2002年上海高考数学试卷（理）（自主命题）（解析卷）_数学高考真题试卷_旧1990-2007·高考数学真题_1990-2007·高考数学真题·PDF_上海

绝密★启用前 2002年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学试卷（理工农医类） （满分150分，考试时间120分钟） 考生注意 1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页. 2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答 题纸指定位置. 3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答 一律不得分. 4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 一、填空题（本大题满分为48分）本大题共有12题，每个空格填对得4分，否则一律得零分 。 1．若z∈C，且 (3+z)i=1 (i是虚数单位)，则z = . 2．已知向量a 和b  的夹角为120°，且|a |=2，|b  |=5，则（2a —b  ）· a = . 3．方程log (1—2·3x)=2x+1的解x= . 3 4．若正四棱锥的底面边长为2 3cm，体积为4cm3，则它的侧面与底面所成的二面角的大 小是 . 5．在二项式(1+3x)n和(2x+5)n的展开式中，各项系数之和分别记为a 、b ，n是正整数，则 n n a 2b lim n n = . n3a 4b n n 6．已知圆 (x+1)2+y2=1和圆外一点P (0，2)，过点P作圆的切线，则两条切线夹角的正切是 . 7．在某次花样滑冰比赛中，发生裁判受贿事件.竞赛委员会决定将裁判由原来的9名增至14 名，但只任取其中7名裁判的评分作为有效分.若14名裁判中有2个受贿，则有效分中没有受 贿裁判的评分的概率是 .（结果用数值表示） x t2 1 8．曲线 （t为参数）的焦点坐标是 . y  2t 1  9．若A、B两点的极坐标为A（4， ）、B（6，0），则AB中点的极坐标是 3 .（极角用反三角函数表示） 10．设函数f (x)=sin2x.若f (x+t)是偶函数，则t的一个可能值是 . 11．若数列{a }中，a =3，且a =a 2（n是正整数），则数列的通项公式a = . n 1 n+1 n n 12．已知函数y=f (x)（定义域为D，值域为A）有反函数y=f -1(x)，则方程f (x)=0有解x=a，且f (x)＞x（x∈D）的充要条件是y=f -1(x)满足 . 二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结 论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对 得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分。 13．如图，与复平面中的阴影部分（含边界）对应的复数集合是（ ）  5  5 （A）{z||z|=1, ≤argz≤ ,z∈C} ； （B）{z||z|≤1, ≤argz≤ ,z∈C} 6 6 6 6 第1页 | 共7页1 1 （C）{z||z|=1, Imz≥ ,z∈C} ； （D）{z||z|≤1, Imz≥ ,z∈C} 2 2 14．已知直线l 、m，平面α、β，且l ⊥α，mβ.给出下列四个命题：（1）若α∥β，则l ⊥ m ；（2）若l ⊥m，则α∥β；（3）若α⊥β，则l ⊥m；（4）若l ∥α，则α⊥β，其中正确命题的 个数是（ ） （A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个 15．函数y=x+sin|x|，x∈[—π，π]的大致图象是（ ） y y y y π π π π -π -π -π O π x -π O π x O π x O π x -π -π -π -π A B C D 16．一般地，家庭用电量（千瓦时）与气温（℃）有一定的关系.如图（1）表示某年12个 月中每月的平均气温，图（2）表示某家庭在12个月中每月的用电量.根据这些信息，以下 关于该家庭用电量与气温间关系的叙述中，正确的是（ ） （A）气温最高时，用电量最多 （B）气温最低时，用电量最少 （C）当气温大于某一值时，用电量随气温增高而增加； （D）当气温小于某一值时，用电量随气温降低而增加 O' A' D B' P O A 三、解答题（本大题满分86分）解答下列各题必须写出必要的步骤。 B 17．（本题满分12分）如右上图，在直三棱柱ABO— A/B/O/中，OO/=4，OA=4，OB=3，∠AOB=90°，D是线段A/B/的中点，P是侧棱BB/上的一 点.若OP⊥BD，求OP与底面AOB所成角的大小.（结果用反三角函数值表示） 18．（本题满分12分）已知点A（— 3，0）和B（ 3，0），动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2，点C的轨迹与直线 y=x—2交于D、E两点.求线段DE的长. 第2页 | 共7页19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分。   已知函数f (x)=x2+2x·tanθ—1，x∈[—1， 3]，其中θ∈（— ， ）. 2 2  （1）当θ= — 时，求函数y=f (x)的最大值与最小值； 6 （2）求θ的取值范围，使y=f (x)在区间[—1， 3]上是单调函数. 20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分。 某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售；同时，当顾客在该商场 内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券： 消费金额（元）的范围 [200，400） [400，500） [500，700） [700，900） … 获得奖券的金额（元） 30 60 100 130 … 根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠.例如，购买标价为400元的 商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为：400×0.2+30=110（元）.设购买商品得到的 购买商品获得的优惠额 优惠率= ，试问： 商品的标价 （1）购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？ （2）对于标价在[500，800]（元）内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可获得不小 1 于 的优惠率？ 3 21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满 分6分。 1 已知函数f (x)=a·bx的图象过点A（4， ）和B（5，1）. 4 第3页 | 共7页（1）求函数f (x)的解析式； （2）记a =log f (n)，n是正整数，S 是数列{a }的前n项和，解关于n的不等式a S ≤0； n 2 n n n n （3）对于（2）中的a 与S ，整数104是否为数列{ a S n n n n }中的项？若是，则求出相应的项数；若不是，则说明理由. 22．（本小题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题 满分6分。 x(x1) (xm1) 规定Cm=  ，其中x∈R，m是正整数，且C0=1，这是组合数 x m! x Cm（n、m是正整数，且m≤n）的一种推广. n （1）求C5 的值； 15 （2）组合数的两个性质：①Cm=Cnm；②Cm+Cm1=Cm . n n n n n1 是否都能推广到Cm（x∈R，m是正整数）的情况？若能推广，则写出推广的形式并给 x 出证明；若不能，则说明理由； （3）已知组合数Cm是正整数，证明：当x∈Z，m是正整数时，Cm∈Z. n x 第4页 | 共7页2002年全国普通高等学校招生统一考试 理科数学参考答案（上海卷） 1 4 3 一、1.—3—i; 2.13; 3.—1; 4.30°； 5. ； 6. ； 7. ； 2 3 13 3  3 8.（0，1）； 9.（ 19 ，arctan ）； 10. 或 … 11.32n1 4 4 4 12.f -1(0)=a,且f -1 (x)＜x (x∈A)或y= f -1 (x)的图象在直线y=x的下方，且与y轴的交点为(0，a). 二、DBCC 三、17. [解法一] 如图,以 点为原点建立空间直角坐标系 由题意，有 3 设 ，则BD{ ,2,4},OP{3,0,z} 2 9 因为 BDOP   4z  0 2 因为 平面AOB 3 3 是OP与底面AOB所成的角 tgPOB POBarctg 8 8 z [解法二]取 中点E，连结DE、BE，则 O’ A’ 平面 D 是BD在平面 内的射影。 B’ 又因为 由三垂线定理的逆定理，得 在矩形 中，易得 P O A y 得 B （以下同解法一） x O’ A’ 3 E D ∠POB=arctan . 8 B’ 18. [解] 设点C（x,y），则 根据双曲线的定义，可知点C的轨迹是双曲线 P O A B 由 第5页 | 共7页故点C的轨迹方程是 由 ，得 因为 ，所以直线与双曲线有两个交点。 设 、 ，则 故  2 (x x )2 4x x 4 5 1 2 1 2  2 3 3 4 19. [解] （1）当 时 f(x) x2  x1(x )2  , x[1, 3] 6 3 3 3 3 4 2 3 x 时， f(x)的值最小为 ； 当x = - 1 时， f(x)的值最大为 3 3 3 （2）函数 f(x)(xtan)2 1tan2图像的对称轴为xtan。 ∵ y  f(x)在区间[1, 3]上是单调递增函数， ∴ tan1或tan 3，即 tan1或tan 3     因此，θ的取值范围是( , ) [ , )  2 3 4 2 20. [解] （1） （2）设商品的标价为x元 则 ，消费额： 由已知得（I） 或（II） 不等式组（I）无解，不等式组（II）的解为 因此，当顾客购买标价在[625，750]元内的商品时，可得到不小于 的优惠率。 21. [解] （1）由 ，得 故 （2）由题意 第6页 | 共7页由 得 ，即 故 （3） ， ， ， 当 时， 当 时， 因此，96不是数列 中的项。 22. [解] （1） （2）性质①不能推广。例如取x= 2；C1 有意义，但C 21无意义；性质②能 2 2 推广，它的推广形式是Cm Cm1 Cm ，xR，m是正整数，事实上，当m = 1时，有 x x x1 Cm Cm1  x1C1 x x x1 当 m2时， x(x1)(x2)(xm1) x(x1)(x2)(xm2) Cm Cm1   x x m! (m1)! = x(x1)(x2)(xm2) xm1 x(x1)(xm2)(x1) ( 1) Cm (m1)! m m! x1 （3）当xm时，组合数Cm∈Z 。当0 xm时，Cm= 0∈Z 。 x x 当x0时， xm10,  x(x1)(xm1) (xm1)(x1)(x) Cm  (1)m (1)mCm Z x m! m! xm1 第7页 | 共7页