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第三章 章末测试
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题(每题5分，共40分）
1．（2020·全国高二课时练习）已知点 是抛物线 的焦点，点 为抛物线上的任意一点，
为平面上点，则 的最小值为（ ）
A．3 B．2 C．4 D．
【答案】A
【解析】如图，作 垂直准线于点 ，由题意可得 ，
显然，当 三点共线时， 的值最小；
因为 ， ，准线 ，
所以当 三点共线时， ，所以 .
故选A
2．（2020·全国高二课时练习）抛物线x2＝4y上一点P到焦点的距离为3，则点P到y轴的距离为( )A．2 B．1
C．2 D．3
【答案】A
【解析】根据抛物线方程可求得焦点坐标为(0,1)，准线方程为y＝－1.根据抛物线定义，得y ＋1＝3，解得
P
y ＝2，代入抛物线方程求得x ＝± ，∴点P到y轴的距离为 .
P P
故选A.
3．（2020·全国高二课时练习）已知方程 表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得 即
∴ 或
故选：D.
4．（2020·全国高二课时练习）曲线 与曲线 的（）
A．长轴长相等 B．短轴长相等
C．焦距相等 D．离心率相等
【答案】D
【解析】首先化简 为标准方程 ， ，由方程形式可知，曲线的长轴长是8，短轴长是6，焦距是 ，离心率 ， ， 的
长轴长是 ，短轴长是 ，焦距是 ，离心率 ，所以离心率相等.
故选D.
5．（2020·全国高二课时练习）与椭圆 有相同焦点，且短轴长为 的椭圆的标准方程为（
）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】椭圆 可化为标准方程 ，
可知椭圆 的焦点在 轴上，焦点坐标为 ，
故可设所求椭圆方程为 ，则 .
又 ，即 ，所以 ，故所求椭圆的标准方程为 .
故选：B.
6．（2020·全国高二课时练习）方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】由题意可知 解得 .
7．（2020·全国高二课时练习）设椭圆的两个焦点分别为 ，过 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,
若 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 为等腰直角三角形， ，即 得 ，解得
．
8．（2020·全国高二课时练习）设 是椭圆 的离心率，且 ，则实数 的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】当焦点在x轴时 ，
，
当焦点在y轴时 ，所以实数 的取值范围是 .
故选：D.
二、多选题（每题5分，共20分）
9．（2020·全国高二课时练习）已知方程 表示的曲线C，则下列判断正确的是（ ）
A．当 时，曲线C表示椭圆；
B．当 或 时，曲线C表示双曲线；
C．若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则 ；
D．若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则 ；
【答案】BC
【解析】由 ，得 ，此时方程 表示圆，故A选项错误.
由双曲线的定义可知 时，即 或 时，方程 表示双曲线，故B选项
正确.
由椭圆的定义可知，当椭圆焦点在 轴上时，满足 ，解得 ，故C选项正确.
当曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则 ，解得 ，故D选项不正确.
综上所述，正确的选项为BC.
故选：BC
10．（2020·广东汕头高二期末）双曲线 的左右焦点分别为 ， ，点 在双曲线上，下列结
论正确的是（ ）A．该双曲线的离心率为
B．该双曲线的渐近线方程为
C．点 到两渐近线的距离的乘积为
D．若 ，则 的面积为32
【答案】BC
【解析】
，故 错误；
双曲线的渐近线方程为 即 ，故 正确；
设双曲线上一点 ， 即
则 到两渐近线的距离的乘积为 ，故 正确；
若 ，则
由焦点三角形面积公式 ，故 错误.
综上，正确的有
故选：11．（2019·山东青岛二中高二月考）下列说法正确的是（ ）
A．方程 表示两条直线
B．椭圆 的焦距为4，则
C．曲线 关于坐标原点对称
D．双曲线 的渐近线方程为
【答案】ACD
【解析】方程 即 ，表示 ， 两条直线，所以A正确；
椭圆 的焦距为4，则 或 ，解得 或 ，
所以B选项错误；
曲线 上任意点 ，满足 ， 关于坐标原点对称点 也满足
，即 在 上，所以曲线 关于坐标原点对称，
所以C选项正确；
双曲线 即 ，其渐近线方程为 正确，所以D选项正确.
故选：ACD
12．（2019·山东淄博.高二期中）已知抛物线 上一点 到准线的距离为 ，到直线
的距离为 ，则 的取值可以为( )
A．3 B．4 C． D．
【答案】ABD【解析】抛物线上的点 到准线的距离等于到焦点 的距离,
所以过焦点 作直线 的垂线,
则 到直线的距离为 的最小值,如图所示：
所以 ,选项ABD均大于或等于3.
故选:ABD
第II卷（非选择题）
三、填空题（每题5分，共20分）
13．（2019·湖北襄阳。高二期中）椭圆 的左右焦点分别为 ，点 在椭圆上，若
，则 ________.
【答案】
【解析】根据题意，椭圆 ，
其中 ， ，
则 ，
点 在椭圆上，若 ，则 ，
在△ 中， ， ， ，则 ，
则有 ，故答案为 ．
14．（2020·平罗中学高二月考（文））已知 、 是椭圆 的左，右焦点，点
为 上一点， 为坐标原点， 为正三角形，则 的离心率为__________．
【答案】
【解析】如图,因为 为正三角形，所以 ，
所以 是直角三角形.
因为 ， ，所以 , .
因为 ，所以
即 ，所以 .
故答案为：
15．（2020·全国高二课时练习）若双曲线 的左焦点为F，点P是双曲线右支上的动点，已知
，则 的最小值是_____________.【答案】9.
【解析】设 双曲线的右焦点，则 ，
∴ ，
等号成立当且仅当 共线.
故答案为： .
16．（2020·全国高二课时练习）设 是双曲线 的两个焦点， 是双曲线上的一点，且
，则 的面积等于________.
【答案】24
【解析】双曲线 的两个焦点F（﹣5，0），F（5，0），|FF|=10，
1 2 1 2
由3|PF |=4|PF |，设|PF |=x，则|PF |= x，
1 2 2 1
由双曲线的性质知 x﹣x=2，解得x=6．
∴|PF |=8，|PF |=6，
1 2
∵|FF|=10，∴∠FPF =90°，
1 2 1 2
∴△PF F 的面积= ×8×6=24．
1 2
故答案为24．
四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）
17．（2020·全国高二课时练习）已知双曲线的方程是 .
（1）求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；
（2）设 和 是双曲线的左、右焦点，点 在双曲线上，且 ，求 的大小.【答案】（1）焦点坐标 ， ，离心率 ，渐近线方程为 ；（2）
.
【解析】（1）解：由 得 ，所以 ， ， ，
所以焦点坐标 ， ，离心率 ，渐近线方程为 .
（2）解：由双曲线的定义可知 ，
∴
，则 .
18．（2020·定远县育才学校高二期末（文））已知双曲线 ： 的离心率为 ，
且过点 .
（1）求双曲线 的方程；
（2）若直线 ： 与双曲线 恒有两个不同的交点 ， ，求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）由 ，可得 ，
所以 ，故双曲线方程可化为 ，
将点 代入双曲线 的方程，
解得 ，所以双曲线 的方程为 ；
（2）联立直线与双曲线方程，
，
由题意得，
，
解得 且 ，
所以 的取值范围为 .
19．（2020·全国高二课时练习）已知点A(0，－2)，椭圆E： (a>b>0)的离心率为 ，F是
椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为 ，O为坐标原点.
(1)求E的方程；
(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点.当△OPQ的面积最大时，求l的方程.
【答案】（1） （2）
【解析】（1）设 ，因为直线 的斜率为 ，所以 ， .
又
解得 ，
所以椭圆 的方程为 .
（2）解：设
由题意可设直线 的方程为： ，
联立 消去 得 ，
当 ，所以 ，即 或 时
.
所以
点 到直线 的距离
所以 ，设 ，则 ，
，
当且仅当 ，即 ，
解得 时取等号，
满足
所以 的面积最大时直线 的方程为： 或 .
20．（2020·全国高二课时练习）点 在椭圆 ： 上，且点 到椭圆两焦
点的距离之和为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)已知动直线 与椭圆 相交于 两点，若 ，求证： 为定值
【答案】（1） （2）
【解析】（1） 解得 即椭圆的方程为（2）设 ，联立 得 ．
，
21．（2020·定远县育才学校高二期末（理））双曲线 的中心在原点，右焦点为 ，渐近线方
程为 ．
（1）求双曲线 的方程；
（2）设直线 与双曲线 交于 两点，问：当 为何值时，以 为直径的圆过原点．
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）设双曲线的方程为 ，则 ，
故 ，故双曲线的方程是 .
（2）由 ，得 ，由 ，且 得 ，且 ，
设 ，因为以 为直径的圆过原点，所以 ，
所以 ，又 ，
所以 ，
所以 解得 .
22．（2019·广东高二期末（理））已知抛物线 ： 上一点 到其准线的距离为2．
（1）求抛物线 的方程；
（2）如图 ， ， 为抛物线 上三个点， ，若四边形 为菱形，求四边形 的面
积．
【答案】(1) ；(2) 或
【解析】（1）由已知可得 ，
消去 得： ，
抛物线 的方程为
（2）设 ， ，菱形 的中心当 轴，则 在原点， ，
， ，菱形的面积 ，
解法一：当 与 轴不垂直时，设直线 方程： ，则直线 的斜率为
消去 得：
， ，∵ 为 的中点
∴ ，点 在抛物线上，
且直线 的斜率为 ．
解得： ，
，
综上， 或
解法二：设 ，直线 的斜率为
，直线 的斜率为 ，可以设直线 ：
消去 得：
∵
，
解方程： ，解得 ， ，接下去同上．
