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2023-2024 学年下学期期末自检
高二数学
一､选择题：本大题共 8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. 设集合 则 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据交集的概念与运算直接得出结果.
【详解】由题意知， .
故选：C
2. 已知 ，则复数 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设 （a， ），代入 ，利用复数相等求解.
【详解】设 （a， ），则 .
因为 ，所以 ,
即 ，
整理得 ，
所以 ，解得 ，
所以 .
故选：C
3. 设 均为单位向量，且 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】对 两边平方可得答案.
【详解】
.
故选：B.
4. 已知锐角 满足 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用二倍角公式求出 ，再将原式化为 ，代入求解即可.
【详解】因为 为锐角，所以 ，
又 ，所以 ，所以 .
故选：D.
5. 已知等比数列 是其前 项和， ，则 （ ）
A. B. 8 C. 7 D. 14
【答案】C
【解析】
【分析】设等比数列 的公比为 ，根据题意求得 ，结合等比数列前 项和的定义即可求解.
【详解】设等比数列 的公比为 ，
因 为，可得 ，即 ，所以 ，
所以 .
故选：C.
6. 通辽是“最美中国文化旅游城市”，境内旅游资源丰富，自然景观优美，其中的大青沟，孝庄园文化旅游
区，珠日河草原旅游区，库伦三大寺，孟家段国家湿地公园，银沙湾，可汗山都是风景宜人的旅游胜地，
某班4个同学分别从7处风景点中选择一处进行旅游观光，则不同的选择方案是（ ）
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
【答案】D
【解析】
【分析】由题意每位同学都有7种选择，利用分步计数原理即可求解.
【详解】由题意每位同学都有7种选择，则4名同学共有 种选择方案.
故选：D.7. 我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为“刍童”.如图，在刍童
中， ，平面 与平面 之间的距离为3，则此“刍童”的体积
为（ ）
A. 36 B. 46 C. 56 D. 66
【答案】C
【解析】
【分析】首先说明几何体为四棱台，再代入台体体积公式，即可求解.
【详解】由 ， ， ， ，且 ，
则 交于同一点 ，该“刍童”为四棱台，矩形 的面积为 ,
矩形 的面积为 ,
且上下底面的高为3，所以四棱台的体积 .
故选：C
8. 若 ， 分别是双曲线 ： 的右支和圆 ： 上的动点，且 是双曲线 的右焦点，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先得到圆心坐标与半径，双曲线的左焦点坐标，结合双曲线的定义及两点之间线段最短转化计
算.
【详解】圆 ： 的圆心 ，半径 ，
双曲线 ： 则 ， ， ，
设左焦点为 ，则 ，即 ，
所以 ，
当且仅当 、 在线段 与双曲线右支、圆的交点时取等号.
故选：A
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小繁给出的远项中，有多项待合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在 的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A. 不存在常数项 B. 二项式系数和为1
C. 第4项和第5项二项式系数最大 D. 所有项的系数和为128
【答案】AC
【解析】
【分析】利用二项展开式的通项公式及赋值法，逐项分析即得.【详解】因为展开式的通项公式为 ，
对A，由 ，得 (舍去)，所以展开式不存在常数项，故A正确；
对B，二项式系数和为 ，故B错误；
对C，展开式共有 项，所以第4项和第5项二项式系数最大，故C正确；
对D，令 ，得所有项的系数和为 ，故D错误；
故选：AC.
10. 已知函数 ，则（ ）
A. B. 有两个极值点
C. 点 是曲线 的对称中心 D. 有两个零点
【答案】ABC
【解析】
【分析】求导后令 ，分析单调性并求出极值，即可判断 ABD，利用函数对称性的定义可判断
C。
【详解】 ，故A正确；
令 ，解得 ，当 或 时， ，当 时， ，
所以函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
故函数 在 处取得极小值，在 取得极大值，
即 ， ，只有一个零点，故B正确D错误；
，所以 关于 对称，故C正确。
故选：ABC
11. 如图，正方体 的棱长为1，点 在截面 内，且 ，则（ ）
A. 三棱锥 的体积为 B. 线段 的长为
C. 点 的轨迹长为 D. 的最大值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，点 到平面 的距离为 ，再通过三棱锥 的体积公式计算即
可；对于B，设 的中心为 ，则 ，通过勾股定理计算 即可；对于
C，如图②所示，点 的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆的一部分，由三段 劣弧构成
并计算即可；对于D，建立空间直角坐标系，当 位于点 或 的位置时， 最小，计算
即可.【详解】对于A，在正方体中，易证 平面 ，平面 平面 ，且两平面间的距离为
，
又 的面积 ，所以三棱锥 的体积
故A正确；
对于B，如图①所示，设 的中心为 ，则 ，
故B错误；
对于C，如图②所示，由 知， ，
点 轨迹是以 为圆心， 为半径的圆的一部分，
的
由三段 劣弧构成，其长度为圆 周长的一半 故C正确；
对于D， ，
为 在 方向上的投影，由图①可知，
当 位于点 或 的位置时， 最小，
此时 取得最大值，如图②所示，建立空间直角坐标系，
则 ， ，故D正确.故选：ACD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数 为奇函数，则 的值为_____________ .
【答案】
【解析】
【分析】求出函数 的定义域，再由奇函数的性质求出 并验证即得.
【详解】函数 中， ，方程 的根为
，
由函数 是奇函数，得 ，解得 ，此时 的定义域为
，
，即函数 为奇函数，
所以 的值为 .
故答案为：
13. 镇江西津渡的云台阁，是一座宋元风格的仿古建筑，始建于2010年，目前已成为镇江市的地标建筑之
一.如图，在云台阁旁水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°，60°，45°，且
米，则云台阁的高度为________米.【答案】
【解析】
【分析】设 ，利用三角函数分别表示 ,然后分别 中利用余弦定理表示
,因为 ,所以 ,
求出h即可
【详解】设
在 中， ， .
在中， , ,
在 中， , .
在 中，由余弦定理得： ，
在 中，由余弦定理得： ,
因为 ,所以 ， 即 ， .
故答案为：
14. 设 ， 是双曲线 ： 的左、右焦点，以 为直径的圆与双曲线在第一
象限交于点 ，且 ，则双曲线C的离心率为__.若 内切圆圆心I的横坐标为2，则
的面积为___.
【答案】 ①. ②. 6
【解析】
【分析】利用题给条件结合双曲线定义求得 关系，进而求得双曲线C的离心率；利用题给条件求得
的值，进而求得 的面积.
的
【详解】设以 为直径 圆与双曲线在第一象限的交点设为 ，
则 ，由双曲线的定义可得 ，
所以 ， ，由勾股定理得 ，
即有 ，∴ .
设 内切圆与x轴相切于M，M点横坐标为t，
则 ，则 ,
解之得
又由 内切圆圆心 的横坐标为2，得 ，故 .
故答案为： ，6
四､解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共
77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 记 内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ， ．
（1）求 的值；
（2）若 ，且 ，求 的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理求出 ，再判断 为锐角，即可求出 、 ，从而求出 ，即可
得解；
（2）依题意可得 ，将两边平方，结合 及数量积的运算律求出 、 ，再由面积公
式计算可得.
【小问1详解】
因为 ，由余弦定理可得 ，
又 ，所以 ，又因为 ，由正弦定理可得 ，则 ，所以 为锐角，
又 ，所以 ，
所以
，
所以 ．
【小问2详解】
由（1）可得 ， ，且 ，
因为 ，
所以
，
所以 ， ，
所以 ．
16. 如图，四棱锥 的底面 是圆柱底面圆的内接矩形， 是圆柱的母线，
， .（1）证明：平面 平面 ；
（2）求平面 与平面 的夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由线面垂直的性质定理和判定定理证明 平面 ，再由面面垂直的判定定理即可证
明平面 平面 .
（2）以 为原点，分别以 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面 与
平面 的法向量，由平面夹角的向量公式求解即可.
【小问1详解】
证明：因为 是圆柱的母线，所以 平面 ，
而 平面 ，所以 .
因为底面 是圆柱底面圆的内接矩形，
所以 是直径，从而 ，
又因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，而 平面 ，所以平面 平面 .
【小问2详解】
由题意 平面 ， ，
注意到 平面 ， 平面 ，
所以 ，
所以 两两互相垂直，
以 为原点，分别以 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系，
则 ，
所以 ，
设 为平面 的法向量，则 ，
令 ，可得 ，得平面 的一个法向量为 ，
设 为平面 的法向量，则 ，
令 ，可得 ，得平面 的一个法向量 .
设平面 与平面 的夹角为 ，
则 ，
所以平面 与平面 的夹角的余弦值为 .17. 随着网络技术的迅速发展，各种购物群成为网络销售的新渠道.2023年11月某地脐橙开始采摘上市，
一脐橙基地随机抽查了100个购物群的销售情况，各购物群销售脐橙的情况如下：
脐橙数量/盒
购物群数量/个 12 18 32 18
（1）求实数 的值.并用组中值（每组的中点值）估计这100个购物群销售脐橙总量的平均数；
（2）假设所有购物群销售脐橙的数量 ，其中 为（1）中的平均数， .若该脐
橙基地参与销售的购物群约有1000个，销售的脐橙在 （单位：盒）内的群为“ 级群”，销售数
量小于256盒的购物群为“ 级群”，销售数量不小于616盒的购物群为“特级群”，该脐橙基地对每个“特级
群”奖励600元，每个“ 级群”奖励100，对“ 级群”不奖励，则该脐橙基地大约需要准备多少奖金？（群
的个数按四舍五入取整数）
附：若 ，则 ， ，
.
【答案】（1） 20；平均数为376
（2）奖金约为95700元
【解析】
【分析】（1）利用频数之和等于样本总数易得 值，利用与频数分布表有关的平均数公式计算即得；
（2）由题意，结合（1）的结果易得 的值，根据“ 级群”， “特级群”的范围，利用正态分布曲线的
对称性，求出对应的概率，再计算出需准备的奖金即可.
【小问1详解】由题意得， ，解得 .
则这100个购物群销售脐橙总量的平均数为
.
【小问2详解】
由题意， 则 ，
故
，
故“ 级群”约有 个；
，
故“特级群”约有 个；
则依题意，需要资金为 元，即该脐橙基地大约需要准备95700元.
18. 已知椭圆 及直线 ．
（1）若直线 与椭圆没有公共点，求实数 的取值范围；
（2） 为椭圆 上一动点，若点 到直线 距离的最大值为 ，求直线 的方程．
【答案】（1）
（2） 或 .
【解析】【分析】（1）联立方程组，根据题意，利用 ，即可求得实数t的取值范围；
（2）根据题意，把点 到直线 距离的最大值，转化为与直线 平行且与椭圆 相切的直线 与直线 间的
距离，由（1）可得直线 或直线 与椭圆 相切，结合点到直线的距离公式，
列出方程，即可求解.
【小问1详解】
解：联立方程组 ，整理得 ，
因为直线 与椭圆 没有公共点，所以 ，
解得 或 ，所以实数t的取值范围为 .
【小问2详解】
解：由题意，点 到直线 距离的最大值，
等价于与直线 平行且与椭圆 相切的直线 与直线 间的距离，
由（1）中， ，解得 或 ，
此时直线 或直线 与椭圆 相切，
当 与 之间的距离为 时，可得 ，解得 或 （舍去）；
当 与 之间的距离为 时，可得 ，解得 或 （舍去），
综上可得，所求直线 的方程为 或 .
19. 设函数 ．
（1）当 ，求 在点 处的切线方程；
（2）证明：当 时， ；【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由导数的意义求出切线的斜率，再由点斜式得到直线方程即可；
（2）先证明 在 上存在唯一零点，设为 ，再由导数求出最小值 结合基本
不等式和对数的运算证明即可.
【小问1详解】
当 时， ，
则 ，即 ，
所以 在点 处的切线方程为 ，即 .
【小问2详解】
因为 ，
因为 为单调递增函数， 也为单调递增函数，
所以 为单调递增函数，又 ，且 ，
所以 在 上存在唯一零点，设为 ，
当 时， ， 为单调递减函数；当 时， ， 为单调递
增函数；
所以 ，
由 可得 ，即 ，所以 ，
当且仅当 时取等号，
所以当 时， ，
