文档内容
高二数学考试参考答案
题序 ! # $ % & ’ " ( ) !* !! !# !$ !%
$槡& $
答案 + + , + - . . , +. ,+- +.- /! !*! $!’槡&
% %
!评分细则"
"!#第!!(题$凡与答案不符的均不得分!
"##第)题$全部选对的得’分$有选错的不得分$每选对一个得$分!第!*$!!题$全部选对的
得’分$有选错的不得分$每选对一个得#分!
"$#第!#题$其他结果均不得分!
"%#第!$题$第一空#分$第二空!分$第三空#分!
"&#第!%题$第一空#分$第二空$分!
!!+!!解析"本题考查直线的斜率#考查数学运算的核心素养!
直线&"0#/!1*的斜率为/&!
#!+!!解析"本题考查一元二次不等式的解法#考查数学运算的核心素养!
由"#/""/!("*$得%"/)&%"0#&"*$解得"#%/#$)&!
$!,!!解析"本题考查双曲线的渐近线方程及直线与圆的位置关系#考查数学运算的核心素养!
"# ## %
依题意得$#1’$%#1#%$则$1槡’$%1#槡’$则双曲线 / 1!的渐近线方程为#12 "
’ #% $
$2#槡&$
12#"$则 1$&$$故%!
槡&
%!+!!解析"本题考查对数的运算#考查数学运算的核心素养!
#" ! ! 345# !
%345#"/345)&345槡#1345 6 345#1 345$6 # 1 !
# # $ #) # $ # # 345$ #
#
&!-!!解析"本题考查正方体的内切球的表面积#考查空间想象能力!
$ %$&#
设该正方体的棱长为$$则该正方体内切球的半径为 $所以%" 1!#"$
# #
解得$1#槡$!
’!.!!解析"本题考查分段函数与函数的零点#考查直观想象与数学运算
的核心素养!
令’%"&1*$得(%"&1)$作出(%"&的大致图象$如图所示$&/!1%$
(%!&1$$
由图可知$当)#’$$%(时$直线#1)与(%"&的图象只有!个公共点$
从而’%"&只有!个零点!
!高二数学"参考答案!第!!!!!页#共"页$% !!"&’"
!"#$$!%
书书书"!.!!解析"本题考查直线与抛物线的综合#考查直观想象$逻辑推
理及数学运算的核心素养!
依题意得直线*的方程为#1"/#$设+的焦点为,$则,%*$!&$
-1$.,$!
!
由图可知-0- 的最小值为点,到直线*的距离$且最小值为
! #
$/#/!$ $槡#
1 !
槡# #
(!,!!解析"本题考查三角恒等变换$三角函数的图象与性质#考查逻辑推理与直观想象的核
心素养!
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(%"&1#789#"0!0 $由"# *$ $得#"0!0 # !0 $ !0 $因为*"!""$
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所以 !0 # $ $ !0 # $ $依题意可得 !0 # $ $ !0 # $
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$所以 ! 的取值范围是 $" !
$ ’
)!+.!!解析"本题考查相互独立事件的概率#考查应用意识!
这三人都按时到达昆明市的概率为*!"6*!’6*!&1*!#!$这三人中只有甲按时到达昆明市
的概率为*!"6%!/*!’&6%!/*!&&1*!!%$这三人都未按时到达昆明市的概率为%!/*!"&
6%!/*!’&6%!/*!&&1*!*’$这三人中至少有一人按时到达昆明市的概率为!/*!*’1
*!)%!
!*!,+-!!解析"本题考查复数与圆锥曲线的综合#考查数学运算与逻辑推理的核心素养!
若/ 的共轭复数为#/$8$则/#1/$$即#1$$,正确!
!
"# ! 槡$
当$/$1#时$槡"#0%##1#$即 0##1!$则.的轨迹是离心率为槡!/ 1 的椭圆$
# % % #
+正确!
因为//1%"0#8&%"/##8&1"#0###/"#8$所以// 的实部为"#0###$
! # ! #
"# ##
当"#0###1%时$ 0 1!$.的轨迹是短轴长为#槡#的椭圆$.错误$-正确!
% #
!!!+.-!!解析"本题考查抽象函数与函数的奇偶性$周期性#考查数学抽象与逻辑推理的核心
素养!
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因为(#"/ 是奇函数$("/ 是偶函数$所以( /#"/ 1/(#"/ $
$ !# $ $
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( /"/ 1("/ $所以(%"&1/( /"/ $(%"&1( /"/ $
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令"1/ $得( / 1/( / $所以( / 1*$
$ $ $ $ $
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令"1 $得( 1( / / 1( / 1*$+正确!
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!高二数学"参考答案!第!!!!#页#共"页$% !!"&’"
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由(%"&1/( /"/ 及(%"&1( /"/ $得( /"/ 1/( /"/ $设0
$ ’ ’ $
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1/"/ $所以(%0&1/(0/ $则(%0&1(%0/"&$即(%"&1(%"0"&$.正确!
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令"1 $则( 1( / / 1(%/"&1(%*&1/( / 1/( / 1
’ ’ ’ ’ $ $ ’
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/( $-正确!( 1*未必成立$,错误!
# !#
!#!/!!!解析"本题考查集合的子集#考查数学运算的核心素养!
因为1中只有!个元素$所以$1$#/#$解得$1/!或#$又1%2$所以$1/!!
$槡& $
!$! !*! !!解析"本题考查正三棱锥的体积及空间向量的数量积#考
% %
查直观想象与数学运算的核心素养!
槡$ #
过.作.3&底面12+$垂足为3$则+31 6槡$6 1!$所以.3
# $
! 槡$
1槡.+#/3+#1槡!&$则正三棱锥.412+的体积51 6 6
$ %
$槡&
%槡$槡!&1 !
%
((’ ((’ ((’ ((’ ((’ ((’ ((’ ((’ ((’
.1)2+1.1)%.+/.2&1.1).+/.1).21*!连接.6$则.6&12$则
((’ ((’ ((’ ((’ ((’ ((’ ((’ ((’ ((’ ((’ ((’ ((’ ((’ ((’
1.)1611.)621$16$#$.1)+61.1)%+2026&1/.1)2+0.1)261
((’ ((’ ((’ $
1.)621$16$#1 !
%
!%!$!’槡&!!解析"本题考查直线$双曲线及基本不等式的综合#考查直观想象$逻辑推理及数
学运算的核心素养!
因为+的离心率为#$所以槡!0)1#$得)1$!设.%"$#&%")*$#)*&$
"# "# %#/!&%#0!&##/! !
则##/ 1!$即##/!1 $所以7 )7 1 1 1 !
$ $ .1 .2 "# "# $
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设直线.1的斜率为7%7)*&$则直线.2的斜率为 $
$7
! %$ &
所以直线.1的方程为#17"0!$直线.2的方程为#1 "/!$所以8 $% $9%!&7$
$7 7
% $ & % $& $ $ $
%&$则8: / $% $$8:9$1!&7/ / 1!&70 *#槡!&7) 1’槡&$当且仅当 1
7 7 7 7 7
槡&
!&7$即71 时$等号成立$所以$8:9$的最小值为’槡&!
&
!&!!解析"本题考查解三角形#考查数学运算的核心素养!
#; :47+ #789+ :47+
解*%!&由 1 及正弦定理得 1 $+++++++++++++++$分
$ 7891 7891 7891
!高二数学"参考答案!第!!!!$页#共"页$% !!"&’"
!"#$$!%所以#789+1:47+$ +++++++++++++++++++++++++++%分
789+ !
所以;<9+1 1 !++++++++++++++++++++++++++’分
:47+ #
! #槡&
%#&由%!&知;<9+1 $则:47+1 $+++++++++++++++++++(分
# &
由余弦定理$得;#1$#0%#/#$%:47+1&0)/!#1#$++++++++++++!!分
则;1槡#$ +++++++++++++++++++++++++++++++!#分
所以+12+的周长为槡&0$0槡#!+++++++++++++++++++++!$分
!评分细则"
#
第%#&问中$:47+的结果写为 $不扣分!求;的过程中$未写,;#1$#0%#/#$%:47+-扣!分!
槡&
!’!!解析"本题考查统计#考查数据处理能力!
!&
解*%!&因为+餐厅满意指数在’#$%&内的学生有!&人$所以#6%1 $解得%1*!!&! +
&*
+++++++++++++++++++++++++++++++++++!分
因为*!!&6#0$6#0*!#6#0*!*&6#1!$所以$1*!!*!+++++++++++#分
设+餐厅满意指数的第%*百分位数的估计值为#!
’/%
因为第一组的频率为*!$$第二组的频率为*!#$所以#1%0 1&! ++++++%分
#
%#&设,餐厅满意指数的平均数的估计值为" $+餐厅满意指数的平均数的估计值为"$
, +
则" 1#6%$6*!*&0&6*!!&0"6*!#*0)6*!!*&1’!%$ ++++++++++’分
,
"1#6%$6*!!&0&6*!!*0"6*!#*0)6*!*&&1&!’$++++++++++++(分
+
所以" )"$从而,餐厅满意指数的平均数更大! ++++++++++++++)分
, +
%$&设+餐厅第三.四组满意指数平均数分别为"$"$方差分别为<#$<#$
! # ! #
则"1"$"1)$<#1#$<#1!$+++++++++++++++++++++++!*分
! # ! #
因为第三组有#*人$第四组有&人$ ++++++++++++++++++++!!分
所以设第三组和第四组所有人的满意指数的平均数的估计值为",$方差的估计值为<#$
#*6"0&6) $"
则"1 1 $+++++++++++++++++++++++++!$分
#& &
) = #*’ %$" &#( &’ %$"
<#1 ’<#0%"/",&#(0 ’<#0%"/",&#(1 #0 /" 0 !0 /
)0= ! ! )0= # # #& & #& &
&#( ’!
) 1 !+++++++++++++++++++++++++++++++!&分
#&
!评分细则"
"!#第%!&问中$,$1*!!*-也可以写为,$1*!!-!
"##第%#&问中$" 的计算过程写为," 1$6*!!0&6*!$0"6*!%0)6*!#1’!%-$不扣
, ,
!高二数学"参考答案!第!!!!%页#共"页$% !!"&’"
!"#$$!%分!" 的计算过程写为,"1$6*!$0&6*!#0"6*!%0)6*!!1&!’-$不扣分!
+ +
"$#这$问中的统计量%百分位数.平均数.方差&均为估计值$不是准确值$解析过程要写估
计值$否则整个题共扣!分$不累计扣分!
!"!!解析"本题考查立体几何$空间向量及三角恒等变换的综合#考查直观想象$逻辑推理及数
学运算的核心素养!
%!&证明*连接1+$交26于点3!++++++++++++++++++++++!分
因为底面12+6为菱形$所以1+&26!+++++++++++++++++++#分
在直四棱柱12+6412+6 中$11 &平面12+6$则11 &26!++++++$分
! ! ! ! ! !
因为11 -1+11$所以26&平面1++1 $++++++++++++++++%分
! ! !
因为1+.平面1++1 $所以26&1+! +++++++++++++++++&分
! ! ! !
%#&解*因为底面12+6既是菱形$又是矩形$所以底面12+6为正
方形!++++++++++++++++++++++++’分
以6为坐标原点$建立空间直角坐标系$如图所示$则2%#$#$*&$
+%*$#$*&$1 %#$*$$&$+%*$#$$&$ +++++++++++(分
! !
((’ ((’ ((’
则121%*$#$/$&$+21%#$*$*&$1+1%/#$#$*&! ++)分
! ! !
设平面12+的法向量为!1%"$#$/&$
!
((’ ((’
则!)121##/$/1*$!)+21#"1*$++++++++!*分
!
令#1$$得!1%*$$$#&!+++++++++++++++++++++++++!!分
((’ ((’
设平面12+ 的法向量为"1%":$#:$/:&$则")121##:/$/:1*$")1+1/#":
! ! ! ! !
0##:1*$ +++++++++++++++++++++++++++++++!#分
令#:1$$得"1%$$$$#&!+++++++++++++++++++++++++!$分
$")!$ !$ 槡!$
$:47"$1 1 1 $+++++++++++++++++++!%分
$"$$!$ 槡##6槡!$ 槡##
#
故:47#"1#:47#"/!1 !++++++++++++++++++++++++!&分
!!
!评分细则"
"!#第%!&问中$未写,11 &平面12+6-$直接得到,11 &26-$扣!分!未写,11 -1+
! ! !
11-$扣!分!未写,1+.平面1++1 -$扣!分!
! ! !
$")!$ !$
"##第%#&问中$注意到二面角+4124+ 为锐角$所以,$:47"$1 1 1
! ! $"$$!$ 槡##6槡!$
槡!$ $")!$ !$
-写为,:47"1 1 -$不扣分!
槡## $"$$!$ 槡##6槡!$
!(!!解析"本题考查椭圆与圆的综合#考查数学运算与直观想象的核心素养!
#
解*%!&因为+的长轴长为%$则$#) %$)!&$所以#$1%$+++++++++++#分
$
"#
则$1#$所以+的方程为 0##1!!++++++++++++++++++++$分
%
!高二数学"参考答案!第!!!!&页#共"页$% !!"&’"
!"#$$!%%#&依题意可得$,9$1$.,$0$.9$1$.,$0$.,$1#$1%$++++++++&分
! ! ! #
由%!&得,%/槡$$*&$+++++++++++++++++++++++++++’分
!
所以动点9的轨迹是以, 为圆心$%为半径的圆$+++++++++++++++"分
!
故动点9的轨迹方程为%"0槡$�##1!’!+++++++++++++++++(分
$/槡$70!$
%$&设点, 到直线*的距离为-$则-1 !+++++++++++++)分
!
槡7#0!
因为*被#截得的弦长为#槡!&$所以-1槡!&/%槡!%!$ +++++++++!*分
$/槡$70!$
所以 1!$整理得7#1#槡$7$ ++++++++++++++++++!!分
槡7#0!
解得71*或71槡$!+++++++++++++++++++++++++++!#分
"#
将#17"0!代入 0##1!$得%!0%7#&"#0(7"1*$++++++++++++!$分
%
(7
解得"1*$"1/ $++++++++++++++++++++++++!%分
! # !0%7#
当71*时$"1"1*$所以7/*$+++++++++++++++++++++!&分
! #
($7$槡!07# (槡$6槡!0$ !’槡$
所以$12$1槡!07#$"/"$1 1 1 !++++++!"分
! # !0%7# !0%6$ !$
!评分细则"
#
"!#第%!&问中$未写,$#) -$扣!分!
$
$/槡$70!$
"##第%$&问中$未写,7#1#槡$7-$但由 1!$解得71*或71槡$$不扣分!最后
槡7#0!
一行中$只要写了,$12$1槡!07#$"/"$-$就可给!分!
! #
"$#第%$&问中$求得71*或71槡$后$还可以这样解答*
当71*时$*与+只有一个公共点$则7/*!+++++++++++++++++!#分
"#
所以71槡$$将#1槡$"0!代入 0##1!$得!$"#0(槡$"1*$++++++++!$分
%
(槡$
解得"1*$"1/ $+++++++++++++++++++++++++!%分
! # !$
!’槡$
所以$12$1槡!07#$"/"$1 !+++++++++++++++++++!"分
! # !$
!)!!解析"本题考查直线与抛物线的综合#考查数学抽象$逻辑推理及数学运算的核心素养!
%!&解*由题意知%%槡#/!$%$/#槡#&$得$1%$ ++++++++++++++!分
则,的坐标为%!$*&!+++++++++++++++++++++++++++#分
%#&%#&解*77 为定值!++++++++++++++++++++++++++$分
! #
!高二数学"参考答案!第!!!!’页#共"页$% !!"&’"
!"#$$!%理由如下*
由%!&知7 1/!$则%!$/!&为直线,.的一个方向向量$+++++++++++%分
,.
因为,1$,2的斜率分别为7$7$所以%!$7&为直线,1的一个方向向量$%!$7&为直线
! # ! #
,2的一个方向向量!+++++++++++++++++++++++++++&分
因为$:47/, (( 1 ’ $, (( . ’ 0$1$:47/, (( 2 ’ $, (( . ’ 0$$所以 $!/7 ! $ 1 $!/7 # $ $+++++++’分
槡#槡!07# 槡#槡!07#
! #
则%!/7&#%!07#&1%!/7&#%!07#&$
! # # !
整理得%7/7&%77/!&1*!+++++++++++++++++++++++(分
! # ! #
当717 时$7171!或7171/!$则771!!+++++++++++++)分
! # ! # ! # ! #
当7/7 时$771!!
! # ! #
故77 为定值$且该定值为!!+++++++++++++++++++++++!*分
! #
%$&证明*设1%"$#&$2%"$#&$直线12的方程为"1)#0=!
! ! # #
1"1)#0=$
由 得##/%)#/%=1*$++++++++++++++++++++!!分
##1%"$
则$1!’)#0!’=1!’%)#0=&)*$
#0#1%)$##1/%=!++++++++++++++++++++++++!#分
! # ! #
# #
由%#&知771!$则 ! ) # 1!$即##1%)#0=/!&%)#0=/!&$++!$分
! # "/! "/! ! # ! #
! #
所以%)#/!&##0)%=/!&%#0#&0%=/!*$
! # ! #
所以%)#/!&%/%=&0%)#%=/!&0%=/!*$+++++++++++++++!%分
整理得%=0!%)#$++++++++++++++++++++++++++!&分
所以=1#)/!或=1/#)/!$++++++++++++++++++++++!’分
则直线12过定点8%/!$/#&或>%/!$#&$即存在关于"轴对称的两个定点8$>$使得
直线12过8或>!+++++++++++++++++++++++++++!"分
!高二数学"参考答案!第!!!!"页#共"页$% !!"&’"
!"#$$!%
