ，即 时等号成立；
所以 ，
即 的最小值为 ，当 时取得最小值；
【小问 3 详解】
由（1）可得 ，
则 ，
由不等式 对任意 恒成立，
即不等式 对任意 恒成立，
令 ，则 ，
第 13页/共 16页
学科网（北京）股份有限公司所以不等式 对任意 恒成立，
所以 对任意 恒成立，
因为函数 在 上单调递增，
所以当 时 取得最小值 ，
所以 ，即实数 的取值范围为 .
19. 若定义域为在 R 上的函数 满足：存在非零实数 ，对 ，都有 ，
则称函数 是 可分解函数．
（1）判断函数 是否为 可分解函数，如果是，求出一个 的值；如果不是，请说明理由；
（2）若 是 可分解函数，且存在 ，使得对 ，都有 ，求 ， ；
（3）对于函数 ，是否存在 ， ，使得 是 可分解函
数？若存在，求出 ， ；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）存在 ，使函数 是 可分解函数（答案不唯一）
（2） ，
（3）存在， ，
【解析】
【分析】（1）根据 即可得解；
（2）依题意可得 ，令 求出 ，再推导出 且
，即可求出 ；
（3）依题意可得 ，由 求出 ，再由 求出 ，再代入检验即
可.
【小问 1 详解】
函数 是 可分解函数，
第 14页/共 16页
学科网（北京）股份有限公司因为 ， ，
且
所以 ，即对 ，都有 ，
所以存在 ，使函数 是 可分解函数（答案不唯一）；
【小问 2 详解】
因为 是 可分解函数，所以 ，
令 ，可得 ，所以 ；
又 ，所以 且 ，
所以 ，
若 ，则当 时， ，不符合题意；
所以 ；
【小问 3 详解】
因为 是 可分解函数，所以 且 ，
即 ，即 ，又 ，所以 ，所以 ；
又 ，否则 且 ，
则 ，
则当 时， ，与 矛盾；
所以 ，又 ，所以 ，所以 或 ；
当 ，即 时， ，
此时 ，
而 ，
第 15页/共 16页
学科网（北京）股份有限公司则 ，不符合题意，故舍去；
当 ，即 时， ，
此时 ，
而 ，
则 ，符合题意；
综上可得，存在 ， ，使得函数 是 可分解函数.
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是理解 可分解函数的定义，再结合三角函数的性质计算即可.
第 16页/共 16页
学科网（北京）股份有限公司
