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教学质量检测试卷
高二数学
一､单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共计40分）
1. 向量 ，向量 ，若 ，则实数 （ ）
A. B. 1 C. D.
【1题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】由空间向量垂直的坐标表示列方程即可求解.
【详解】因为向量 ，向量 ，若 ，
则 ，解得： ，
故选：C.
2. 如图，在四面体 中， ， 分别是 ， 的中点，则 （ ）
A. B.
C. D.
【2题答案】
【答案】A
学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】利用向量的加法法则直接求解.
【详解】 在四面体 中， ， 分别是 ， 的中点，
故选：A．
3. 以 轴为对称轴，抛物线通径的长为8，顶点在坐标原点的抛物线的方程是（ ）
A. B.
C. 或 D. 或
【3题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】由分焦点在 轴的正半轴上和焦点在 轴的负半轴上，两种情况讨论设出方程，根据 ，即
可求解.
【详解】由题意，抛物线的顶点在原点，以 轴为对称轴，且通经长为8，
当抛物线的焦点在 轴的正半轴上时，设抛物线的方程为 ，
可得 ，解得 ，所以抛物线方程为 ；
当抛物线的焦点在 轴的负半轴上时，设抛物线的方程为 ，
可得 ，解得 ，所以抛物线方程为 ，
所以所求抛物线的方程为 .
故选：C.
4. 圆 关于直线 对称，则 的最小值是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【4题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】先求出圆的圆心坐标，根据条件可得直线过圆心，从而可得 ，然后由
，展开利用均值不等式可得答案.
【详解】由圆 可得标准方程为 ，
因为圆 关于直线 对称，
该直线经过圆心 ，即 ， ，
，
当且仅当 ，即 时取等号，
故选：C.
5. 某研究所计划建设n个实验室，从第1实验室到第n实验室的建设费用依次构成等差数列，已知第7实
验室比第2实验室的建设费用多15万元，第3实验室和第6实验室的建设费用共为61万元.现在总共有建
设费用438万元，则该研究所最多可以建设的实验室个数是（ ）
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
【5题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】根据等差数列通项公式，列出方程组 ，求出 的值，进而求出令
根据题意令 ，即可求解.
学科网（北京）股份有限公司【详解】设第n实验室的建设费用为 万元，其中 ，则 为等差数列，设公差为d，
则由题意可得 ，解得 ，则 .
令 ，即 ，解得 ，又 ，所以 ， ，
所以最多可以建设12个实验室.
故选：C.
6. 已知等比数列 的各项均为正数，且 ，则
（ ）
A. B. C. D.
【6题答案】
【答案】B
【解析】
【分析】利用对数的运算性质，结合等比数列的性质可求得结果.
【详解】 是各项均为正数的等比数列， ，
， ，
.
故选：B
的
7. 从直线 上 动点 作圆 的两条切线，切点分别为 、 ，则 最大时，
四边形 （ 为坐标原点）面积是（ ）
A. B. C. D.
【7题答案】
【答案】B
【解析】
学科网（北京）股份有限公司【分析】分析可知当 时， 最大，计算出 、 ，进而可计算得出四边形 （
为坐标原点）面积.
【详解】圆 的圆心为坐标原点 ，连接 、 、 ，则 ，
设 ，则 ， ，则 ，
当 取最小值时， ，此时 ，
， ， ，故 ，
此时， .
故选：B.
8. 已知双曲线 的左右焦点分别为 、 ，过点 的直线交双曲线右支于A、B两点，
若 是等腰三角形，且 ，则 的周长为（ ）
A. B. C. D.
【8题答案】
【答案】A
学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】
设 ， ．根据双曲线的定义和等腰三角形可得 ，再利用余弦定理可求得 ，从而
可得 的周长.
【详解】由双曲线 可得 ．
设 ， ．则 ， ，
所以 ， ．
因为 是等腰三角形，且 ，
所以 ，即 ，所以 ，
所以 ， ，
在 中，由余弦定理得 ，
即 ，
所以 ，解得 ，
的周长
．
故选：A．
【点睛】关键点点睛：根据双曲线的定义求解是解题关键.
二､多选题：（本题共4个小题，每小题5分，共20分，有多项符合题目要求，全部选对的
得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.）
9. 已知M，A，B，C四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使 成为空间的一
学科网（北京）股份有限公司个基底的是（ ）
A. B.
C. D.
【9题答案】
【答案】AC
【解析】
【分析】根据基底的性质，结合各选项中向量的线性关系、空间向量基本定理判断M、A、B、C是否共面，
即可知 是否能成为空间基底.
【详解】A：因为 ，且 ，利用平面向量基本定理知：点M不在
平面ABC内，向量 能构成一个空间基底；
B：因为 ，利用平面向量基本定理知：向量 共面，不能构成一个空间基底；
C：由 ，利用平面向量基本定理和空间平行六面体法知：OM是以点
O为顶点的对角线，向量 能构成一个空间基底；
D：由 ，根据平面向量的基本定理知：向量 共面，不能构成空间的一个
基底.
故选：AC.
10. 圆 和圆 的交点为A，B，则有（ ）
A. 公共弦 所在直线方程为 B. 线段 中垂线方程为
C. 公共弦 的长为 D. P为圆 上一动点，则P到直线 距离的最大
学科网（北京）股份有限公司值为
【10题答案】
【答案】ABD
【解析】
【分析】两圆方程作差即可求解公共弦AB所在直线方程，可判断A；由公共弦所在直线的斜率以及其中
圆 的圆心即可线段AB中垂线方程，可判断B；求出圆心 到公共弦所在的直线方程的距离，利用几何
法即可求出弦长，可判断C；求出圆心 到公共弦AB所在直线方程的距离，加上半径即可判断D.
【详解】对于A，由圆 与圆 的交点为A，B，
两式作差可得 ，
即公共弦AB所在直线方程为 ，故A正确；
对于B，圆 的圆心为 ， ，
则线段AB中垂线斜率为 ，
即线段AB中垂线方程为： ，整理可得 ，故B正确；
对于C，圆 ，圆心 到 的距离为
，半径
所以 ，故C不正确；
对于D，P为圆 上一动点，圆心 到 的距离为 ，半径 ，即P到直线AB距
离的最大值为 ，故D正确.
学科网（北京）股份有限公司故选：ABD
11. 已知数列{a}的n项和为 ，则下列说法正确的是（ ）
n
A. B. S 为S 的最小值
16 n
C. D. 使得 成立的n的最大值为33
【11题答案】
【答案】AC
【解析】
【分析】根据已知条件求得 ，结合等差数列前 项和公式确定正确选项.
【详解】 ，
当 时， ，
当 时， ， 也符合上式，所以
，A正确.
由于 开口向下，对称轴为 ，所以 是 的最大值，B错误.
由 解得 ，
所以 ，C正确.
，所以使 成立的 的最大值为 ，D错误.
故选：AC
12. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， 且 ，点 在椭圆内
部，点 在椭圆上，则以下说法正确的是（ ）
A. 的最小值为
学科网（北京）股份有限公司B. 椭圆 的短轴长可能为2
C. 椭圆 的离心率的取值范围为
D. 若 ，则椭圆 的长轴长为
【12题答案】
【答案】ACD
【解析】
【分析】A. 将 ，利用椭圆的定义转化为 求解；
B.假设椭圆 的短轴长为2，则 ，与点 在椭圆的内部验证；
C. 根据点 在椭圆内部，得到 ，又 ，解得 ，再由 求解；
D. 根据 ，得到 为线段 的中点，求得 坐标，代入椭圆方程求解.
【详解】A. 因为 ，所以 ，所以
，当 ，三点共线时，取等号，故正确；
B.若椭圆 的短轴长为2，则 ，所以椭圆方程为 ， ，则点 在椭圆外，
故错误；
C. 因为点 在椭圆内部，所以 ，又 ，所以 ，所以 ，
即 ，解得 ，所以 ，所以 ，
所以椭圆 的离心率的取值范围为 ，故正确；
学科网（北京）股份有限公司D. 若 ，则 为线段 中点，所以 ，所以 ，又 ，即
的
，解得 ，所以 ，所以椭圆
的长轴长为 ，故正确.
故选：ACD
【点睛】本题主要考查椭圆的定义，点与椭圆的位置关系以及椭圆的几何性质，还考查了数形结合的思想
和运算求解的能力，属于中档题.
三､填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13. 已知等比数列 满足 ，则 _________．
【13题答案】
【答案】84
【解析】
【分析】设公比为q，求出 ，再由通项公式代入可得结论．
【详解】设公比为q，则 ，解得
所以 ．
故答案为：84．
14. 已知圆 ，圆 与 轴相切，与圆 外切，且圆心 在直线 上，
则圆 的标准方程为________．
【14题答案】
【答案】
【解析】
【分析】
根据题干求得圆 的圆心及半径，再利用圆 与 轴相切，与圆 外切，且圆心 在直线 上确
学科网（北京）股份有限公司定圆 的圆心及半径.
【详解】圆的标准方程为 ，所以圆心 ，半径为 ．
由圆心 在直线 上，可设 ．
因为 与 轴相切，与圆 外切，
于是圆 的半径为 ，从而 ，解得 ．
因此，圆 的标准方程为 ．
故答案为：
【点睛】判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代
数法．两圆相切注意讨论内切外切两种情况.
15. 已知 ， ，且 与 的夹角为钝角，则x的取值范围是___.
【15题答案】
【答案】 ∪
【解析】
【分析】根据题意得出 且 与 不共线，然后根据向量数量积的定义及向量共线的条件求出x的
取值范围.
【详解】∵ 与 的夹角为钝角， 且 与 不共线，
即 ，且 ，
解得 ，且 ，
∴x的取值范围是 ∪ .
学科网（北京）股份有限公司故答案为： ∪ .
16. 如图，椭圆 的左右焦点为 ， ，以 为圆心的圆过原点，且与椭圆 在第一象限交于点 ，若
过 ､ 的直线 与圆 相切，则直线 的斜率 ______；椭圆 的离心率 ______.
【16题答案】
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】
根据直角三角形的性质求得 ，由此求得 ，结合椭圆的定义求得离心率.
【详解】连接 ，由于 是圆 的切线，所以 .
在 中， ，
所以 ，所以 ，所以直线 的斜率 .
，
根据椭圆的定义可知 .
故答案为： ；
学科网（北京）股份有限公司【点睛】本小题主要考查椭圆的定义、椭圆的离心率，属于中档题.
四､解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
17. 直线 经过两直线 和 的交点．
（1）若直线 与直线 平行，求直线 的方程；
（2）若点 到直线 的距离为 ，求直线 的方程．
【17~18题答案】
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】（1）由题意两立方程组，求两直线的交点的坐标，利用两直线平行的性质，用待定系数法求出
的方程．
（2）分类讨论直线 的斜率，利用点到直线的距离公式，用点斜式求直线 的方程．
【小问1详解】
解：由 ，解得 ，
所以两直线 和 的交点为 ．
当直线 与直线 平行，设 的方程为 ，
把点 代入求得 ，
学科网（北京）股份有限公司可得 的方程为 ．
【小问2详解】
的
解：斜率不存在时，直线 方程为 ，满足点 到直线 的距离为5．
当 的斜率存在时，设直限 的方程为 ，即 ，
则点 到直线 的距离为 ，求得 ，
故 的方程为 ，即 ．
综上，直线 的方程为 或 ．
18. 已知等差数列 满足： ， ，数列 的前n项和为 ．
（1）求 及 ；
（2）设 是首项为1，公比为3的等比数列，求数列 的前 项和
【18题答案】
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】(1)先根据已知求出 ，再求 及 .(2)先根据已知得到 ，再利用分组
求和求数列 的前 项和 .
【详解】（1）设等差数列 的公差为d，因为 ， ，所以
， 解得 ，
所以 ；
学科网（北京）股份有限公司= = .
（2）由已知得 ，由（1）知 ，所以 ，
= .
【点睛】(1)本题主要考查等差数列的通项和前n项和求法，考查分组求和和等比数列的求和公式，意在考
查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力.(2) 有一类数列 ，它既不是等差数列，也不是等比
数列，但是数列 是等差数列或等比数列或常见特殊数列，则可以将这类数列适当拆开，可分为
几个等差、等比数列或常见的特殊数列，然后分别求和，再将其合并即可.这叫分组求和法.
19. 如图，在直四棱柱 中，
（1）求二面角 的余弦值；
（2）若点P为棱 的中点，点Q在棱 上，且直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求
的长．
【19题答案】
【答案】（1） ，（2）
学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】（1）推导出 ，以A为原点，分别以 ， ， 所在的直
线为 轴， 轴， 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求二面角 的余弦值
（2）设 ，则 ，求出平面 的法向量，利用空间向量求出 的长
【详解】解（1）在直四棱柱 中，
因为 平面 ， 平面 ， 平面 ，
所以
因为 ，所以以A为原点，分别以 ， ， 所在的直线为 轴， 轴， 轴， 建立如图
所示的空间直角坐标系，
因为 ，
所以 ,
所以 ，
设平面 的一个法向量为 ，则
，令 ，则 ，
因为 平面 ，所以平面 的一个法向量为 ，
设二面角 的平面角为 ，由图可知 为锐角，
所以二面角 的余弦值为
（2）设 ，则 ，
学科网（北京）股份有限公司因为点 为 的中点，所以 ，
则 ，
的
设平面 一个法向量为 ，则
，令 ，则 ，
设直线 与平面 所成角的大小为 ，
因为直线 与平面 所成角的正弦值为 ，
所以 ，
解得 或 （舍去）
所以
【点睛】关键点点睛：此题考查二面角的求法，考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位
置关系等知识，考查运算能力，解题的关键是根据是建立空间直角坐标系，利用空间向量求解，属于中档
题
学科网（北京）股份有限公司20. 已知椭圆 ： 过点 ，且离心率 ．
（Ⅰ）求椭圆 的标准方程；
（Ⅱ）设 的左、右焦点分别为 ， ，过点 作直线 与椭圆 交于 ， 两点， ，求
的面积．
【20题答案】
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） .
【解析】
【分析】（Ⅰ）根据已知点，离心率以及 列方程组，解方程组可得 的值即可求解；
（Ⅱ）设 ， ，直线 的方程为 ，联立直线与椭圆方程消去 ，可得 ，
，利用向量数量积的坐标表示列方程可得 的值，计算 ，利用面积公式计算
即可求解.
【详解】（Ⅰ）将 代入椭圆方程可得 ，即 ①
因为离心率 ，即 ，②
由①②解得 ， ，
故椭圆 的标准方程为 ．
（Ⅱ）由题意可得 ， ，设直线 的方程为 ．
学科网（北京）股份有限公司将直线 的方程代入 中，得 ，
设 ， ，则 ， ．
所以 ， ，
所以
，
由 ，解得 ，
所以 ， ，
因此 ．
21. 已知数列 满足 ， ．
（1）设 ，求证数列 为等差数列，并求数列 的通项公式；
（2）设 ，数列 的前n项和为 ，是否存在正整数m，使得 对任意的
都成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，试说明理由．
【21题答案】
学科网（北京）股份有限公司【答案】（1） ；（2）存在，3．
【解析】
【分析】(1)结合递推关系可证得b －b 1，且b ＝1，可证数列{b}为等差数列，据此可得数列 的
n+1 n 1 n
通项公式；
(2)结合通项公式裂项有 求和有 ，再结合条件可得
，即求．
【详解】（1）证明：∵ ，
又由a＝2，得b＝1，所以数列{b}是首项为1，公差为1的等差数列，
1 1 n
所以b＝1+(n－1)×1＝n，
n
由 ，得 ．
（2）解：∵ ， ，
所以 ，
依题意，要使 对于n∈N*恒成立，
只需 ，解得m≥3或m≤-4．
又m＞0，所以m≥3，
所以正整数m的最小值为3．
22. 如图，方程为 的抛物线 ，其上一点 到焦点 的距离为 ，直线 与 交于 、
学科网（北京）股份有限公司两点（点 在 轴左侧，点 在 轴右侧），与 轴交于 点.
（1）求抛物线 的方程；
（2）若 ，求证直线 过定点，并求出定点坐标；
（3）若 ， ，求直线 的斜率 的值.
【22题答案】
【答案】（1） ；（2）证明见解析，定点为 ；（3） .
【解析】
【分析】
（1）本题首先可根据抛物线方程得出准线方程为 ，然后根据抛物线定义得出 ，解得 的
值，即可得出结果；
（2）本题首先可设直线 的方程为 ，然后联立直线方程与抛物线方程，得出 、
，从而得出 ，最后根据 即可求出 的值以及直线经过的定点坐标；
（3）本题首先可以设直线 的方程为 ，与抛物线方程联立得出 ，然后得出直线 方
程，与抛物线方程联立得出 ，最后根据 即可求出斜率 的值.
【详解】（1）因为抛物线 的方程为 ，
学科网（北京）股份有限公司所以抛物线 的准线方程为 ，
因为抛物线 上一点 到焦点 的距离为 ，
所以结合抛物线定义易知， ，解得 ，
故抛物线 的方程为 ， .
（2）由题意易知直线 的斜率定存在，
设直线 的方程为 ，
联立 ，整理得 ，
设 ， ，则 ， ，
故 ，
为
因 ，
所以 ，即 ，解得 ，
故直线 的方程为 ，过定点 .
（3）设直线 的方程为 ，
联立 ，整理得 ，解得 或 ， ，
则 ，直线 方程为 ，
联立 ，整理得 ，
解得 或 ， ，
学科网（北京）股份有限公司则 ， ，
因为 ，所以 ，解得 ，
结合图像易知， ，即直线 的斜率 的值为 .
【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线定义的应用以及直线与抛物线相交的相关问题的求解，抛物线的定
义为到定点和定直线的距离相等的点的轨迹，考查韦达定理的应用，考查向量数量积的坐标表示以及利用
向量垂直求参数，考查计算能力，考查函数方程思想，是难题.
学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司
