文档内容
第六章 计数原理（基础训练）A 卷
姓名： 班级：
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符
合题目要求的。
1．五个人站成一排，其中甲乙相邻的站法有（ ）。
18
A、 种
B、24种
36
C、 种
48
D、 种
【答案】D
A4
【解析】五个人站成一排，其中甲乙相邻，将甲乙看作一个大的元素与其他3人进行排列 4，
A2 A4 ⋅A2 =48
再考虑甲乙顺序为 2，故共 4 2 种站法，故选D。
1
(2x− ) 5
x x3
2． 的展开式中 项的系数为（ ）。
A、−80
B、−40
48
C、
80
D、
【答案】A
1
T =Cr ⋅(2x) 5−r ⋅(−1) r ⋅( ) r =Cr ⋅(−1) r ⋅25−r ⋅x5−2r
【解析】通项公式 r+1 5 x 5 ，令5−2r=3，解得r=1，
x3 C1 ⋅(−1) 1 ⋅24 =−80
∴展开式中 项的系数为 5 ，故选A。
3．某校从5名同学中选择3人分别参加数学、物理、化学竞赛，则不同选法种数是（ ）。
10
A、
30
B、
60
C、
125
D、
【答案】C
【解析】根据题意，某校从5名同学中选择3人分别参加数学、物理、化学竞赛，
A3 =60
选出的3人有顺序的区别，则有 5 种选法，故选C。
4．某网路新闻台做“一校一特色”访谈节目，分A、B、C三期播出，A期播出两间学校，B期、C期各播出1间学校， 现从8间候选学校中选出4间参与这三项任务，不同的选法共有（ ）。
140
A、 种
420
B、 种
840
C、 种
1680
D、 种
【答案】C
【解析】从8间候选学校中选出4间，共有方法
C
8
4 =70
种方法，4所选出2所，
C2 =6
共有方法 4 种方法，
再进行全排，共有方法
A
2
2
种方法，共有
70×6×2=840
种方法，故选C。
a a a
1 2 2022
5．若 (1−2x) 2022 =a 0 +a 1 ⋅x+a 2 ⋅x2 +¿⋅¿+a 2022 ⋅x2022 （x∈R），则 2 + 22 +¿⋅¿+ 22022 = （ ）。
A、−2
B、−1
C、0
D、2
【答案】B
1 a a a 1
x= a + 1 + 2 +¿⋅¿+ 2022 =(1−2× ) 2022 =0
【解析】令x=0，则 a 0 =1 ，再令 2 ，则 0 2 22 22022 2 ，
a a a
1 + 2 +¿⋅¿+ 2022 =−1
∴
2 22 22022
，故选B。
6． 5555 +10 被8除所得的余数是（ ）。
A、1
B、2
C、3
D、4
【答案】A
5555 +10=(56−1) 55 +10=C0 ×5655 ×(−1) 0 +C1 ×5654 ×(−1) 1 +¿⋅¿+C 55 ×560 ×(−1) 55 +10
【解析】 55 55 55 ，
其中所有含有 56 的项都能被8整除，只剩下 C 5 5 5 5 ×560 ×(−1) 55 +10=9 ，
被8除所得的余数是1，故选A。
7．汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝。如图所示的弦图
中，由四个全等的直角三角形和一个正方形构成。现有五种不同的颜色可供涂色，要求相邻的区域不能用
同一种颜色，则不同的涂色方案有（ ）。
180
A、192
B、
420
C、
480
D、
【答案】C
【解析】相邻的区域不能用同一种颜色，则涂5块区域至少需要3种颜色，
C3
若5块区域只用3种颜色涂色，则颜色的选法有 5，相对的两个直角三角形必同色，
C3 ⋅A3 =60
此时共有不同的涂色方案数为 5 3 （种），
C4
若5块区域只用4种颜色涂色，则颜色的选法有 5，相对的两个直角三角形必同色，
C4 ⋅C1 ⋅A4 =240
余下两个直角三角形不同色，此时共有不同的涂色方案数为 5 2 4 （种），
若5块区域只用5种颜色涂色，则每块区域涂色均不同，
A5 =120
此时共有不同的涂色方案数为 5 （种），
420
综上，共有不同的涂色方案数为 （种），故选C。
8．将六个数0、1、2、9、 19 、 20 将任意次序排成一行，拼成一个8位数，则产生的不同的8位数的个
数是（ ）。
498
A、
516
B、
534
C、
546
D、
【答案】A
【解析】将0、1、2、9、 19 、 20 的首位不为0的排列的全体记为A，
记为 |A| 为A的元素全数，则 |A|=5×A 5 5 =600 ，
将A中的2的后一项是0，且1的后一项是9的排列的全体记为B，
B=A
4
4 =24
，
将 A中 2的 后 一 项 是 0， 但 1的 后 一 项 不 是 9的 排 列 的 全 体 记 为 C，
C=A5 −B=A5 −A4 =96
5 5 4 ，
将A中1的后一项是9，但2的后一项不是0的排列的全体记为D，
D=4×A4 −B=4×A4 −A4 =72
4 4 4 ，
由B中排列产生的每一个8位数，恰对应B中的2×2=4个排列
（这样的排列中， 20 可与“2、0”互换， 19 可与“1、9”互换），
类似地，由C或D中排列产生的每个8位数，恰对应C或D中的2个排列，
因此满足条件的8位数的个数为：
|B| |C|+|D| 3|B| |C|+|D|
A=|A|−|B∪C∪D|+ + =|A|− − =600−18−48−36=498
4 4 4 4 ，故选A。
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9．若3男3女排成一排，则下列说法错误的是（ ）。
720
A、共计有 种不同的排法
120
B、男生甲排在两端的共有 种排法
180
C、男生甲、乙相邻的排法总数为 种
72
D、男女生相间排法总数为 种
【答案】BC
【解析】3男3女排成一排共计有
A
6
6 =720
种，
2A5 =240
男生甲排在两端的共有 5 种，
A2 ⋅A5 =240
男生甲、乙相邻的排法总数 2 5 种，
2A3 ⋅A3 =72
男女生相间排法总数 3 3 种，
故选BC。
(√2+√3x) n 256
10．若二项式 的展开式中各项的二项式系数之和为 ，则（ ）。
A、n=8
B、n=9
C、第5项为
2520x4
D、第5项为
1008√6x5
【答案】AC
【解析】∵二项式 (√2+√3x) n 的展开式中所有项的二项式系数之和为 256 ，∴ 2n =256 ，∴n=8，
(√2+√3x) 8 T =Cr ⋅(√2) 8−r ⋅(√3) r ⋅xr
∵二项式 的展开式的通项公式为 r+1 8 ，
T =C4 ⋅(√2) 4 ⋅(√3) 4 ⋅x4 =2520x4
∴ 5 8 ，故选AC。
11．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加 2022 年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、
司机四项工作可以安排，以下说法错误的是（ ）。
54
A、每人都安排一项工作的不同方法数为
A4 ⋅C1
B、每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为 5 4
C、若司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的方法数为 (C
5
3 ⋅C1
2
+
C2 ⋅C2 )⋅A3
5 3 3
D、每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工
C1 ⋅C2 ⋅A3 +C2 ⋅A3
作，则不同安排方案的种数是 3 4 3 3 3【答案】ABC
【解析】A选项，每人有四项工作可以安排，∴五人都安排一项工作的不同方法数为45
，错，
B选项，每项工作至少有一人参加，则有一项工作安排两人，其他三项工作各一人，
C1 ⋅C2 ⋅A3
∴共有 4 5 3，
A4 ⋅C1
而 5 4是先每项工作安排一人，还剩下一人在四项工作选择，这样会有重复，
比如：“甲、乙、丙、丁分别安排翻译、导游、礼仪、司机，然后戊安排翻译”
与“戊、乙、丙、丁分别安排翻译、导游、礼仪、司机，
然后甲安排翻译”重复计算了，错，
C1 ⋅C1 C2 ⋅C2
(C3
⋅
2 1
+
5 3 ⋅C1 )⋅A3
5 A2 A2 1 3
C选项，涉及到平均分组，为 2 2 ，
先分组后分配，
C
5
3 ⋅C1
2代表的是5人分成3人、1人、1人三组，
C
5
2 ⋅C
3
2
代表的是5人分成2人、2人、1人三组，然后三组人分配三项工作，乘以
A3
3，
然而分组的过程中和都有重复，
C3
比如：3人、1人、1人分组中先 5选择了甲、乙、丙三人一组，
C1
剩下丁、戊分两组只有一种分发，而不是 2种，错，
C1
D选项，分两类考虑，第一类：司机安排一人为 3，
C2
另外4人分3组为 4，
（4人选2人为一组，另外两人分两组只有一种分法），
A3 C1 ⋅C2 ⋅A3
然后三组人安排司机除外的三项工作 3，共 3 4 3，第
C2 ⋅A3
二类：司机安排两人 ，剩下3人安排另三项工作 ，共 3 3，
C1 ⋅C2 ⋅A3 +C2 ⋅A3
两类相加得 3 4 3 3 3，对，
故选ABC。
(1−x2 )⋅(x+2) 4 =a +a (x+1)+a (x+1) 2 +a (x+1) 3 +a (x+1) 4 +a (x+1) 5 +a (x+1) 6
12 ． 已 知 0 1 2 3 4 5 6 ， 则
（ ）。
a =0
A、 0
a =20
B、 3
a +a =0
C、 1 5
a +a +a +a =a +a +a
D、 0 2 4 6 1 3 5
【答案】ACDf(x)=(1−x2 )⋅(x+2) 4 a =f(−1)=0
【解析】记 ，则 0 ，
令t=x+1，则x=t−1，∴ a 3为 (2t−t2 )⋅(t+1) 4 的展开式中 t3 的系数，
(t+1) 4 Cr ⋅t4−r a =2C2 +(−1)×C3 =8
∵ 的通项为 4 ，∴ 3 4 4 ，
f(0)−f(−2)
a +a +a = =8
又 1 3 5 2 ，∴ a 1 +a 5 =0 ，
f(0)=a +a +a +a +a +a +a =16 a +a +a +a =8
0 1 2 3 4 5 6 ，则 0 2 4 6 ，
a +a +a +a =a +a +a
∴ 0 2 4 6 1 3 5，
故选ACD。
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
b
(ax+ ) n
13．二项式 x （a>0，b>0）的展开式中，设“所有二项式系数和”为A，“所有项的系数和”
为B，“常数项”值为C，若A=B=256 、C=70
，则含
x6
的项为 。
8x6
【答案】
b
【解析】依题得 2n =256 ，∴n=8，在 (ax+ x ) 8 的展开式中令x=1，则有 (a+b) 8 =256 ，∴
a+b=2，
b b
(ax+ ) n T =Cr ⋅(ax) 8−r ⋅( ) r =Cr ⋅a8−r ⋅br ⋅x8−2r
x r+1 8 x 8
又∵ 展开式的通项公式为 ，
令8−2r=0，∴r=4，∴ C 8 4 ⋅a4 ⋅b4 =70 ，∴ ab=1（可取）或 ab=−1（舍去），
当
ab=1时，由a+b=2得a=b=1，∴令8−2r=6，∴r=1，∴ T
2
=C1
8
⋅x6 =8x6
。
14．有3张都标着字母R，5张分别标着数字1、2、3、4、5的卡片，若任取其中4张卡片组成牌号，
则可以组成的不同牌号的总数等于 。（用数字作答）
500
【答案】
【解析】若牌号中不含字母R，则有
A
5
4 =5×4×3×2=120
种牌号，
若牌号中含一个字母R，则有
C
5
3 ⋅A
4
4 =240
种牌号，
若牌号中含两个字母R，则有
C
5
2 ⋅A2
4
=120
种牌号，
若牌号中含三个字母R，则有
C
5
1 ⋅A1
4
=20
种牌号，
∴可以组成的不同牌号的总数等于
120+240+120+20=500
。
(2x+√3) 4 =a +a⋅x+a⋅x2 +a ⋅x3 +a ⋅x4 (a +a +a ) 2 −(a +a ) 2 =
15．已知 0 1 2 3 4 ，则 0 2 4 1 3 。
【答案】1
【解析】令x=1，得
(2+√3) 4 =a
0
+a
1
+a
2
+a
3
+a
4，令x=−1，得
(−2+√3) 4 =a
0
−a
1
+a
2
−a
3
+a
4，
(a +a +a ) 2 −(a +a ) 2 =(a +a +a +a +a )⋅(a +a +a −a −a )
两式相加得 0 2 4 1 3 0 2 4 1 3 0 2 4 1 3
=(2+√3) 4 ⋅(−2+√3) 4 =(−1) 4 =1
。
16．如图给三棱柱
ABC−DEF
的顶点染色，定义由同一条棱连接的两个顶点叫相邻顶点，规定相邻顶点
不得使用同一种颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的染色方法有 。
264
【答案】
【解析】首先先给顶点A、B、C染色，有
A3
4
=24
种方法，
再给顶点D染色，①若它和点B染同一种颜色，点E和点C染相同颜色，点F就有2种方
法，
若点E和点C染不同颜色，则点E有2种方法，点F也有1种方法，
则D、E、F的染色方法一共有2+2×1=4种方法，
②若点D和点B染不同颜色，且与点C颜色不同，则点D有1种方法，
点E与点C颜色不同，则点E有1种方法，则点F有1种方法，
此时有1种方法，
若最后E与C相同，则F有2种方法，则共有2种方法，
点D与点C颜色相同，则点D有1种方法，则点E有2种方法，
则点F有2种方法，共有2×2=4种方法，
∴点D和点B染不同，颜色共有1+2+4=7种方法，
∴点D、E、F的染色方法一共有4+7=11
种，∴共有
24×11=264
种方法。
四、解答题：本题共7小题，共70分。应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
(
1 +√3 x2
)
n
17．（本小题满分10分）已知 √ 4 x 展开式中的倒数第三项的系数为 45 ，求：
x3
（1）含 的项；
（2）系数最大的项。
【解析】（1）由已知得：
C
n
n−2 =45
，即
C2
n
=45
，∴
n2 −n−90=0 ，解得n=−9（舍）或n=10
，
1 2 10−r 2
− − + r
T =Cr ⋅(x 4 ) 10−r ⋅(x3 ) r =Cr ⋅x 4 3
由通项公式得： r+1 10 10 ，
10−r 2
令 − 4 + 3 r=3 ，得r=6，∴含有 x3 的项是 T 7 =C 1 6 0 ⋅x3 =210x3 ； 5
分（2）∵此展开式共有11项，∴二项式系数最大项是第6项，
10−5 2 25
− + ×5
T =C5 ⋅x 4 3 =252x12
∴ 6 10 。 10
分
18．（本小题满分10分）甲、乙两人从4门课程中各选2门，求：
（1）甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有多少种？
（2）甲、乙所选的课程中至少有一门不同的选法有多少种？
【解析】（1）甲、乙两人从4门课程中各选2门，
且甲、乙所选课程中恰有1门相同的选法种数共有
C2
4
⋅C1
2
⋅C1
2
=24
种； 5分
（2）甲、乙两人从4门课程中各选两门不同的选法种数为
C2
4
⋅C2
4，
C2
又甲乙两人所选的两门课程都相同的选法种数为 4种，
C2 ⋅C2 −C2 =30
因此满足条件的不同选法种数为 4 4 4 种。 10
分
(3x−1) 8 =a⋅x8 +a⋅x7 +¿⋅¿+a⋅x+a
19．（本小题满分10分）设 8 7 1 0。求：
a +a +¿⋅¿+a
（1） 8 7 1；
a +a +a +a +a
（2） 8 6 4 2 0。
【解析】（1）令x=0，得
a
0
=1
， 1
分
令x=1得
(3−1) 8 =a
8
+a
7
+¿⋅¿+a
1
+a
0， 3
分
a +a +¿⋅¿+a =28 −a =256−1=255
∴ 8 7 1 0 ； 5
分
（2）令x=−1得
(−3−1) 8 =a
8
−a
7
+¿⋅¿−a
1
+a
0， 7分
{2 8 =a +a +¿⋅¿+a +a ¿¿¿¿
8 7 1 0 28 +48 =2(a +a +a +a +a )
联立 得 8 6 4 2 0 ， 9
分
1
a +a +a +a +a = (28 +48 )=32896
8 6 4 2 0 2
∴ 。 10
分
20．（本小题满分10分）7名师生站成一排照相留念。其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况
中，各有不同站法多少种。
（1）2名女生必须相邻；（2）4名男生互不相邻；
（3）若4名男生身高都不相等，按从高到低的一种顺序站；
（4）老师不站中间，女生不站两端。
A2 A6
【解析】（1）2名女生站在一起有 2种站法，视为一个元素与其余5人全排，有 6种排法，
A2 ⋅A6 =1440
∴有不同站法 2 6 种； 2
分
A3
（2）先站老师和女生，有 3种站法，再在老师和女生站位的间隔（含两端）处插男生，
A4 A3 ⋅A4 =144
每空一人，有插入方法 4种，∴共有不同站法 3 4 种； 4分
A4
（3）7人全排列中，4名男生不考虑身高顺序的站法有 4种，
A7
2× 7 =420
A4
而由高到低有从左到右，或从右到左的不同．∴共有不同站法 4 种； 6分
（4）中间和两侧是特殊位置可分类求解：
A1 ⋅A1 ⋅A5
①老师站两侧之一，另一侧由男生站，有 2 4 5种站法，
②两侧全由男生站，老师站除两侧和正中间之外的另外4个位置之一，
A2 ⋅A1 ⋅A4
有 4 4 4种站法，
A1 ⋅A1 ⋅A5 +A2 ⋅A1 ⋅A4 =960+1152=2112
∴共有不同站法 2 4 5 4 4 4 种。 10分
21．（本小题满分10分）从1到9的9个数字中取3个偶数4个奇数，试问：
（1）能组成多少个没有重复数字的七位数？
（2）上述七位数中，3个偶数排在一起的有几个？
（3）在（1）中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？
C3
【解析】（1）分三步完成：第一步，在4个偶数中取3个，有 4种情况，
C4
第二步，在5个奇数中取4个，有 5种情况，
A7
第三步，3个偶数和4个奇数进行排列，有 7种情况， 4分
C3 ⋅C4 ⋅A7 =100800
∴符合题意的七位数有 4 5 7 个； 6
分
（2）上述七位数中，3个偶数排在一起的有
C3
4
⋅C
5
4 ⋅A
5
5 ⋅A
3
3 =14400
个； 8
分
（3）上述七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有：
C3 ⋅C4 ⋅A4 ⋅A3 ⋅A2 =5760
4 5 4 3 2 个。 10
分2
(√x− ) n
22．（本小题满分10分）已知
x2
（
n∈N
+）的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是
10：1。
（1）求二项项系数之和；
（2）求展开式中各项系数的和；
3
（3）求展开式中含x2
的项。
C4 ⋅(−2) 4 10
n
=
C4 ⋅(−2) 4 C2 ⋅(−2) 2 C2 ⋅(−2) 2 1
【解析】由题意知，第五项系数为 n ，第三项的系数为 n ，则有 n ，
化简得 n2 −5n−24=0 ，解得n=−4（舍去）或n=8（可取）， 3
分
（1）二项项系数之和为
28 =256
； 5
分
（2）令x=1得各项系数的和为 (1−2) 8 =1 ； 7
分
8−5r
1
T =Cr ⋅(√x) 8−r ⋅(−1) r ⋅2r ⋅( ) r =Cr ⋅(−1) r ⋅2r ⋅x 2
（3）通项公式
r+1 8 x2 8
，
8−5r 3 3 3
=
令
2 2 ，解得r=1，故展开式中含x2
的项为
T
2
=−16x2
。 10
分
23．（本小题满分10分）用0、1、2、3、4这五个数字组成无重复数字的自然数。
（1）在组成的三位数中，求所有偶数的个数；
（2）在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹
301 423
数”，如 、 等都是“凹数”，试求“凹数”的个数；
（3）在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数。
【解答】（1）当末位是0时，十位和百位从4个元素中选两个进行排列有
A2
4
=12
种结果，
当末位不是0时，只能从2和4中选一个，百位从3个元素中选一个，
十位从3个元素中选一个，共有
A1
2
⋅A1
3
⋅A1
3
=18
种结果，
根据分类计数原理知共有
12+18=30
种结果； 3
分
（2）十位上的数为0时，有4×3=12
个，
十位上的数为1时，有3×2=6个，
十位上的数为2时，有2×1=2个，
根据分类计数原理知共有
12+6+2=20
种结果； 6
分（3）1和3两个奇数夹着0时，把这三个元素看做一个整体，
和另外两个偶数全排列，其中1和3之间还有一个排列，共有
2A
3
3 =12
种结果，
1和3两个奇数夹着2时，同前面类似，只是注意0不能放在首位，共有
2C1
2
⋅A
2
2 =8
，
当1和3两个奇数夹着4时，也有同样多的结果，共有
2C1
2
⋅A
2
2 =8
，
根据分类加法原理得到共有
12+8+8=28
种结果。 10
分
