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广东省东莞市七校2025-2026学年高二上学期联考
数学试题
一、单选题
1．椭圆 的焦点为（ ）
A． B． C． D．
2．若平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ，直线 的方向向量为
，则（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
3．若直线 被圆C 截得的弦长为 ，则 （ ）
A．±2 B． C．2 D．2
4．如图，三棱锥 中， ， ，点 为 的中点，记 ， ， ，
则 （ ）
A． B． C． D．5．如图，在正方体 中， 为 的中点， 在线段 上，且 ，则 与
所成角的余弦值为（ ）
A．1 B．0
C． D．
6．已知圆 ， 是圆 上的动点，点 ，若动点 满足 ，则点 的轨迹
方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知 是椭圆 的焦点， ， 分别是 上第二、四象限上的点．若四边形 为矩形，则 的
离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．数学家莱莫恩（Lemoine）在1867年发现并证明：过 的三个顶点 作它的外接圆的切线分
别和边 所在的直线相交于点 ，则三点 在同一直线上. 这条直线称为该三角形的
“莱莫恩（Lemoine）线”.在平面直角坐标系 中若某三角形三个顶点的坐标分别为
，则该三角形的莱莫恩（Lemoine）线方程为（ ）A． B．
C． D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．直线 在 轴上的截距为
B．直线 与 平行，则它们之间的距离为
C．经过定点 的直线都可以用方程 表示
D．点 关于直线 的对称点是
10．已知圆 ， ，下列结论正确的是（ ）
A．若 且两圆内切，则圆心 的轨迹方程为
B．若 ，则两圆有3条公切线
C．若 ，则两圆的公共弦所在直线的方程为
D．若 ， 为圆 的直径， 为圆 上的动点，则 的最大值为
11．在棱长为2的正方体 中，点P满足 ，则下列结论
正确的是（ ）A．当 时，
B．当 时，平面 截正方体所得的截面的面积为
C．若 且 ，则当 取得最小值时，
D．若点P在以 的中点O为球心， 为半径的球面上，则点P的轨迹的长度为
三、填空题
12．如图，线段 在平面 内， ，且 ，则
13．已知实数 满足 ，则 的最小值为
14．如图，“爱心”图案由函数 的图像的一部分及其关于直线 的对称图形组成，点
是该图案上一动点， 是其图象上点 关于直线 的对称点，连接 ，则 的最大值为
．
四、解答题
15．如图，在棱长为2的正方体 中， 分别是平面 ，平面 的中心．(1)求证： 四点共面；
(2)求 的体积．
16．已知圆 ，直线
(1)求证：直线 恒过定点 ；
(2)当圆心 到直线 的距离取得最大值时，求 的值；
(3)当 时， 为 上一动点，过 作圆 的两条切线，切点分别为 ．求四边形 面积的最小值．
17．已知双曲线 过点 ，左右焦点分别为 ．
(1)求双曲线 的方程；
(2)过双曲线 的右焦点 作斜率为1的直线l，l与双曲线 交于A，B两点，求 ；
(3)若 是坐标原点，M，N是双曲线 上不同的两点，且直线MN的斜率为常数 ，线段MN的中
点为Q，求直线OQ的斜率．
18．已知两个非零向量 ，在空间任取一点O，作 ，则 叫做向量 与 的夹角，记
作 ．定义 与 的“向量积”为 ： 是一个与 、 都垂直的向量，且它的模
．如图，在四棱锥 中，底面为矩形， 底面 ，
为线段AD上一点．(1)求 ；
(2)若 为线段 的中点，求二面角 的正弦值；
(3)线段 上是否存在一点 ，使得 ，若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由．
19．已知椭圆 ．
(1)结合椭圆的定义以及椭圆与圆的关系，猜想椭圆上的所有点到某个焦点的平均距离 和椭圆的面积
（不需证明）；
(2)已知 ，请利用（1）的猜想解答下面问题．
①求椭圆的方程；
② 为坐标原点，设点 ，过右焦点 作 的垂线交椭圆于 两点．求 面积的最
大值．1．C
根据方程分析可知焦点在x轴上， ，即可得焦点坐标.
【详解】椭圆方程为 ，即 ，
可知 ，且焦点在x轴上，
则 ，所以焦点坐标为 .
故选：C.
2．D
根据面面平行则法向量共线计算可判断A；根据直线与平面垂直则直线的方向向量与平面法向量共线计算
可判断B；根据直线的方向向量与平面法向量垂直则直线与平面平行或直线在平面内可判断C；根据法向
量垂直则面面垂直可判断D.
【详解】对于A，由 ，得 ，则 ，解得 ，故A错误；
对于B，由 ，得 ，则 ，解得 ，故B错误；
对于C，由 ，得 ，则 或 ，故C错误；
对于D，由 ，得 ，则 ，故D正确.
故选：D.
3．A
由直线和圆相交时的弦长公式求解即可.
【详解】由题意可得圆的圆心为 ，半径 ，
则圆心到直线 的距离 ，
又因为截得的弦长为 ，
所以 ，化简得 ，解得 .
故选：A.
4．C
连接 ，根据向量的线性运算与共线定理运算即可.
【详解】连接 ，
因为点 为 的中点，
所以
即 ，.
故选：C.
5．D
建立空间直角坐标系，利用空间向量求异面直线所成的角的三角函数.
【详解】根据题意，可以 为原点， 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系，如图：
不妨设 ，则 ， ， ， .所以 ， .
设直线 与 所成的角为 ，
则 .
故选：D
6．B
根据给定条件，可得 为线段 中点，再利用坐标代换法求出轨迹方程.
【详解】设点 ，由 ，得 为线段 中点，则点 ，
而点 在圆 上，因此 ，即 ，
所以点 的轨迹方程为 .
故选：B
7．D
取椭圆的上顶点 ，可根据 求离心率的取值范围.
【详解】如图：
取椭圆的上顶点 ，因为存在 ， 分别是 上第二、四象限上的点，使得四边形 为矩形，所以必
有 .
即 .
所以 .所以 ，又椭圆的离心率 ，
所以 .
故选：D
8．D
待定系数法求出外接圆方程，从而得到外接圆在 处的切线方程，进而求出 的坐标，得到答案.
【详解】 的外接圆方程设为 ，
，解得 ，
外接圆方程为 ，即 ，
故外接圆的圆心坐标为 ，故外接圆在 处切线方程为 ，
又 ，令 得， ， ，
在 处切线方程为 ，
又 ，令 得 ， ，
则三角形的 线的方程为 ，即 .
故选：D.
9．BD
对于A：根据直线的斜截式方程直接判断即可；对于B：由平行关系可求得 ，结合平行直线间距离公式
运算求解；当直线斜率不存在时，无法用方程 表示，知C错误；采用待定系数法，根据点关于直线对称点的求法可构造方程组求得D正确.
【详解】对于选项A：直线 在 轴上的截距为 ，故A错误；
对于选项B：由两直线平行可得： ，解得： 或 ，
若 ，直线 与 重合，不合题意
若 ，直线 与 平行，符合题意，
综上所述： ，它们之间的距离为 ，故B正确；
对于选项C：当经过 的直线斜率不存在时，即方程为 时，无法用方程 来表示，故C
错误；
对于选项D：设 关于直线 的对称点为 ，
则 ，解得： ，
即 关于直线 的对称点为 ，故D正确.
故选：BD.
10．AC
A. 两圆内切，根据圆心间距离等于半径相减列方程找轨迹；B. 根据圆心间的距离
，可知 ，所以两圆相交，可知有两条公切线；C.先判断两圆相交，
再将两圆方程相减即可得公共弦所在直线方程；D.根据 ，根据圆上一点和定点的距离最
大值为圆心与定点的距离加半径即可求得；
【详解】A. ，圆心 ，
，圆心 ， ，两圆内切，所以圆心间距离等于半径相减，所以，A选项正确.
B.圆心间距离为 ，因为 ，两圆相交，故有2条公切线，B选项错误.
C.
圆心间距离为 ，因为 ，两圆相交，两圆方程相减可得公共弦所在直
线方程 ，故C选项正确.
D. , 的最大值为 ，所以最大值为 ，
故D选项错误.
故选： AC
11．ABC
根据锥体体积公式、正方体截面、线段和的最值、轨迹等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】以 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
， .
A选项，当 时， ，
则 在线段 上，
根据正方体的性质可知， ，
所以 到平面 的距离等于 到平面 的距离，
所以 ，则 ，所以A选项正确.
B选项，当 时， 是 的中点，设 是 的中点，
连接 ，则 ，
所以平面 截正方体所得的截面为等腰梯形 ，，
到 的距离为 ，
所以截面面积为 ，所以B选项正确.
C选项， 时， ，
设 分别是 的中点，连接 ，则 在线段 上，
由于 ，所以 是 的中点，则 ，
连接 ，
将四边形 与四边形 展开成平面图形如下图所示，连接 ，交 于 ，由图可知 的最小值是 ，
此时 ，对应 ，所以C选项正确.
D选项，依题意， ，
则 在正方形 上，
，设 ，连接 ，则 ，
若点P在以 的中点O为球心， 为半径的球面上，
则 ， ，
所以点 的轨迹是以 为圆心，半径为 的圆，长度 ，所以D选项错误.
故选：ABC
12．
利用余弦定理求出 ，再根据线面垂直的性质得 ，最后根据勾股定理即可得到答案.
【详解】连接 ，如图，在 中，根据余弦定理有：
，因为 ，所以 ，所以 .
故答案为：
13．
表示：直线 上的点 到点 和 的距
离之和的最小值，即可求解．
【详解】 ，
，
则 表示：直线 上的点 到点 和 的
距离之和的最小值，
如图所示：
设点 关于直线 的对称点为 ，
得 ，解得 ，
得 ，则
，
等号成立时， 三点共线，
故答案为：
14．
由对称性转化为求图案在 上方的点到直线 的距离的最大值的2倍，利用点到直线的距离，转
化为二次函数求最值.
【详解】由对称性可知，求 的最大值，转化为该图案上的点到直线 距离的最大值的2倍，
由对称性不妨设点为图案上 上方的点，联立 与 ，
得 ，解得： ，所以图案在 上方的点的正坐标为 ，
设图案在 上方的点 ， ，
则点 到直线 的距离为 ，当 时，取得最大值 ，
所以 的最大值为 .
故答案为：
15．(1)证明见解析
(2)
（1）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用向量共线的坐标表示推理得证.（2）利用（1）中坐标系，利用点到平面距离公式求出四棱锥的高，进而求出体积.
【详解】（1）在正方体 中，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ，
因此 ，即 ，即 ，
所以 四点共面.
（2）正方体 的对角面 为矩形，且 ，
由（1）知， ，
，
设平面 的法向量 ，则 ，
令 ，得 ，
因此点F到平面 的距离
所以 的体积是 .
16．(1)证明见解析
(2)(3)
（1）将方程变换为 ，即可求解直线 的定点；
（2）当 时，此时圆心到直线 的距离最大，利用斜率公式，即可求解；
（3）由几何关系，将面积的最小值转化为求点 到直线 距离的最小值.
【详解】（1）证明：由 得
由
得
所以直线 恒过定点 ；
（2）由（1）知，当 时，圆心 到直线 的距离取得最大值
易知圆心为
因为
所以 即
解得
（3）当 时，直线 的方程为 ，故可设圆的半径
圆心到直线的距离
所以
所以
即四边形 面积的最小值为
17．(1)
(2)
(3)
（1）根据双曲线的定义求得 ，进而求得双曲线 的方程.
（2）求得直线 的方程并与双曲线方程联立，化简写出根与系数关系，根据弦长公式求得 .
（3）利用点差法求得直线 的斜率.
【详解】（1）根据题意可得 ，
，
所以 ，
故双曲线C的方程为 ；
（2）直线 的方程为 ，设 ，由 得 ，
，
所以 ．
（3）设 ，则 ，
则 两式相减得 ．
设 ，则 所以 ，
即 ，
所以 ，所以直线OP的斜率 .
18．(1)
(2)
(3)存在；
【详解】（1）因为底面 为矩形，所以 ， ，又 底面 ， 底面 ，
所以 ，又 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
因为 ，所以 为直线 与 所成角，即 ，
在直角 中，
所以 ，
.
（2）因为 且 为矩形，
所以可如图建立空间直角坐标系，
则 ，
，
设平面 的法向量 ，则 ，
x=2,y=−2x=2,y=−2
令 ，得 所以 ，
因为 所以平面 的法向量可取 ，
设二面角 的平面角为 ，则 ，
所以 ， 所以 ，
所以二面角 的正弦值为 ．
（3）依题意， ， ，
又 ，
所以 ， ，
设 ， ，
则 ， 所以 ，
由 ，得 ， 所以 ， ，
由（1）知 ，
又因 ， 所以 ，
所以线段 上存在点 ，使得 ，此时 ．
19．(1)
(2)① ；②
【详解】（1）（1）根据椭圆的定义和椭圆与圆的关系（当椭圆退化为圆时， ，焦点即为圆心），可
以猜想：
椭圆上所有点到某个焦点的平均距离 等于半长轴 ，即 。
椭圆的面积 为 .
（2）（2）①由（1）知， ，
所以
所以椭圆 的标准方程为 ．
②因为 ， ，所以 ，
因为 ，所以 ，故直线 的方程为 ，即 ，
联立 并整理得 ，
设 ，则 ，
所以 ，
所以 的面积 ，
令 ，则 ， ，
当且仅当 ，即 时取等号，
