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第十章 概率
（B 能力卷）
班级______ 姓名_______ 考号______
一、单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。每小题列出的四个选项中只有一
项是最符合题目要求的）
1．一个射手进行射击，记事件 =“脱靶”， =“中靶”， =“中靶环数大于4”，则在上述事件中，互斥
而不对立的事件是（ ）
A． 与 B． 与 C． 与 D．以上都不对
【答案】B
【详解】
射手进行射击时，事件 =“脱靶”， =“中靶”， =“中靶环数大于4”，
事件 与 不可能同时发生，并且必有一个发生，即事件 与 是互斥且对立，A不是；
事件 与 不可能同时发生，但可以同时不发生，即事件 与 是互斥不对立，B是；
事件 与 可以同时发生，即事件 与 不互斥不对立，C不是，显然D不正确.
故选：B
2．抛掷3枚质地均匀的硬币，记事件 {至少1枚正面朝上}， {至多2枚正面朝上}，事件 {没有
硬币正面朝上}，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
记事件 {1枚硬币正面朝上}， {2枚硬币正面朝上}， {3枚硬币正面朝上}，则 ，
，
显然 ， ， ，C不含于A.
故选：D
3．5张卡片上分别写有数字0，1，2，3，4，从中任意抽取一张，抽到的卡片上的数字为奇数的概率是（
）
A． B．
C． D．
【答案】C【详解】
解：5张卡片中卡片上的数字为奇数的有 张，从中任意抽取一张，抽到的卡片上的数字为奇数的概率是
；
故选：C
4．宝鸡市在创建“全国文明城市”活动中大力加强垃圾分类投放宣传．某居民小区设有“厨余垃圾”、
“可回收垃圾”、“其它垃圾”、“有害垃圾”四种不同的垃圾桶．一天，居民小陈提着上述分好类的垃
圾各一袋，随机每桶投一袋，则恰好有两袋垃圾投对的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
记“厨余垃圾”、“可回收垃圾”、“其它垃圾”、“有害垃圾”的垃圾桶分别为1，2，3，4，
小陈提的“厨余垃圾”、“可回收垃圾”、“其它垃圾”、“有害垃圾”分别为a，b，c，d，
每桶投一袋的不同投法有：
(a1，b2，c3，d4)，(a1，b2，c4，d3)，(a1，b3，c2，d4)，(a1，b3，c4，d2)，(a1，b4，c3，d2)，(a1，
b4，c2，d3)，
(a2，b1，c3，d4)，(a2，b1，c4，d3)，(a2，b3，c1，d4)，(a2，b3，c4，d1)，(a2，b4，c3，d1)，(a2，
b4，c1，d3)，
(a3，b1，c2，d4)，(a3，b1，c4，d2)，(a3，b2，c1，d4)，(a3，b2，c4，d1)，(a3，b4，c1，d2)，(a3，
b4，c2，d1)，
(a4，b1，c3，d2)，(a4，b1，c2，d3)，(a4，b2，c3，d1)，(a4，b2，c1，d3)，(a4，b3，c1，d2)，(a4，
b3，c2，d1)，共24个，它们等可能，
恰好有两袋垃圾投对的事件A有：
(a1，b2，c4，d3)，(a1，b3，c2，d4)，(a1，b4，c3，d2)，(a2，b1，c3，d4)，(a3，b2，c1，d4)，(a4，
b2，c3，d1)，共6个，
所以恰好有两袋垃圾投对的概率为 .
故选：D
5．从甲地开车到乙地共有 ， ， 三条路线可走，路线 堵车的概率为0.06，路线 堵车的概率为
0.09，路线 堵车的概率为0.12，且三条路线是否堵车相互独立，若小李从这三条路线中随机选一条，则
堵车的概率为（ ）
A．0.06 B．0.09 C．0.12 D．0.27
【答案】B
【详解】
因为路线是随机选的，所以选择每条路线的概率都是 ．选择走路线 且堵车的概率为 ，选择走路线 且堵车的概率为 ，
选择走路线 且堵车的概率为 ，
所以堵车的概率为 ．
故选：B
6．保险柜的密码由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的四个数字组成，假设一个人记不清自己的保险柜
密码，只记得密码全部由奇数组成且按照递增顺序排列，则最多输入2次就能开锁的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
密码全部由奇数组成且按照递增顺序排列的结果有： ， ，共5
个，它们等可能，
最多输入2次就能开锁的事件A，它是输入1次能开锁的事件 ，第2次输入才能开锁的事件 的和，它
们互斥，
， ，则 ，
最多输入2次就能开锁的概率是 .
故选：C
7．某地为方便群众接种新冠疫苗，开设了 ， ， ， 四个接种点，每位接种者可去任一个接种点接
种．若甲，乙两人去接种新冠疫苗，则两人不在同一接种点接种疫苗的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
甲，乙两人去 ， ， ， 四个接种点接种新冠疫苗的所有选择共有16种，
分别为： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ；
其中两人不在同一个接种点接种的情况有12种，从而有 .
故选：C．
8．数学多选题A，B，C，D四个选项，在给出的选项中，有多项符合题目要求.全都选对的得5分，部分
选对的得2分.有选错的得0分.已知某道数学多选题正确答案为BCD，小明同学不会做这道题目，他随机
地填涂了1个，或2个，或3个选项，则他能得分的概率为（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【详解】
解：随机地填涂了1个或2个或3个选项，共有 种涂法，
能得分的涂法为（BCD），（BC），（BD），（CD），B，C，D，共7种，
故他能得分的概率为 ．
二、多项选择题（本大题共4题，每小题5分，共计20分。每小题列出的四个选项中有多项
是符合题目要求的，多选或错选不得分）
9．豆瓣评分是将用户评价的一到五星转化为0～10的分值（一星2分，二星4分，三星6分，以此类推），
以得分总和除以评分的用户人数所得的数字.国庆爱国影片《长津湖》的豆瓣评分情况如图，假如参与评
价的观众中有97.6%的评价不低于二星，则下列说法正确的是（ ）
A．m的值是32%
B．随机抽取100名观众，则一定有24人评价五星
C．随机抽取一名观众，其评价是三星或五星的概率约为0.56
D．若从已作评价的观众中随机抽取3人，则事件“至多1人评价五星”与事件“恰有2人评价五星”是
互斥且不对立事件
【答案】ACD
【详解】
对A选项，参与评价的观众中有97.6%的评价不低于二星，
则 ，所以 ，故A正确；
对B选项，随机抽取100名观众，可能有 人评价五星，但不是一定的，故B错误；
对C选项，由A选项，评价是三星或五星的概率约为 ，故C正确；
对D选项，根据互斥事件和对立事件的定义可知，事件“至多1人评价五星”与事件“恰有2人评价五
星”是互斥且不对立事件，故D正确；
故选：ACD
10．分别投掷两枚质地均匀的骰子，设事件A为“两枚骰子的点数都是奇数”，事件B为“两枚骰子的点
数之和为奇数”，事件C为“两枚骰子的点数之和为偶数”，事件D为“两枚骰子的点数都是偶数”，
则（ ）
A．A与B为互斥事件 B．A与C为互斥事件
C．B与C为对立事件 D．A与D为对立事件【答案】AC
【详解】
投掷两枚质地均匀的骰子，共有三种情况，一奇一偶，两个奇数或两个偶数，选项A中，事件B“两枚骰
子的点数之和为奇数”则说明是一奇一偶，与事件A没有重叠，所以是互斥事件，选项A正确；选项B
中，事件A发生时，事件C同时发生，所以不是互斥事件，选项B错误；选项C中，两枚骰子点数之和
只有两种情况，奇数或者偶数，所以B与C为对立事件，选项C正确；选项D中，两枚骰子除了都是奇
数或者都是偶数，还有可能一奇一偶，所以不是对立事件，选项D错误
故选：AC
11．某次数学考试的一道多项选择题，要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得5分，部分
选对的得3分，有选错的得0分.”已知某选择题的正确答案是CD，且甲､乙､丙､丁四位同学都不会做，下
列表述正确的是（ ）
A．甲同学仅随机选一个选项，能得3分的概率是
B．乙同学仅随机选两个选项，能得5分的概率是
C．丙同学随机至少选择一个选项，能得分的概率是
D．丁同学随机至少选择两个选项，能得分的概率是
【答案】ABC
【详解】
对于A中，甲同学仅随机选一个选项，有A､B､C､D四种情况，能得3分的有C或D，有2种，所以能得3
分的概率是 ，故选项A正确；
对于B中，乙同学仅随机选两个选项有AB，AC，AD，BC，BD，CD共6种，能得5分的情况为CD只有
1种情况，所以能得5分的概率是 ，故选项B正确；
对于C中，丙同学随机至少选择一个选项，
选一个选项，有A､B､C､D共4种情况；
选两个选项有AB，AC，AD，BC，BD，CD共6种；
选三个选项有ABC，ABD，ACD，BCD共4种，
选四个选项有ABCD共1种，所以共有 种情况，
能得分有C､D､CD共3种情况，所以能得分的概率是 ，故选项C正确；
对于D中，丁同学随机至少选择两个选项，选两个选项有AB，AC，AD，BC，BD，CD共6种；选三个
选项有ABC，ABD，ACD，BCD共4种，选四个选项有ABCD共1种，所以共有 种情况，能
得分有CD共1种情况，所以能得分的概率是 ，故选项D错误.故选：ABC
12．从甲袋中摸出一个红球的概率是 ，从乙袋中摸出一个红球的概率是 ，从两袋各摸出一个球，下列
结论正确的是（ ）
A．2个球都是红球的概率为 B．2个球中恰有1个红球的概率为
C．至少有1个红球的概率为 D．2个球不都是红球的概率为
【答案】AB
【详解】
记从甲袋中摸出一个红球的事件为A，从乙袋中摸出一个红球的事件为B，则 ， ，A，B
相互独立，
2个球都是红球的事件为AB，则有 ，A正确；
2个球中恰有1个红球的事件为 ，则 ，B正确；
至少有1个红球的事件的对立事件是 ，则 ，所以至少有1个红
球的概率为 ，C不正确；
2个球不都是红球的事件是事件AB的对立事件，其概率为 ，D不正确.
三、填空题（每小题5分，共计20分）
13．抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），则Ⅰ号骰子的点数等于Ⅱ号骰子的点数的概率为
______.
【答案】
【详解】
记Ⅰ号和Ⅱ号骰子的点数为 ，则所有的基本事件构成的集合为：
，该集合中共有36个基本事件，
Ⅰ号和Ⅱ号骰子的点数相等时对应的基本事件的集合为 ，
记为 为“Ⅰ号和Ⅱ号骰子的点数相等”，则 ，
故答案为： .
14．一个三位数，百位、十位、个位上的数字依次记为 ， ， ( ， ， 互不相同)，当且仅当 ， ，中有两个数字的和等于剩下一个数字时，称这个三位数为“等和数”(如358等).现从1，2，3，4这四个
数字中任取三个组成无重复数字的三位数，则这个三位数为“等和数”的概率为__________.
【答案】 ##0.5
【详解】
从1，2，3，4中任取三个组成无重复数字的三位数试验有：123，124，132，134，142，143，213，
214，231，234，
241，243，312，314，321，324，341，342，412，413，421，423，431，432，共24个基本事件，它们
等可能，
三位数为“等和数”的事件A有：123，132，134，143，213，231，312，314，321，341，413，431，共
有12个基本事件，
所以三位数为“等和数”的概率 .
故答案为：
15．高一（11）班班主任准备安排A，B，C三位同学参与某一周的班级值日工作，其中周一周二安排一
位同学，周三周四安排一位同学，周五安排一位同学，周六周日不安排，则A同学周三在值日的可能性是
___________.
【答案】
【详解】
周一周二安排一位同学，周三周四安排一位同学，周五安排一位同学，周六周日不安排共有
周一周二 ，周三周四 ，周五 ；
周一周二 ，周三周四 ，周五 ；
周一周二 ，周三周四 ，周五 ；
周一周二 ，周三周四 ，周五 ；
周一周二 ，周三周四 ，周五 ；
周一周二 ，周三周四 ，周五 ， 种方法，
其中A同学在周三值日有
周一周二 ，周三周四 ，周五 ；
周一周二 ，周三周四 ，周五 ， 种方法，
则A同学周三在值日的可能性是 .
故答案为： .
16．一个质地均匀的正四面体，其四个面涂有不同的颜色，抛掷这个正四面体一次，观察它与地面接触的
颜色得到样本空间 {红，黄，蓝，绿}，设事件 {红，黄}，事件 {红，蓝}，事件 {黄，绿}，
则下列判断：①E与F是互斥事件；②E与F是独立事件；③F与G是对立事件；④F与G是独立事件．其中正确判断的序号是______（请写出所有正确判断的序号）．
【答案】②③
【详解】
{红}，则E与F不是互斥事件； 且 ，则F与G是对立事件；
，则E与F是独立事件； ，
，则F与G不是独立事件．
四、解答题（解答题需写出必要的解题过程或文字说明，共70分）
17．甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别是 ， 求；
(1)两人都成功破译的概率；
(2)密码被成功破译的概率．
【答案】(1) ；(2) .
【解析】(1)
解：记“甲译出密码”的事件为 ，“乙译出密码”的事件为 ，
则 ， ，
所以 .
则两人都成功破译的概率为 .
(2)
记“甲译出密码”的事件为 ，“乙译出密码”的事件为 ，“密码被成功破译”的事件为 ， ，
，
则事件 的对立事件的概率 ，事件 的对立事件的概率 ，
则甲乙两人都没有成功破译密码的概率
所以 .
则密码被成功破译的概率为 .
18．指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件．
(1)中国体操运动员将在下届奥运会上获得全能冠军．
(2)出租车司机小李驾车通过几个十字路口都将遇到绿灯．
(3)若x∈R，则x2＋1≥1.(4)抛一枚骰子两次，朝上面的数字之和小于2.
【解析】(1)
中国体操运动员将在下届奥运会上获得全能冠军可能发生，也可能不发生，所以是随机事件
(2)
出租车司机小李驾车通过几个十字路口都将遇到绿灯, 可能发生，也可能不发生，所以是随机事件
(3)
若x∈R，则x2＋1≥1，一定会发生，是必然事件
(4)
抛一枚骰子两次，朝上面的数字之和小于2，不可能发生，是不可能事件．
19．网购是目前很流行也很实用的购物方式．某购物网站的销售商为了提升顾客购物的满意度，统计了3
月份顾客在该网站的购物情况，根据顾客3月份在该网站的购物金额（单位：百元），按 ， ，
， ， ， 分成6组，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)估计顾客3月份在该网站购物金额的平均值；（各组数据以该组数据的中点值作代表）
(2)该购物网站的销售商采用分层抽样的方法从3月份在该网站的购物金额在 和 内的顾客中抽取
5人，再从这5人中随机抽取2人进行电话回访，求被抽取的2人中恰有1人3月份在该网站的购物金额
在 内的概率．
【答案】(1)5.1（百元）(2)
【解析】(1)
由题意可估计顾客3月份在该网站的购物金额的平均值
（百元）．
(2)
由频率分布直方图可知3月份在该网站的购物金额在 和 内的顾客的频率分别是0.3，0.2，则采
用分层抽样的方法从3月份在该网站的购物金额在 和 内的顾客中抽取的5人中，购物金额在
内的有3人，分别记为a，b，c；购物金额在 内的有2人，分别记为d，e．
从这5人中随机抽取2人的情况有ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共10种；其中符合条件的情况有ad，ae，bd，be，cd，ce，共6种．故所求概率 ．
20．某文具厂打算生产一种中学生使用的笔袋，但无法确定各种颜色的产量，于是该文具厂就笔袋的颜色
随机调查了5000名中学生，并在调查到1000名，2000名，3000名，4000名，5000名时分别计算了各种
颜色的频率，绘制的折线图如下：
(1)随着调查次数的增加，红色的频率如何变化？
(2)你能估计中学生选取红色的概率是多少吗？
(3)若你是该厂的负责人，你将如何安排生产各种颜色笔袋的产量？
【答案】(1)红色的频率越来越稳定在 (2)
(3)可安排生产蓝色、红色、绿色、紫色、及其它颜色的笔袋产量的比例大约为 （合理即
可）
【解析】(1)
解：根据折线图可知随着调查次数的增加，红色的频率越来越稳定在 ；
(2)解：由图可知，红色的频率基本在 附近浮动，所以中学生选取红色的概率是 ；
(3)解：由图可知，中学生选取蓝色、红色、绿色、紫色、及其它颜色的概率分别是 、 、 、 、
，故可安排生产蓝色、红色、绿色、紫色、及其它颜色的笔袋产量的比例大约为 （合理
即可）；
21．某中学一位高三班主任对本班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行调查，得到的统计数
据如下表所示．
积极参加班级工 不积极参加班级工
合计
作 作
学习积极性高 18 7 25
学习积极性不
6 19 25
高
合计 24 26 50
(1)如果随机调查这个班的一名学生，求事件A：抽到不积极参加班级工作且学习积极性不高的学生的概率；(2)若不积极参加班级工作且学习积极性高的7名学生中有2名男生，现从中抽取2名学生参加某项活动，
请用字母代表不同的学生，写出样本空间；
(3)在（2）的条件下求事件B：2名学生中恰有1名男生的概率．
【答案】(1) (2)答案见解析(3)
【解析】(1)
名学生中，不积极参加班级工作且学习积极性不高的学生有19人，
事件A：抽到不积极参加班级工作且学习积极性不高的学生的概率 ．
(2)不积极参加班级工作且学习积极性高的7名学生中有两名男生，设为A，B，另外五名女生设为a，b，
c，d，e，
现从中抽取两名学生参加某项活动，
用字母代表不同的学生列举出抽取的所有可能结果有21种，分别为：
AB，Aa，Ab，Ac，Ad，Ae，Ba，Bb，Bc，Bd，Be，ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de．
(3)
事件B：两名学生中恰有1名男生，
则事件B包含的基本事件有10种，分别为：
Aa，Ab，Ac，Ad，Ae，Ba，Bb，Bc，Bd，Be，
事件B：两名学生中恰有1名男生的概率 ．
22．为普及抗疫知识､弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加
两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲､乙胜出的概率分别
为 ， ；在第二轮比赛中，甲､乙胜出的概率分别为 ， .甲､乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响.
(1)从甲､乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？
(2)若甲､乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.
【答案】(1)派甲参赛获胜的概率更大(2)
【解析】(1)
设 “甲在第一轮比赛中胜出”， “甲在第二轮比赛中胜出” “乙在第一轮比赛中胜出”，
“乙在第二轮比赛中胜出”，则 “甲赢得比赛”， “乙赢得比赛”，
， ， ，
，
同理因为 ，
所以，派甲参赛获胜的概率更大.
(2)由（1）知，设 “甲赢得比赛”， “乙赢得比赛”，
， ；
于是 “两人中至少有一人赢得比赛”.
.
