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第六章 计数原理（基础卷）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分150分，考试时间1200分钟，试题共23题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将
自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1.设A＝（1，2，3，…，10），若方程x2﹣bx﹣c＝0，满足b、c属于A，且方程至少有一根a属于A，称
方程为漂亮方程，则“漂亮方程”的总个数为（ ）
A．8个 B．10个 C．12个 D．14个
【答案】C
【分析】根据题意，用十字相乘法，先把c分解因数，依据方程根与系数的关系，这两个因数的差就是
b，进而可以确定方程，再依次分析c等于2、3、…10，分别分析、列举其“漂亮方程”的个数，
由加法原理，计算可得答案．
【解答】解：用十字相乘法，先把c分解因数，依据方程根与系数的关系，这两个因数的差就是b；
c＝2 时，有2×1＝2，b＝2﹣1＝1，则漂亮方程为x2﹣x﹣2＝0；
c＝3时，有3×1＝3，b＝3﹣1＝2，则漂亮方程为x2﹣2x﹣3＝0；
c＝4时，有4×1＝4，b＝4﹣1＝3，则漂亮方程为x2﹣3x﹣4＝0，
c＝5时，有5×1＝5，b＝5﹣1＝4，则漂亮方程为x2﹣4x﹣5＝0；
c＝6时，有6×1＝6，b＝6﹣1＝5，则漂亮方程为x2﹣5x﹣6＝0，
同时，有2×3＝6，b＝3﹣1＝2，则漂亮方程为x2﹣x﹣6＝0；
c＝7时，有7×1＝7，b＝7﹣1＝6，则漂亮方程为x2﹣6x﹣7＝0，
c＝8时，有8×1＝8，b＝8﹣1＝7，则漂亮方程为x2﹣7x﹣8＝0，
同时，有2×4＝8，b＝4﹣2＝2，则漂亮方程为x2﹣2x﹣8＝0；
c＝9时，有9×1＝9，b＝9﹣1＝8，则漂亮方程为x2﹣8x﹣9＝0；
c＝10时，有10×1＝10，b＝10﹣1＝9，则漂亮方程为x2﹣10x﹣9＝0，
同时，有2×5＝10，b＝5﹣2＝3，则漂亮方程为x2﹣3x﹣10＝0；
综合可得，共12个漂亮方程，
故选：C．
【知识点】分类加法计数原理
2.（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）…（x﹣15）（x N ，x＞15）可表示为（ ）
+
A．A B．A ∈ C．A D．A
【答案】B
【分析】直接利用排列数公式写出结果即可．
【解答】解：由题意x N ，x＞15．
+
（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）…（x﹣15）＝ ．
∈
故选：B．
【知识点】排列及排列数公式
3.设4名学生报名参加同一时间安排的3项课外活动方案有a种，这4名学生在运动会上共同争夺100米、跳远、铅球3项比赛的冠军的可能结果有b种，则（a，b）为（ ）
A．（34，34） B．（43，34） C．（34，43） D．（A3，A3）
4 4
【答案】C
【分析】本题是一个分步乘法问题，每名学生报名有3种选择，有4名学生根据分步计数原理知共有34种
选择，同理三项冠军的结果数也有类似的做法．
【解答】解：由题意知本题是一个分步乘法问题，
首先每名学生报名有3种选择，
有4名学生根据分步计数原理知共有34种选择，
每项冠军有4种可能结果，
3项冠军根据分步计数原理知共有43种可能结果．
故选：C．
【知识点】计数原理的应用、分步乘法计数原理
4.某城市新修建的一条道路上有11盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的 4盏
灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有（ ）
A．C B．C
C．C D．以上答案都不对
【答案】C
【分析】根据题意，利用插空法分析：先将亮的7盏灯排成一排，进而在6个空位中，任取4个插入熄灭
的4盏灯，由组合式公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，使用插空法分析：原来有11盏路灯，熄灭其中的4盏灯，还有7盏是亮着的，
先将亮的7盏灯排成一排，由于两端的灯不能熄灭，则有6个符合条件的空位，
进而在6个空位中，任取4个插入熄灭的4盏灯，有C 4种方法，
6
故选：C．
【知识点】排列、组合及简单计数问题
5.设（3x+ ）n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M﹣17N＝480，则展开式中含x3
项的系数为（ ）
A．40 B．30 C．20 D．15
【答案】D
【分析】（3x+ ）n的展开式的各项系数之和为M，令x＝1，可得M＝4n．二项式系数之和为N＝2n，代入
M﹣17N＝480，解得n，再利用通项公式即可得出．
【解答】解：（3x+ ）n的展开式的各项系数之和为M，令x＝1，可得M＝4n．
二项式系数之和为N＝2n，
∵M﹣17N＝480，∴4n﹣17•2n＝480，解得n＝5．
∴ 的通项公式：T ＝ （3x）5﹣r ＝35﹣r ，
r+1
令 r＝3，解得r＝4
展开式中含x3项的系数为 ×3＝15
故选：D．
【知识点】二项式定理
6.化简多项式（2x+1）5﹣5（2x+1）4+10（2x+1）3﹣10（2x+1）2+5（2x+1）﹣1的结果是（ ）
A．（2x+2）5 B．2x5 C．（2x﹣1）5 D．32x5【答案】D
【分析】利用二项式展开式的通项公式，以及二项式定理，求得结果．
【解答】解：多项式（2x+1）5﹣5（2x+1）4+10（2x+1）3﹣10（2x+1）2+5（2x+1）﹣1
＝[（2x+1）﹣1]5＝32x5，
故选：D．
【知识点】二项式定理
7.已知（x2﹣3x+1）5＝a+ax+ax2+…+a x10，则a+a+a+…+a ＝（ ）
0 1 2 10 1 2 3 10
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．0
【答案】C
【分析】在所给的等式中，令 x＝0，可得a ＝1，令x＝1，可得a+a+a+a+…+a ＝﹣1，由此求得
0 0 1 2 3 10
a+a+a+…+a 的值．
1 2 3 10
【解答】解：由于（x2﹣3x+1）5＝a+ax+ax2+…+a x10，令x＝0，可得a＝1，
0 1 2 10 0
令x＝1，可得a+a+a+a+…+a ＝﹣1，∴a+a+a+…+a ＝﹣2，
0 1 2 3 10 1 2 3 10
故选：C．
【知识点】二项式定理
8.高一学生王超想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，（
）
A．若任意选择三门课程，选法总数为 种
B．若物理和化学至少选一门，选法总数为 种
C．若物理和历史不能同时选，选法总数为 ﹣ 种
D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为 ﹣ 种
【答案】C
【分析】A．若任意选择三门课程，由组合的概念可知选法总数为 种，可判断A错误；
B．若物理和化学至少选一门，由分步乘法计数原理知选法总数为 + 种，可判断B错误；
C．若物理和历史不能同时选，利用间接法可知选法总数为 ﹣ 种，可判断C正确；
D．若物理和化学至少选一门，有3种情况，分别讨论计算，可判断D错误．
【解答】解：对于A．若任意选择三门课程，选法总数为 种，故A错误；
对于B．若物理和化学选一门，有 种方法，其余两门从剩余的5门中选2门，有 种选法，
若物理和化学选两门，有 种选法，剩下一门从剩余的5门中选1门，有 种选法
由分步乘法计数原理知，总数为 ++ 种选法，故B错误；
对于C．若物理和历史不能同时选，选法总数为 ﹣ • ＝ ﹣ 种；
对于D．若物理和化学至少选一门，有3种情况，①只选物理有且物理和历史不同时选，有 •
种选法；
②选化学，不选物理，有 • 种选法；
③物理与化学都选，有 • 种选法，
故总数为 • + • + • ＝6+10+4＝20种，故D错误．
故选：C．
【知识点】排列、组合及简单计数问题
9.若 ，则 ＝（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】先令x＝0，求出a 的值，再令x＝ 可得，可得 + +…+ ＝﹣1，同时除以a，可得
0 1
＝﹣ ．再把a 的值代入，可得结论．
1
【解答】解：∵ ，∴令x＝0，可得a＝1．
0
再令x＝ 可得，则1+ + +…+ ＝0，∴ + +…+ ＝﹣1，
同时除以a，可得 ＝﹣ ．
1
由通项公式可得a＝﹣ ×2＝﹣4036，∴ ＝ ，
1
故选：C．
【知识点】二项式定理
10.在二项式（x﹣2y）6的展开式中，设二项式系数和为 A，各项系数和为B，x的奇次幂项的系数和为
C，则 ＝（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
【答案】A
【分析】根据二项式展开式中二项式系数和为2n可求得A，令x＝1，y＝1可得各项系数和B，令f（x）＝
（x﹣2）6，x的奇次幂项的系数和为 可求得C，计算可得 的值．
【解答】解：在二项式（x﹣2y）6的展开式中，二项式系数和A＝26＝64，
令x＝y＝1，得各项系数和B＝（﹣1）6＝1，
令f（x）＝（x﹣2）6，得x的奇次幂项的系数和C＝ ＝ ＝﹣364，
所以 ＝﹣ ＝﹣ ．
故选：A．
【知识点】二项式定理
11.数学40名数学教师，按年龄从小到大编号为1，2，…40．现从中任意选取6人分成两组分配到A，B
两所学校从事支教工作，其中三名编号较小的教师在一组，三名编号较大的教师在另一组，那么编号
为8，12，28的数学教师同时入选并被分配到同一所学校的方法种数是（ ）
A．220 B．440 C．255 D．510
【答案】D
【分析】根据题意，分析可得要要“8，12，28同时入选并被分配到同一所学校”，则除8，12，28号之
外的另外一组三人的编号必须都大于28或都小于8号”这2种情况讨论选出其他三人的情况，
再将选出2组进行全排列，对应对应A，B两所学校；由分步计数原理计算可得答案
【解答】解：根据题意，要“8，12，28同时入选并被分配到同一所学校”，则除8，12，28号之外的另
外一组三人的编号必须都大于28或都小于8号，
则分2种情况讨论选出的情况：
①、如果另外三人的编号都大于等于28，则需要在编号为29、30、31、32、33、34、35、
36、37、38、39、40的12人中，任取3人即可，有C 3＝220种情况，
12
②、如果另外三人的编号都小于8，则需要在编号为1、2、3、4、5、6、7的7人中，任取3
人即可，有C 3＝35种情况，
7
选出剩下3人有220+35＝255种情况，
再将选出的2组进行全排列，对应A，B两所学校，有A2＝2种情况，
2
则8，12，28同时入选并被分配到同一厅”的选取种数为255×2＝510种；
故选：D．
【知识点】计数原理的应用12.中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同样长短的小木
棍．如图，是利用算筹表示数1～9的一种方法．例如：137可表示为“ ”，26可表示为“
”．现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1～9这9个数字表示三位数的个数为
（ ）
A．10 B．20 C．36 D．38
【答案】D
【分析】根据算筹，将根算筹可能分1，2，3，或者1，1，4，或2，2，2，然后根据每个算筹对应数字种
类，利用排列组合进行求解即可．
【解答】解：6根算筹可能分1，2，3，或者1，1，4，或2，2，2，
2根算筹可以表示3或6，两种结果，
3根算筹可以表示3或3，两种结果，
4根算筹可以表示4或8，两种结果，
若分1，2，3，则表示的三位数为1×2×2A＝4×3×2＝24种三位数，
若分1，1，4，则表示的三位数为2×C＝2×3＝6，
若分2，2，2，则表示的三位数为2×2×2＝8，
则表示的三位数共有24+6+8＝38种，
故选：D．
【知识点】排列、组合及简单计数问题
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线
上）
13.从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出2台，其中甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法种数为
．
【答案】20
【分析】根据题意，分2步进行分析：①、先在4台甲型电视机取出1台，②、再在5台乙型电视机中取
出1台，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，分2步进行分析：
①、先在4台甲型电视机取出1台，有4种取法；
②、再在5台乙型电视机中取出1台，有5种取法；
则有4×5＝20种不同的取法；
故答案为：20．
【知识点】排列、组合及简单计数问题
14.在报名的5名男生和4名女生中，选取5人参加志愿者服务，要求男生、女生都有，则不同的选取方法
的种数为 （结果用数值表示）【答案】125
【分析】根据题意，运用排除法分析，先在9名中选取5人，参加志愿者服务，由组合数公式可得其选法
数目，再排除其中只有男生的情况，即可得答案．
【解答】解：根据题意，报名的5名男生和4名女生，共9名学生，
在9名中选取5人，参加志愿者服务，有C 5＝126种；
9
其中只有男生C 5＝1种情况；
5
则男、女生都有的选取方式的种数为126﹣1＝125种；
故答案为：125．
【知识点】计数原理的应用
15.在二项式 的展开式中，常数项是 ，系数为有理数的项的个数是 ．
【分析】求出展开式的通项公式，结合常数项，系数为有理数的定义分别进行求解即可．
【解答】解：展开式的通项公式为T ＝C（ ）7﹣kxk＝C3 xk，
k+1
则当k＝0时，常数项为（ ）7＝27 ，
若系数为有理数，则 为整数，
则k＝1，3，5，7，即系数为有理数的项的个数为4个，
故答案为：27 ，4
【知识点】二项式定理
16.浙江省现行的高考招生制度规定除语、数、英之外，考生须从政治、历史、地理、物理、化学、生物、
技术这7门高中学考科目中选择3门作为高考选考科目，成绩计入高考总分．已知报考某高校A、B两
个专业各需要一门科目满足要求即可，A专业：物理、化学、技术；B专业：历史、地理、技术．考生
小李今年打算报考该高校这两个专业的选考方式有 种．（用数字作答）
【答案】27
【分析】由题意，可以分两类，根据分类计数原理即可求出．
【解答】解：若一定选技术，则从剩余的6门中，任选2门即可，故有C 2＝15种，
6
若不一定选技术，从物理、化学选一门，从历史、地理选一门，再从剩下的选一门，故有
C 1C 1C 1＝12种，
2 2 3
根据分类计数原理可得共有15+12＝27种，
故答案为：27．
【知识点】排列、组合及简单计数问题
三、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过
程或演算步骤）
17.已知数列{a}的前n项和为 ，数列{b}满足b＝log a．
n n n 2 n
（1）求数列{a}、{b}的通项公式；
n n
（2）求T＝b2﹣b2+b2﹣b2+…+（﹣1）n+1b2．
n 1 2 3 4 n
【分析】本题第（1）题先根据组合的知识可知S ＝2n﹣1，然后根据公式a ＝ 可计算出数列{a}的
n n n
通项公式，最后将数列{a}的通项公式代入b＝log a 进行计算可得数列{b}的通项公式；
n n 2 n n
第（2）题先根据第（1）题的结果可判断出数列{b}是以0为首项，1为公差的等差数列，然
n后对n分奇数和偶数两种情况分别进行计算，利用平方差公式及等差数列的求和公式可计算
出T 的表达式．
n
【解答】解：（1）由题意， ＝2n﹣1，
当n＝1时，a＝S＝21﹣1＝1，
1 1
当n≥2时，a＝S﹣S ＝2n﹣1﹣2n﹣1+1＝2n﹣1，
n n n﹣1
∵当n＝1时，a＝1也满足a＝2n﹣1，
1 n
∴a＝2n﹣1，n N*，
n
∴b＝log a＝log 2n﹣1＝n﹣1，n N*．
n 2 n 2
∈
（2）由（1）知，b＝n﹣1＝0+1•（n﹣1），
n
∈
故数列{b}是以0为首项，1为公差的等差数列，
n
①当n为奇数时，n﹣1为偶数，
T＝b2﹣b2+b2﹣b2+…+（﹣1）n+1b2
n 1 2 3 4 n
＝b2﹣b2+b2﹣b2+…+b 2﹣b 2+b2
1 2 3 4 n﹣2 n﹣1 n
＝（b+b）（b﹣b）+（b+b）（b﹣b）+…+（b +b ）（b ﹣b ）+b2
1 2 1 2 3 4 3 4 n﹣2 n﹣1 n﹣2 n﹣1 n
＝﹣（b+b+b+b+…+b +b ）+b2
1 2 3 4 n﹣2 n﹣1 n
＝﹣ +（n﹣1）2
＝ ；
②当n为偶数时，n﹣1，n+1均为奇数，
T＝b2﹣b2+b2﹣b2+…+（﹣1）n+1b2
n 1 2 3 4 n
＝b2﹣b2+b2﹣b2+…+b 2﹣b2
1 2 3 4 n﹣1 n
＝（b+b）（b﹣b）+（b+b）（b﹣b）+…+（b +b）（b ﹣b）
1 2 1 2 3 4 3 4 n﹣1 n n﹣1 n
＝﹣（b+b+b+b+…+b +b）
1 2 3 4 n﹣1 n
＝﹣
＝ ；
综上所述，可知：
T＝ ．
n
【知识点】数列的求和、组合及组合数公式
18.已知在（ ﹣ ）n的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是56：3．
（1）求展开式中的所有有理项；
（2）求展开式中系数绝对值最大的项．
（3）求n+9c +81c +…+9n﹣1c 的值．
【分析】（1）由 ： ＝56：3，解得n＝10，可得T ＝ •（﹣2）r• ，当5﹣ 为整数，r可取0，
r+1
6，由此可得展开式中的有理项．
（2）设第r+1项系数绝对值最大，则 ，由此解得r的值，可得系数绝对值最大的项．
（3）利用二项式定理化简n+9c +81c +…+9n﹣1c 为 ，即 ，计算可得结果．
【解答】解：（1）由第5项的系数与第3项的系数之比是 ： ＝56：3，解得n＝10．
因为通项：T ＝ •（﹣2）r• ，当5﹣ 为整数，r可取0，6，
r+1
于是有理项为T＝x5和T＝13440．
1 7
（2）设第r+1项系数绝对值最大，则 ．
解得 ，于是r只能为7．
所以系数绝对值最大的项为T＝﹣15360 ．
8（3）n+9c +81c +…+9n﹣1c
＝10+9 +92• +…+910﹣1•
＝
＝ ＝ ．
【知识点】二项式定理
19.某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成．
（1）选其中1人为学生会主席，有多少种不同的选法？
（2）若每年级选1人为校学生会常委，有多少种不同的选法？
（3）若要选出不同年级的两人参加市里组织的活动，有多少种不同的选法？
【分析】（1）选其中1人为学生会主席，各年级均可，利用分类计数原理求得结果．
（2）每年级选1人为校学生会常委，可分步从各年级分别选择，利用分步计数原理求得结果．
（3）首先按年级分三类“1，2年级”，“1，3年级”，“2，3年级”，再各类分步选择．
【解答】（1）N＝5+6+4＝15；（2）N＝5×6×4＝120；（3）N＝5×6+6×4+4×5＝74．
解：（1）选其中1人为学生会主席，各年级均可，分三类：N＝5+6+4＝15种；
（2）每年级选1人为校学生会常委，可分步从各年级分别选择，N＝5×6×4＝120种；
（3）要选出不同年级的两人参加市里组织的活动，首先按年级分三类“1，2年级”，“1，3
年级”，“2，3年级”，
再各类分步选择：N＝5×6+6×4+4×5＝74种．
【知识点】分步乘法计数原理、分类加法计数原理
20.甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是 和 ．假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；
每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响．
（1）求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率；
（2）求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；
（3）假设某人连续2次未击中目标，则停止射击．问：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？
【分析】（1）由题意知，两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；击中目标的概率分别是 和 ，射击
4次，相当于4次独立重复试验，根据独立重复试验和互斥事件的概率公式得到结果．
（2）两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次，表示相互独立的两个事
件同时发生，写出两个事件的概率，根据相互独立事件的概率公式得到结果．
（3）乙恰好射击5次后，被中止射击，表示最后两次射击一定没有射中，前两次最多一次没
击中，这几个事件之间是相互独立的，根据相互独立事件同时发生的概率得到结果．
【解答】解：（1）记“甲连续射击4次，至少1次未击中目标”为事件A，
1
由题意知两人射击是否击中目标，相互之间没有影响，
射击4次，相当于4次独立重复试验，
故P（A）＝1﹣P（ ）＝1﹣ ＝ ．
1
即甲射击4次，至少1次未击中目标的概率为 ；
（2）记“甲射击4次，恰好击中目标2次”为事件A，
2
“乙射击4次，恰好击中目标3次”为事件B，
2
P（A）＝ ＝ ，
2
P（B）＝ ＝ ．
2
由于甲、乙设计相互独立，故P（AB）＝P（A）P（B）＝ • ＝ ．
2 2 2 2
即两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率为 ；
（3）记“乙恰好射击5次后，被中止射击”为事件A，
3
“乙第i次射击为击中”为事件D，（i＝1，2，3，4，5），
i
则A＝DD （ ），且P（D）＝ ，
3 5 4 i
由于各事件相互独立，
故P（A）＝P（D）P（D）P（ ）P（ ）＝ × × ×（1﹣ × ）＝ ，
3 5 4
即乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是 ．
【知识点】排列、组合及简单计数问题、相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式
21.已知函数f（x）＝（1+x）n，n N*．
（1）当n＝8时，求展开式中系数∈的最大项；
（2）化简 ；
（3）定义： ，化简： ．
【分析】（1）系数最大的项即为二项式系数最大的项；
（2）提一个 后逆用二项式定理可得；
（3）倒序相加后逆用二项式定理可得．
【解答】解：（1）f（x）＝（1+x）8
∴系数最大的项即为二项式系数最大的项
T＝ x4＝70x4 ……………（4分）
5
（2）f（x）＝（1+x）n＝ + x+ x2+…+ xn﹣1+ xn
∴原式＝ （ 2n+ 2n﹣1+ 2n﹣2+…+ 20）
＝ （1+2）n＝ ……………（10分）
（3） ＝2 +3 +…+n +（n+1） ①
＝（n+1） +n +…+3 +2 ②
在①、②添加 ，则得
1+ ＝ +2 +3 +…+n +（n+1） ③
1+ ＝（n+1） +n +…+3 +2 +1× ④
+ 得：
2（1+ （i+1） ）＝（n+2）（ + + +…+ + ）＝（n+2）2n
③ ④
∴ （i+1） ＝（n+2）2n﹣1﹣1
【知识点】二项式定理
22.请阅读：当x＞1时，在等式 的两边对x求导，
得 ，
利用上述方法，试由等式（1+x）n＝ （x R，正整数n≥2），
（1）证明：n[（1+x）n﹣1﹣1]＝ ；（注： a
i
＝a∈1 +a
2
+，+a
n
）
（2）求 ；
（3）求 ．
【分析】（1）对所给的等式两边对x求导，化简可得结论．
（2）在（1）的结论中，令n＝10，x＝1，可得结果．
（2）将等式得 ，两边同乘以x，再对x求导，取n＝100，分别令x＝1，x＝﹣1，两式相加变形可得结论．
【解答】（1）证明：由 等式（1+x）n＝ （x R，正整数n≥2），
两边对x求导得 ，
∈
所以 ．
（2）在①式中，令n＝10，x＝1得 ＝10•29＝5120．
（3）将等式得 ，
两边同乘以x得 ，
两边对x求导得 ，
再取n＝100得 ＝100（1+100x）（1+x）98．
令x＝1得 ，
令x＝﹣1得 ，
两式相加得 ，
所以 ．
【知识点】二项式定理
