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山东省实验中学 2024 届高三调研考试
数学试题
2024.2
说明：本试卷满分150分.试题答案请用2B铅笔和0.5mm签字笔填涂到答题卡规定位置上，书
写在试题上的答案无效.考试时间120分钟.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的
1.设 ，若 ，则 （ ）
A.0 B.0或2 C.0或-2 D.2或-2
2.若 展开式中只有第6项的二项式系数最大，则 （ ）
A.9 B.10 C.11 D.12
3.已知向量 ，则 （ ）
A. B. C. D.
4.等差数列 的首项为1，公差不为0.若 成等比数列，则 前6项的和为（ ）
A.-24 B.-3 C.3 D.8
5.要得到函数 的图象，只需将函数 的图象（ ）
A.向右平移 个单位 B.向左平移 个单位
C.向右平移 个单位 D.向左平移 个单位
6.在三棱锥 中，线段 上的点 满足 ，线段 上的点 满足 ，则三
棱锥 和三棱锥 的体积之比为（ ）
A. B. C. D.7.为研究某池塘中水生植物的覆盖水塘面积 （单位： ）与水生植物的株数 （单位：株）之间的相关
关系，收集了4组数据，用模型 去拟合 与 的关系，设 与 的数据如表格所示：
得到 与 的线性回归方程 ，则 （ ）
3 4 6 7
2 2.5 4.5 7
A.-2 B.-1 C. D.
8.双曲线 的左､右顶点分别为 ，曲线 上的一点 关于 轴的对称点为 ，
若直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，则当 取到最小值时，双曲线离心率为（ ）
A.3 B.4 C. D.2
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知复数 满足 ，则（ ）
A. B.
C. D.
10.过线段 上一点 作圆 的两条切线，切点分别为 ，直线 与
轴分别交于点 ，则（ ）
A.点 恒在以线段 为直径的圆上
B.四边形 面积的最小值为4
C. 的最小值为
D. 的最小值为4
11.已知函数 ，则（ ）A. 在其定义域上是单调递减函数
B. 的图象关于 对称
C. 的值域是
D.当 时， 恒成立，则 的最大值为-1
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知随机变量 .若 ，则 __________.
13.已知抛物线 的焦点 为椭圆 的右焦点，直线 过点 交抛物线于 两点，
且 .直线 分别过点 且均与 轴平行，在直线 上分别取点 （ 均在点 的右
侧）， 和 的角平分线相交于点 ，则 的面积为__________.
14.已知正方体 的棱长为 为 的三等分点，动点 在 内，且
的面积为 ，则点 的轨迹长度为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
如图所示，圆 的半径为2，直线 与圆 相切于点 ，圆 上的点 从点 处逆时针转动到
最高点 处，记 .
（1）当 时，求 的面积；
（2）试确定 的值，使得 的面积等于 的面积的2倍.
16.（15分）如图，直三棱柱 中， 分别是 的中点， .
（1）证明： 平面 ；
（2）求二面角 的正弦值.
17.（15分）
盒中有大小颜色相同的6个乒乓球，其中4个未使用过（称之为新球），2个使用过（称之为旧球）.每局比
赛从盒中随机取2个球作为比赛用球，比赛结束后放回盒中.使用过的球即成为旧球.
（1）求一局比赛后盒中恰有3个新球的概率；
（2）设两局比赛后盒中新球的个数为 ，求 的分布列及数学期望.
18.（17分）
已知函数 是 的导函数， .
（1）求 的单调区间；
（2）若 有唯一零点.
①求实数 的取值范围；
②当 时，证明： .
19.（17分）
已知有穷数列 中的每一项都是不大于 的正整数.对于满足 的整数 ，令集合
.记集合 中元素的个数为 （约定空集的元素个数为0）.
（1）若 ，求 及 ；
（2）若 ，求证： 互不相同；（3）已知 ，若对任意的正整数 都有 或 ，求
的值.
山东省实验中学 2024 届高三调研考试
数学参考答案
2024.2
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B B A D C C D
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
题号 9 10 11
答案 BC BCD ACD
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 13. 14.
四､解答题：共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.【解析】
（1）过点 作 交 于点 ，如图：
因为圆 的半径为2，
由题意 ，
所以 的面积为
（2）连接 ，设 的面积为 的面积为 ，
又 ，
，
由题意 ，
所以 ，即 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，
所以当 时，使得 的面积等于 的面积的2倍.
16.【解析】
（1）证明：连接 ，交点 于点 ，则 为 的中点.
又 是 的中点.连接 ，则 .
因为 平面 平面 .所以 平面 .
（2）解：由 ，得 .
以 为坐标原点， 的方向分别为 轴､ 轴､ 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系
不妨设 ，则 .
所以 .
设 是平面 的法向量.
则 ，即 ，取 .
同理，设 是平面 的法向量，
则 ，即 ，取 .
从而 ，故 .
所以二面角 的正弦值为 .
17.【解析】
解答：（1）（2） 的可能取值为 .
，
，
，
，
，
所以 的分布列为
0 1 2 3 4
.
18.【解析】
解：（1） 的定义域为 ，
当 时， 恒成立，故 的单调递增区间是 ，无单调递减区间；
当 时，令 得 ；令 得 ；
所以 单调递减区间为 ；单调递增区间为
（2）①法一；
当 时， 没有零点，不符合题意；
当 时，函数 在 单调递增，因为 ，
取 ，则 ，
又 ，故存在唯一 ，使得 ，符合题意；
（此处用极限说明也可以）
当 时，由（1）可知， 有唯一零点只需 ，
即 ，解得 ；
综上， 的取值范围为 .
法二：
当 时， 没有零点，不符合题意；
所以 ，
令 ，则 ，
当 时， 单调递增；
当 时， 单调递减；
又 .
所以 或 ，
即 或 ，
综上， 的取值范围为 .
②由①得出 ，
令，
，所以 单调递增，又 ，
故当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增；
故 ，故
要证 ，只需证明 ，
即证 ，
由
，
所以 成立.故不等式得证.
19.【解析】
解：（1）因为 ，所以 ，则 .
（2）依题意 ，
则有 ，因此 ，
又因为 ，
所以 ，所以 互不相同.
（3）依题意 .
由 或 ，知 或 .令 ，可得 或 ，对于 成立，
故 或 .
①当 时， ，
所以
②当 时， 或 .
当 时，由 或 ，有 ，
同理 ，所以
当 时，此时有 ，
令 ，可得 或 ，即 或 .
令 ，可得 或 .令 ，可得 .所以 .
若 ，则令 ，可得 ，与 矛盾.所以有 .
不妨设
令 ，可得 ，因此 .
令 ，则 或 .故 .
所以
综上， 时， .
时， .
