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2024 年湖北云学名校联盟高二年级 10 月联考
数学试卷
命题学校：武汉二中 命题人：李凯丰 陈莉 张鹄 审题人：夷陵中学 王方 杨晓璐
考试时间：2024年10月15日 15：00-17：00 时长：120分钟 满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 已知 为虚数单位， 的虚部为（ ）
A. B. C. D. 1
的
2. 已知一组数据：2，5，7， ，10 平均数为6，则该组数据的第60百分位数为（ ）
A. 7 B. 6.5 C. 6 D. 5.5
的
3. 直线 ： ， ： ，若 ，则实数 值为（ ）
A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 或1
4. 为了测量河对岸一古树高度 的问题（如图），某同学选取与树底 在同一水平面内的两个观测点
与 ，测得 ， ， ，并在点 处测得树顶 的仰角为 ，则树高
约为（ ）（取 ， ）
A. 100.8m B. 33.6m C. 81.6m D. 57.12m
5. 如果直线ax＋by＝4与圆x2＋y2＝4有两个不同的交点，那么点P(a，b)与圆的位置关系是( )A. P在圆外
在
B. P 圆上
C. P在圆内
D. P与圆的位置关系不确定
6. 在棱长为 的正四面体 中，点 与 满足 ，且 ，则 的值为（
）
A. B. C. D.
7. 下列命题中正确的是（ ）
A. ，则 ；
.
B 若点 、 、 、 共面，点 、 、 、 共面，则点 、 、 、 、 共面；
C. 若 ，则事件 与事件 是对立事件；
D. 从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为 ；
8. 动点 在棱长为3的正方体 侧面 上，满足 ，则点 的轨迹长
度为（ ）
.
A B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 在平面直角坐标系中，下列说法正确的是（ ）
A. 若两条直线垂直，则这两条直线的斜率的乘积为 ；
B. 已知 ， ，若直线 ： 与线段 有公共点，则 ；
C. 过点 ，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线 的方程为 ；D. 若圆 上恰有3个点到直线 的距离等于1，则 ．
10. 如图所示四面体 中， ， ， ，且 ，
， 为 的中点，点 是线段 上动点，则下列说法正确的是（ ）
A. ；
B. 当 是靠近 的三等分点时， ， ， 共面；
C. 当 时， ；
D. 的最小值为 ．
11. 已知 是圆 ： 内一点，其中 ，经过点 的动直线 与
交于 ， 两点，若|AB|的最小值为4，则（ ）
A. ；
B. 若|AB|=4，则直线 的倾斜角为 ；
C. 存在直线 使得 ；
D. 记 与 的面积分别为 ， ，则 的最大值为8．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 实数 、 满足 ，则 的最大值是______．13. 记 的三个内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ，其中
，若 的面积 ， ，且 ，则 的长为______．
14. 如图，已知四面体 的体积为 ， ， 分别为 ， 的中点， 、 分别在 、
上，且 、 是靠近 的三等分点，则多面体 的体积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在对某高中1500名高二年级学生的百米成绩的调查中，采用按学生性别比例分配的分层随机抽样抽取
100人，已知这1500名高二年级学生中男生有900人，且抽取的样本中男生成绩的平均数和方差分别为
13.2秒和13.36，女生成绩的平均数和方差分别为15.2秒和17.56．
（1）求抽取的总样本的平均数；
（2）试估计高二年级全体学生的百米成绩的方差．
16. 在平面直角坐标系 中， 的顶点 的坐标为 ， 的角平分线所在的直线方程
为 ， 边上中线 所在的直线方程为 ．
（1）求点 的坐标；
（2）求直线 的方程．
17. 直三棱柱 中， ，其中 分别为棱 的中点，已
知 ，（1）求证： ；
（2）设平面 与平面 的交线为直线 ，求直线 与直线 所成角的余弦值．
18. 已知圆 ： ，过直线 ： 上的动点 作圆 的切线，切点分别为 ， ．
（1）当 时，求出点 的坐标；
（2）经过 ， ， 三点的圆是否过定点？若是，求出所有定点的坐标；
（3）求线段 的中点 的轨迹方程．
19. 四棱锥 中，底面 为等腰梯形， ，侧面 为正三角形；
（1）当 时，线段 上是否存在一点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ？
若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
（2）当 与平面 所成角最大时，求三棱锥 的外接球的体积．
