江浙皖高中（县中）发展共同体2024-2025学年高三上学期10月联考数学试题答案_2024-2025高三（6-6月题库）_2024年10月试卷_1007江浙皖高中（县中）发展共同体2024-2025学年高三上学期10月联考

2024 学年第一学期江浙皖高中（县中）发展共同体高三年级 10 月联考 数学参考答案 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请 把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1.【答案】C 【解析】由题设得：A＝{－1，5}，B＝{1，5}，所以A∪B＝{－1，1，5}，故答案选C 2.【答案】A z＋1 【解析】由 ＝1＋i，得z＝1－2i，故z的虚部是－2. z－1 3.【答案】B x＋y 220＋x＋y＋280 x＋y 【解析】设另两位学生的成绩为x，y，则 ＝ ，得 ＝250 ，故答案选B. 2 4 2 4.【答案】C. 4 sinα＝ 2sinα＋cosα＝1 5 24 【解析】由题设可知，α∈(0， π)，  3，所以sin2α＝2sinαcosα＝－ . sin2α＋cos2α＝1 cosα＝－ 25 5 5.【答案】A 【解析】V ＝V －4V ＝36－24＝12. ABC1D 柱 A1－ABD 6.【答案】B. x2 【解析】法一：F (－2 2，0),设直线AB方程为：y＝k(x＋2 2)，代入 ＋y2＝1整理得：(9k2＋1)x2＋36 2k2x 1 9 3 π 5π 1 ＋72k2－9＝0，由弦长公式及|AB|＝2得k＝± ，故直线AB的倾斜角为 或 ，所以S ＝ ×|AB| 3 6 6 △F2AB 2 1 1 ×|F F |sin∠AF F ＝ ×2×4 2× ＝2 2. 1 2 1 2 2 2 法二：设|AF |＝x，∠AF F ＝α，则|AF |＝6－x，|F F |＝4 2，由余弦定理得：x2＋32－2×4 2×x× 1 1 2 2 1 2 1 1 1 2cosα＝(6－x)2，化简得：x＝ ，即|AF |＝ ，同理可得：|BF |＝ ，|AF | 1 1 1 3－2 2cosα 3－2 2cosα 3＋2 2cosα 1 1 3 π 5π 1 1 ＋|BF |＝|AB|＝2， ＋ ＝2，解得cosα＝± ,所以α＝ 或 ，sinα＝ ，S ＝ × 1 3－2 2cosα 3＋2 2cosα 2 6 6 2 △F2AB 2 |AB|×|F F |sinα＝2 2. 1 2 7.【答案】D 【解析】不妨设c＝(2，0)，则可设a＝(1，t)，b＝(2cosθ＋8，2sinθ)，则|a－b|＝ (2cosθ－7)2＋(2sinθ－t)2 ≥|2cosθ－7|≥5.当a＝(1，0)，b＝(6，0)，|a－b|＝5. 8.【答案】A 【解析】由3x≥f(x＋3)－f(x－3)＝f(x＋3)－f(x＋1)＋f(x＋1)－f(x－1)＋f(x－1)－f(x－3)≥(x＋2)＋x＋(x －2)≥3x，所以f(x＋1)－f(x－1)＝x,即f(x＋2)－f(x)＝x＋1,所以f(51)＝f(51)－f(49)＋f(49)－f(47)＋ …＋ f(3)－f(1)＋f(1)＝2(50＋48＋…＋2)＋1＝651. 高三数学参考答案 （第 1 页 共 6 页） {#{QQABIQAQggAIAIBAAAgCUwUICEOQkBAACQgOAFAIIAABCAFABAA=}#}二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选 对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.） 9.【答案】BC 1 1 27 【解析】由题设可知，随机变量Y~N(15， ) ，故标准差为 ，答案A错误，答案B正确； P( ≤Y 4 2 2 27 1 27 33 1 1 27 33 ≤16)＝1－P(Y＜ )－P(Y＞16)＝1－ （1－P( ≤Y≤ )）－ (1－P(14≤Y≤16)）)＝ [P( ≤Y≤ )＋ 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 P(14≤Y≤16)]＝ (0.9545＋0.9973)＝0.9759，答案C正确；P(Y＜14)＝ （1－0.9545）＝0.02775，答案 2 2 D错误. 10.【答案】AC 【解析】因为f′(x)＝xsinx＞0，x∈(0，π)，所以f(x)在(0，π)上单调递增 ，答案A正确；当x∈(－π，0) 时，f′(x)＝xsinx＞0，所以x＝0不是f(x)的极值点，答案B错误；当x∈(－2π，－π)时，f′(x)＜0，f(x) 在(－2π，－π)上单调递减，当x∈(－π，π)时，f′(x)＞0，f(x)在(－π，π)上单调递增，当x∈(π，2π) 时，f′(x)＜0，f(x)在(π，2π)上单调递减.又因为f(－2π)＞0，f(－π)＜0，f(π)＞0，f(2π)＜0，所以f(x) 在(－2π，2π)上有3个零点，答案C正确；当x＝π＋2kπ，k∈Z时，f(π＋2kπ)＝π＋2kπ，所以f(x)不 是周期函数，答案D错误. 11.【答案】ABD → → → 【解析】由题设可知F(1，0)，FA＋FB＋FC＝(x －1，y )＋(x －1，y )＋(x －1，y )＝(x ＋x ＋x －3， 1 1 2 2 3 3 1 2 3 y ＋y ＋y )＝(0，0)，所以x ＋x ＋x ＝3，且y ＋y ＋y ＝0，故A正确；y2＝(y ＋y )2≤2(y2＋y2)，所 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 以，x ≤2(x ＋x )＝2(3－x )x ≤2，同理可得，x ≤2，x ≤2，故B正确；不妨设y ≥0，y ≥0，y 1 2 3 1 1 2 3 1 2 3 ＜0，则y ＝2 x ，y ＝2 x ，y ＝－2 x ，代入y ＋y ＋y ＝0，得2 x ＋2 x －2 x ＝0，所以 x ＋ 1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3 1 x 1 ＋x 2 ＋x 3 ＝3， 3 x ＝ x ，故C不正确；由 x x ＝(x ＋x － )2，x2＋x2＋x2＝(x ＋x ＋x )2－2(x x 2 3 x 1 ＋ x 2 ＝ x 3 ， 1 2 1 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ＋x x ＋x x )＝9－2x x －2x (x ＋x )＝9－2(x ＋x － )2－2[3－(x ＋x )](x ＋x )＝9－2(x ＋x )2＋6(x 2 3 3 1 1 2 3 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 9 9 ＋x )－ －6(x ＋x )＋2(x ＋x )2＝ ，故D正确. 2 1 2 1 2 2 2 三、填空题（本题共3小题，每5分，共15分.） 12.【答案】－3 r 【解析】设 r＋1项为x2项，则5－r－ ＝2，解得r＝2，其系数为C2a3＝－270，故a＝－3. 2 5 3 13.【答案】 256 1 【解析】甲最终以4比2获胜，即甲在第2，3，4，5局比赛中胜3局，且第6局获胜，其概率为：C3( )3 4 4 3 3 × ＝ 4 256 14.【答案】390 n 1 1 n 1 1 【解析】a ＝k， 则 ∈(k－ ，k+ )， ∈(k2－k＋ ，k2+k＋ )，n∈[3k2－3k+1，3k2＋3k]，故有6k n 3 2 2 3 4 4 个n，使a ＝k，所以a ＋a ＋…＋a ＝6×1＋12×2＋18×3＋24×4＋30×5＋10×6＝390. n 1 2 100 高三数学参考答案 （第 2 页 共 6 页） {#{QQABIQAQggAIAIBAAAgCUwUICEOQkBAACQgOAFAIIAABCAFABAA=}#}四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．(本题满分13分） 解：（1）因为a＋ccosB＝c＋bcosC，由余弦定理得： a2＋c2－b2 a2＋b2－c2 a＋c× ＝c＋b× ， 2分 2ac 2ab a2＋c2－b2 1 整理得： ＝ ， 4分 2ac 2 π π 又B∈(0， )，所以B＝ . 6分 2 3 （2）S ＝2R2sinAsinBsinC＝4 3sinAsinC 7分 △ABC 2π ＝4 3sinAsin( －A) 3 3 1 ＝4 3sinA( cosA＋ sinA) 2 2 3 1 1 ＝2 3( sin2A＋ － cosA) 2 2 2 π ＝2 3sin(2A－ )＋ 3 . 10分 6 π π 因为△ABC是锐角三角形，所以 ＜A＜ ， 6 2 π π 5π 1 π 所以， ＜2A－ ＜ ，即 ＜sin(2A－ )≤ 1， 12分 6 6 6 2 6 π 所以2 3＜2 3sin(2A－ )＋ 3 ≤3 3. 13分 6 16．(本题满分15分） （1）证明：设C D的中点为F，过F作GG ∥AA 分别交AC，A C 于G，G ， 1 1 1 1 1 1 则G，G 分别为AC，A C 的中点， 2分 1 1 1 1 所以FG ＝ A D＝1， 1 1 2 由BB ＝AA ＝4，BE＝3B E，得B E＝1，即FG ＝B E，又因为FG ∥B E， 1 1 1 1 1 1 1 1 所以四边形B EFG 是平行四边形， 1 1 所以 EF∥B G ， 4分 1 1 因为G 是A C 的中点， △A B C 为正三角形，所以B G ⊥A C ， 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 由正三棱柱的性质得,AA ⊥底面A B C ，且B G 底面A B C ，所以B G ⊥AA ，A C ∩AA ＝A 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 所以B G ⊥平面AA C C ． 6分 1 1 1 1 又因为EF∥B G ，所以EF⊥平面AA C C， 1 1 1 1 EF平面C DE，所以平面C DE⊥平面AA C C． 8分 1 1 1 1 （2）以BC中点O为原点，OA，OC，OO (O 为B C 中点）分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角 1 1 1 1 3 1 1 坐标系O－xyz，则D( ，0，2)，E(0，－ ，3)，C (0，，4)， 10分 1 2 2 2 易得平面ABC的一个法向量n ＝(0，0，1)， 11分 1 设向量n ＝(x，y，z) 为平面C DE一个法向量， 2 1 → 3 1 → C D＝( ，－ ，－2) ，C E＝(0，－1，－1)， 1 1 2 2 → → 3 1 则由n ·C D＝0，n ·C E＝0，得 x－ y－2z＝0，y+z＝0， 2 1 2 1 2 2 高三数学参考答案 （第 3 页 共 6 页） {#{QQABIQAQggAIAIBAAAgCUwUICEOQkBAACQgOAFAIIAABCAFABAA=}#}令z＝1，得n ＝( 3，－1，1)， 13分 2 设平面 C DE 与 平面ABC的夹角为θ， 1 n ·n 5 则cosθ＝| 1 2 |＝ ． |n |·|n | 5 1 2 5 所以平面 C DE 与 平面ABC的夹角的余弦值为 ． 15分 1 5 17．(本题满分15分） 解：（1）抛物线C的焦点F(2，0)． 1分 由题意可知，直线AB的斜率存在并设为k，故直线AB方程为：y＝k(x－2)， 代入y2＝8x整理得： k2x2－4(k2＋2)x＋4k2＝0． 3分 4(k2＋2) 设A(x ，y )，B(x ，y )，则x ＋x ＝ ， 1 1 2 2 1 2 k2 4(k2＋2) 8 y ＋y ＝k(x －2)＋k(x －2)＝k(x ＋x －4)＝k[ －4]＝ ， 1 2 1 2 1 2 k2 k → → 4(k2＋2) 8 OA+OB＝(x ＋x ，y ＋y )＝( ， )， 5分 1 2 1 2 k2 k → → 因为向量OA+OB与向量a＝(2， 2)共线， 2k 2 所以 ＝ ，解得k＝ 2， 7分 k2＋2 2 故所求直线AB的方程为： 2x－y－2 2＝0． 8分 （2）不妨设A(2t2,4t )，B(2t2,4t ) (t 0,t 0) ， 1 1 2 2 1 2 2 当 y 0时， y 2 2 x， y'  ， x 1 1 从而点A处的切线斜率为k  ，同理，k  ， 1 t 2 t 1 2 π 2 2 因为∠AOB＝ ，所以  1，即tt 4 11分 2 t 1 t 2 1 2 1 1 又点A处的切线方程为 y  x2t ，点B处的切线方程为 y  x2t ， t 1 t 2 1 2  1 y  x 2t   0 t 0 1 设交点P的坐标为(x ,y )，则 1 ， 0 0 1 y  x 2t   0 t 0 2 2 从而t 和t 方程2t2  y tx 0的两个解 1 2 0 0 x 所以tt  0 4，即x 8， 1 2 2 0 所以点P的轨迹方程为x 8. 15分 高三数学参考答案 （第 4 页 共 6 页） {#{QQABIQAQggAIAIBAAAgCUwUICEOQkBAACQgOAFAIIAABCAFABAA=}#}18．(本题满分17分） a a－x 解：（1）f(x)＝alnx－x－a的定义域为(0，＋∞) ， f′(x)＝ －1＝ ． 1分 x x 当a≤ 0时，x∈(0，＋∞)， f′(x)＜0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减； 2分 当 a＞0时，x∈(0，a)，f′(x)＞0时，x∈(a，＋∞)时， f′(x)＜0， 所以，f(x)在 x∈(0，a)上单调递增，在 (a，＋∞)上单调递减． 3分 （2）①因为x ，x (x ＜x )是f(x)的两个零点， 1 2 1 2 由（1）可知a＞0，x ∈(0，a)，x ∈(a，＋∞)， 1 2 且f (x)＝alna－2a＞0，解得：a＞e2． 5分 nax 而当a＞e2时，f(1)＝－1－a＜0， f(a4)＝4alna－a4－a＜4a2－a4－a＜－a＜0， 所以，f(x)有两个零点．故a的取值范围是(e2，＋∞)． 7分 ②因为x ，x (x ＜x )是f(x)的两个零点，所以， 1 2 1 2 alnx 1 －x 1 －a＝0 a＝ x 2 －x 1 ， 9分 alnx 2 －x 2 －a＝0 lnx －lnx 2 1 x 2 －x 1 － x 2 ＋x 1 f′( x 2 ＋x 1 )＝ lnx 2 －lnx 1 2 ， 2 x ＋x 2 1 2 令x ＝tx ，代入上式得： 2 1 x ＋x 2(t－1)－(t＋1)lnt f′( 2 1 )＝ (t＞1)． 11分 2 (t＋1)lnt 令g(t)＝2(t－1)－(t＋1)lnt(t＞1)， 1 1 1 1－t g′(t)＝1－ －lnt，g′′(t)＝ － ＝ ＜0(t＞1)， 13分 t t2 t t2 所以g′(t)在(1，＋∞)上单调减，且g′(1)＝0，所以g′(t)＜0(t＞1)， 所以g(t)在(1，＋∞)上单调减，且g(1)＝0，所以g(t)＜0(t＞1)， 15分 x ＋x 2(t－1)－(t＋1)lnt 所以f′( 2 1 )＝ ＜0(t＞1)． 2 (t＋1)lnt x2＋x2 x ＋x 又因为 f′(x)在(0，＋∞)上是减函数，且 1 2＞ 2 1， 2 2 x2＋x2 x ＋x 所以，f′( 1 2)＜f′( 2 1 )＜0 ． 17分 2 2 19．(本题满分17分） 【解】（1）因为  a  是“G 数列”，所以a a a a a  a5，解得a  27 ， n 2 1 2 3 4 5 3 5 4 又a a a a a  a5，所以a  2. 4分 2 3 4 5 6 4 6 （2）首先证明甲是乙的充分条件， 设等比数列  a  的公比为q（q  0），则a  a qn1， n n 1 所以n  k时，a a  a2，所以当n  m时， nk nk n a a a a   a a  a a    a a  a  a2m1， nm nm1 nm2 nm nm nm nm1 nm1 n1 n1 n n 高三数学参考答案 （第 5 页 共 6 页） {#{QQABIQAQggAIAIBAAAgCUwUICEOQkBAACQgOAFAIIAABCAFABAA=}#}  所以 a 是“G 数列”，即甲是乙的充分条件. 7分 n m 下证甲是乙的不必要条件，   设数列 a 是“G 数列”，m≥2， n m   定义数列 a 满足：a ＝a ＝…＝a ＝1，a ＝a ＝…＝a ＝2， n 1 2 m m+1 m+2 2m a2m+! a ＝ n+m ，n∈N* n+2m a ·a ·…·a ·a n+2m-1 n+2m-2 n+1 n   则数列 a 是“G 数列”，但不是等比数列。 n m 综上，甲是乙的充分不必要条件. 10分 （3）因为  a  是“G 数列”，所以n 3时，a a a a a  a5， n 2 n2 n1 n n1 n2 n 即a a a a  a4， ① n2 n1 n1 n2 n 因为  a  是“G 数列”，所以n  4时，a a a a a a a  a7， n 3 n3 n2 n1 n n1 n2 n3 n 即a a a a a a  a6， ② 12分 n3 n2 n1 n1 n2 n3 n a4 a4 由①得，当n  4时，a a  n1 ；a a  n1 ， n3 n2 a a n2 n3 a a n n1 n1 n a4 a4 将上述两式代入②得， n1 a a  n1  a6， a a n1 n1 a a n n n1 n1 n 整理得a4 a4  a8，因为  a  的各项均为正数，所以a a  a2， n1 n1 n n n1 n1 n   所以数列 a 从第3项开始为等比数列， n 设公比为q  0，则a  a qn3，n3， 15分 n 3 a a 在①中令n  4得a a a a  a4，即a  3 ；令n 3得a a a a  a4，即a  3 ， 2 3 5 6 4 2 q 1 2 4 5 3 1 q2 a 所以a  a qn1，nN，所以 n1  q为常数， n 1 a n   所以 a 是等比数列. 17分 n 高三数学参考答案 （第 6 页 共 6 页） {#{QQABIQAQggAIAIBAAAgCUwUICEOQkBAACQgOAFAIIAABCAFABAA=}#}