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2024~2025学年第一学期福建省部分学校教学联盟高中入学适应性检测
高二数学参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题所给出的四个选项中，只有一个选
项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C B D B B C D
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题所给出的四个选项中，有多个选项
是符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分。
题号 9 10 11
答案 ABD BC ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12． 13． 14．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）
解：（1）因为 ，则 ，
可得 ，
则 ，
若 ，则 ，且B∈(0,π)，所以 ；
若 ，则 ，即 ，
且 ，所以 ，
但 ，由正弦定理可得 ，不合题意；
综上所述： .
（2）因为 ，则 ，
在 中，由余弦定理可得 ，
1
学科网（北京）股份有限公司即 ，
整理可得 ，解得 或 （舍去），
则 ，所以 的面积 .
16.（15分）
（1）证明：因为 平面 ， 平面 ， 平面 ，
所以 ， ，
又 ， ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，
有题意可知 ，又 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
（2）分别以 ， ， 所在直线为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，
因 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为 ，所以 为 中点，
故 ，
平面 的一个法向量为 ，
，
设平面 的法向量为 ，
由 得 ，令 得 ， ，
则 ，所以 ，
因为二面角 是钝二面角，所以二面角 的大小为 ．
17.（15分）
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学科网（北京）股份有限公司（1）证明：三棱台 中， ，则 ，
有 ，得 ，所以 ，
又 ，所以在平面 内， ，有 ，
平面 平面 ，
所以 平面 ．
（2）解：已知平面 平面ABC，平面 平面 ， ，
平面 ，所以 平面 ，由 平面 ，得 ，
又 平面ABC， 平面ABC，
所以 平面ABC，由 平面ABC，得 .
以B为坐标原点 的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图空间直角坐标系．
则有 ，
，
因为 ，所以 ，
设向量 ，且满足： ，
则有 ，令 ，
在 的投影数量为 ，
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学科网（北京）股份有限公司异面直线 与DE的距离 .
18.（17分）
（1）证明：因为E为边AB的中点，所以 .
又 ，即 ，即 .
，
所以 .
又因为 ，所以 ，即 .
因为 平面 ，
所以 平面 .
因为 平面 ，所以 .
（2）解：（i）由余弦定理可得 ，
所以 ，
所以 .
（ii）由（1）可知， 平面 ，
所以 即为 与平面 所成角.
4
学科网（北京）股份有限公司因为 ，所以 ， ，
所以 ，得 .
设 到平面 的距离为 ，点 到直线 的距离为 ，
则
.
因为 ，
又 ，所以 .
19.（17分）
解：（1）记平面 ， 的法向量为 ，设直线 的方向向量 ，
因为直线 为平面 和平面 的交线，
所以 ， ，即 ，取 ，则 ，
所以直线 的单位方向向量为 ．
（2）设 ，
由平面 经过点 ， ，
所以 ，解得 ，即 ，
所以记平面 的法向量为 ，
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学科网（北京）股份有限公司与（1）同理， 与 确定的交线方向向量为 ，
所以 ，即 ，解得 ．
（3）由集合 知， 由一个边长是4的正方体和6个高为2的正
四棱锥构成，如图所示，
， ，
设几何体 相邻两个面（有公共棱）所成二面角为 ，
平面 ，设平面 法向量 ，
平面 ，设平面 法向量 ，
所以 ，
所以几何体 相邻两个面（有公共棱）所成二面角为 ．
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