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大理州 2024 届高中毕业生第一次复习统一检测
数 学
（全卷四个大题，共22个小题，共6页；满分150分，考试用时120分钟）
考生注意：
1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡
上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条
形码.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1. 已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 复平面内，复数z对应的点的坐标是 ，则z的共轭复数 （ ）
A. B. C. D.
在
3. 中， ，则 （ ）
A. B. C. D.
4. 我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天
池盆盆口直径为36寸，盆底直径为12寸，盆深18寸.若某次下雨盆中积水的深度恰好是盆深的一半，则
该天池盆中水的体积为（ ）
A. 立方寸 B. 立方寸 C. 立方寸 D. 立方寸
5. 直线 与椭圆C： 的交点在x轴上的射影恰好是椭圆的焦点，则椭圆C的离心率为（
）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
6. 函数 ，若不等式 对 恒成立，且
的图像关于 对称，则 的最小值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7. 已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系正确的是（ ）
.
A B. C. D.
8. 已知三棱锥 中， ， ，三棱锥 的外接球的表面积为 ，则
三棱锥 体积的最大值为（ ）
A. B. C. D. 2
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题所给的四个选项中，有多
项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
9. 如图，正方体 的棱长为1，则下列四个命题正确的是（ ）
A. 正方体 的内切球的半径为
B. 两条异面直线 和 所成的角为
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学科网（北京）股份有限公司C. 直线BC与平面 所成的角等于
D. 点D到面 的距离为
10. 已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 有极大值 B. 有极小值
C. 无最大值 D. 在 上单调递增
11. 过抛物线C： 上一点 作两条相互垂直的直线，与C的另外两个交点分别为M、N，
则（ ）
的
A. C 准线方程是
B. 过C的焦点的最短弦长为12
C. 直线 过定点
D. 当点A到直线 的距离最大时，直线 的方程为
12. 已知函数 的零点为 ，函数 的零点为 ，其中 ，则下列各
式成立的是（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 的展开式中 的系数为______（用数字作答）.
14. 已知正项数列 满足：对任意的m， ，都有 ，且 ，则 ______.
15. 云南省大理州于2023年5月4日至10日成功举办了三月街民族节活动.在活动期间，有6名志愿者报
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学科网（北京）股份有限公司名参加了三月街民族节志愿服务活动，活动结束后6名志愿者排成一排合影，则甲志愿者不在两边，乙、
丙志愿者相邻的概率为______.
16. 已知圆C： ，过点 的相互垂直的两条直线分别交圆 于点 和
，则四边形 面积的最大值为______.
四、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 记 为数列 前n项和，已知 ， 是公差为1的等差数列.
的
（1）求 的通项公式；
（2）证明： .
18. 如图，在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．已知 ， ， ，
且 为 边上的中线， 为 的角平分线．
（1）求 及线段 的长；
（2）求 的面积．
19. 如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形， ， ，侧面 底面
， ， .
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学科网（北京）股份有限公司（1）若 的中点为E，求证： 平面 ；
（2）若 ，求平面 与平面 的夹角的余弦值.
20. 为深入学习党的二十大精神，激励青年学生积极奋发向上.某学校团委组织学生参加了“青春心向党，
奋进新时代”为主题的知识竞赛活动，并从中抽取了200份试卷进行调查，这200份试卷的成绩（卷面共
100分）频率分布直方图如图所示.
的
（1）用样本估计总体，试估计此次知识竞赛成绩 50%分位数；
（2）将此次竞赛成绩 近似看作服从正态分布 （用样本平均数和标准差S分别作为 ， 的近
似值），已知样本的平均数约为80.5，标准差 .现从该校参与知识竞赛的所有学生中任取100人，
记这100人中知识竞赛成绩超过88分的学生人数为随机变量X，求X的数学期望；
（3）从得分区间 和 的试卷中用分层抽样的方法抽取10份试卷，再从这10份样本中随机
抽测3份试卷，若已知抽测的3份试卷来自于不同区间，求抽测3份试卷有2份来自区间 的概率.
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学科网（北京）股份有限公司参考数据：若 ，则 ， ，
.
21. 已知双曲线 ： ，其渐近线方程为 ，点 在 上.
（1）求双曲线 的方程；
（2）过点 的两条直线AP，AQ分别与双曲线 交于P，Q两点（不与点A重合），且两条直线的
斜率之和为1，求证：直线PQ过定点.
22. 已知函数 .
（1）判断函数 的单调性；
（2）已知函数 ，其中 ，若存在 ，证明：
.
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学科网（北京）股份有限公司大理州 2024 届高中毕业生第一次复习统一检测
数 学
（全卷四个大题，共22个小题，共6页；满分150分，考试用时120分钟）
考生注意：
1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡
上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条
形码.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
【1题答案】
【答案】B
【2题答案】
【答案】D
【3题答案】
【答案】C
【4题答案】
【答案】C
【5题答案】
【答案】A
【6题答案】
【答案】B
【7题答案】
【答案】D
【8题答案】
【答案】A
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题所给的四个选项中，有多
项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
【9题答案】
【答案】BC
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学科网（北京）股份有限公司【10题答案】
【答案】BCD
【11题答案】
【答案】AD
【12题答案】
【答案】BCD
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
【13题答案】
【答案】112
【14题答案】
【答案】9
【15题答案】
【答案】 ##
【16题答案】
【答案】7
四、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
【17题答案】
【答案】（1） ；
（2）证明见解析
【18题答案】
【答案】（1） ，BC＝6
（2）
【19题答案】
【答案】（1）证明见解析；
（2） .
【20题答案】
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）80； （2）16；
（3） .
【21题答案】
【答案】（1） ；
（2）证明见解析
【22题答案】
【答案】（1）函数 在 上单调递增
（2）证明见解析
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学科网（北京）股份有限公司
