文档内容
2025 学年第一学期丽水发展共同体期中联考
高二年级数学学科试题
考生须知：
1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.
4.考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1. 已知空间向量 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据空间向量的数量积坐标运算，计算即可．
【详解】对于A： ，故A错误；
对于B： ，故B错误；
对于C： ，故C错误；
对于D： ，故D正确.
故选：D
2. 顶点在坐标原点，焦点坐标为 的抛物线的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【分析】根据抛物线的标准方程与焦点的关系求解即可.
【详解】焦点坐标为 在 轴正半轴上，可设抛物线方程为 ，
又 ，则 ，故抛物线的标准方程为 .
故选：C
3. 若直线 被圆 截得的弦长为 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据圆的弦长公式和点到直线的距离公式求出结果.
【详解】圆 的圆心坐标为 ，半径为2，
圆心到直线 的距离为 .
因为圆的弦长为 ，所以根据勾股定理得 ，解得 .
故选：A.
4. 已知 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A. 若 且 ，则
B. 若 且 ，则
C. 若 且 ，则
D. 若 且 ，则
【答案】D
【解析】
【分析】由空间中直线与直线、直线与平面及平面与平面位置关系逐一核对四个选项得答案．是
【详解】若 且 ，则 可以 相交平面且交线平行 ，故A错误；
若 且 ，则 可以平行，故B错误；
若 且 ，则 可以平行 ，故C错误；
若 且 ，则 ，故D正确．
故选：D．
5. 如图，在平行六面体 中， ，
，则线段 的长为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由空间向量线性运算，可得 ，利用数量积运算性质即可得出．
【详解】 ，
又 ， ， ， ，
，；
故选：B.
6. 已知点 在棱长为1的正方体 的内部且满足 ，则点 到直线
的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意画出图形，分别以 为 轴作出空间直角坐标系，写出相应的坐标，根
据 求出 的坐标，然后利用点到直线距离的向量法公式计算即可.
的
【详解】分别以 为 轴建立如图所示 空间直角坐标系，
的
因为正方体 棱长为1，
所以
所以 ，
由 ，
所以 ，所以 ，
又 ，
，
所以 ，
所以点 到直线 的距离为：
故选：C.
7. 已知抛物线 的焦点为 ，斜率为 的直线 与 交于两个不同的点 ，且 为线段
的一个三等分点，则 （ ）
A. 4 B. 8 C. 12 D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】设 ， ，应用向量数量关系的坐标表示得到 ，再令
有 ，结合斜率的两点式求 .
【详解】设 ，不妨设 ，
所以 ，则 ，令 ，所以 ，则 ，
由 ，所以 .
故选：B
8. 阅读材料：空间直角坐标系 中，过点 且一个法向量为 的平面 的方
程为 .阅读上面材料，解决下面问题：已知平面 的方程为
，直线 是平面 与平面 的交线，则直线 与平面 所成角的正
弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题目材料确定平面 的法向量，由于同时满足两个平面方程的点在交线上，因此可取两个特
殊点，作为交线的方向向量，再求解即可.
【详解】由题意可知，平面 的法向量 .
因为直线 是平面 与平面 的交线，
因此直线 上的点均满足两个平面方程, 我们可以取 上的两个点，来计算直线 的一个方向向量.令 ,则 ,即 在交线上；
令 ,则 ,即 在交线上.
故直线的方向向量 .
设直线 与平面 所成角为 ,则 .
故选：A.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多
个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.
9. 下列说法中不正确的是（ ）
A. 平面内与一个定点 和一条定直线 的距离相等的点的轨迹是抛物线
B. 平面内与两个定点 和 的距离之和等于4的点的轨迹是椭圆
C. 平面内与两个定点 和 的距离之差等于3的点的轨迹是双曲线
D. 平面内与两个定点 和 的距离之比等于2的点的轨迹是圆
【答案】ABC
【解析】
【分析】对A,举反例，定点 在直线 上判断即可；对B，根据 判断即可；对C，根据双曲线
的定义判断即可；对D，设所求点为 ，再根据条件化简求解即可.
【详解】对A，当定点 在直线 上时，轨迹为过 且与 垂直的直线，故A错误；
对B，平面内与两个定点 和 的距离之和等于4的点的轨迹是线段 ，故B错误；
对C，平面内与两个定点 和 的距离之差等于3的点的轨迹是双曲线的一支，不是双曲线，
故C错误；
对D，设所求点为 ，则 ，即 ，则 ，化简可得 ，轨迹是圆，故D正确.
故选：ABC
10. 倾斜角为 的直线 与抛物线 相交于不同两点 ，且 ，则（
）
A. 的准线方程为
B. 当 时，
C. 存在 ，使 （ 为坐标原点）
D. 对任意的 ，总存在点 ，使 （ 为坐标原点）
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据抛物线的性质、直线与抛物线的位置关系、向量的数量积以及角平分线的性质逐一分析.
【详解】对于选项A， 抛物线 中， ， 准线方程为 ，故A正确.
的
对于选项B，当 时，直线 斜率为 ，设直线 的方程为 ，
联立直线与抛物线 ，得 ，
由韦达定理可知 ， ， ，
当 ，方程 ，此时判别式 ，直线与抛物线只有一个交点，不符合
题意，舍去，
当 ，方程 ，由韦达定理可知 ，
根据抛物线的焦点弦长公式 ，故B正确.
对于选项C，设直线 的方程为 ，联立直线与抛物线 ，得 ，
由韦达定理可知 ，
，且 ， ，即 ，则
若 ，则 ， ， ，
当 时， ；当 时， ，
不存在 ，使 （ 为坐标原点）故C错误.
对于选项D，设 ，若 （ 为坐标原点），则直线 与直线 的斜率之和为 ，
即 ,
，则 ，
即 ，将 代入，得 ，化简得
，即 ，
不一定为 ， ，即 ，由以上可知 ，则 ，
对任意的 ，总存在点 ，使 （ 为坐标原点），故D正确.
故选： .
11. 已知E，F，G，H分别是正方体 的棱 的中点， ，则（
）
A. 直线 与直线 异面
B. 直线 交于同一点
C. 过 三点的平面截正方体所得截面图形的周长为
D. 动点K在侧面 内（含边界），且 ，则动点K的轨迹长度为
【答案】BC
【解析】
【分析】根据题意画出立体图形，再依据平行直线共面、中位线性质、动点轨迹等知识逐一对每个选项进
行分析，从而选出正确选项.
【详解】A选项，G，H分别是 的中点，则 ，又 ，则 ，所以
共面，所以A错误；
B选项，取 中点为M，延长 交于点N，连接 ，如图1，因为 且
是 的中点，
所以 ，且 ．同理，延长 交于点T，则 ，
即点N与点T重合，直线 交于同一点，所以B正确；
C选项，延长 交于点Q，连接 交 于点P，如图2，则同B选项，易证，P为 的中点，
所以四边形 为过点 的截面，，
所以截面周长为 ，所以C正确；
图1 图2
D选项，因为 平面 ，所以 ，即 ，所以 ，
因此K的轨迹是以A为圆心， 为半径的 圆，所以轨迹长度为 ，所以D错误.
故选：BC．
非选择题部分
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知直线 经过 ， 两点，则直线 的倾斜角为______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】先根据过两点的直线斜率公式求出直线 的斜率，再结合直线倾斜角与斜率的关系求出倾斜角.
【详解】由直线 经过 ， 两点，得直线 的斜率 ，
设直线 的倾斜角为 ，所以 ，解得 ．
故答案为：
13. 有一个封闭的正三棱柱容器，高为 ，内装水若干（如图1，底面处于水平状态），将容器放倒（如图2，一个侧面处于水平状态），这时水面与各棱交点 、 、 、 分别为所在棱的中点，则图1中
水面的高度为_______．
【答案】
【解析】
【分析】设正三棱柱 的底面边长为 ，在图1中，设水面的高度为 ，根据图1和图2中水
的体积相等可得出关于 的等式，即可解得 的值.
【详解】设正三棱柱 的底面边长为 ，则 ，
在图1中，设水面的高度为 ，则水的体积为 ，
在图2中，易知几何体 为直棱柱，
因为 为等边三角形，且 、 分别为 、 的中点，
则 ，且 ，则 是边长为 的等边三角形，
且 ，
则水的体积为 ，解得 .
故答案为： .
14. 设椭圆 与双曲线 的离心率分别为 ，双曲线的渐近线的斜率的绝对值小于 ，则 的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【 分 析 】 因 为 ， 再 由 ， ， 设 ， 可 得
，两边平方即可求解.
【详解】因为双曲线 的渐近线的斜率绝对值小于 ，
所以 ，则 ， ，
设 ，则
所以 ；由于 ，
因为 ，所以 ，则 ，则 ，
因为 ，所以
故答案为：
四、解答题：本大题共5小题，共77分.
15. 已知圆 过 ， 两点，且圆心 在直线 上.
（1）求圆 的方程；
（2）设点 是直线 上的动点， 、 是圆 的两条切线， 、 为切点，求切线长 的最小值及此时四边形 的面积.
【答案】（1） ；（2）2， .
【解析】
【分析】（1）设出圆心坐标和半径，由待定系数法即可得圆的方程.
（2）由题意利用圆的几何性质将原问题进行等价转化，然后结合点到直线的距离公式即可求得最终结果.
【详解】（1）根据题意，设圆的圆心为 ，半径为 ，
则有 ，解可得 ， ， ；
故要求圆的方程为 ；
（2）根据题意，而 ，
当 最小时， 的最小
而 的最小值为点 到直线 的距离，则 的最小值为
；
故 的最小值为2，
四边形 的面积 ，
故此时四边形 面积为 .【点睛】本题主要考查了圆的方程的求解，求某一动点所作圆的切线的最小值，以及切线与半径所围成的
四边形面积的最小值，属于中档题.
16. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中
点，作EF⊥PB交PB于点F．
（1）求证：PA∥平面EDB；
（2）求证：PB⊥平面EFD；
（3）求平面CPB与平面PBD的夹角的大小．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3） ．
【解析】
【分析】（1）连接AC，交BD于O，连接EO，通过证明PA//EO 可证明结论；
（2）通过证明DE 平面PBC，可得 ，结合 可得 平面 ；
（3）由题意易知 是平面 与平面 的夹角，且 ，分别求出 的值，利用
，即可求出答案.
【小问1详解】
连接AC，交BD于O，连接EO.
因O，E分别为 中点，则 ，
又 平面EDB， 平面EDB，
则 面 ；【小问2详解】
因四边形ABCD是正方形，则BC ，
又 底面 平面 ，则BC .
因 平面 ， ，则 平面 .
又 平面 ，则 ，
因 ，E是PC的中点，则 .
又 平面 ， ，则 平面PBC，
因 平面PBC，则 ，又 ， 平面 ， ，
则 平面 ；
【小问3详解】
由（2）及 平面 可知 ，
故 是平面 与平面 的夹角，
不妨设 ，∴ ，
在 中， ， ， ，
又 面 ，∵ 面 ，∴ ,
在 中， ，∴ ，故平面CPB与平面PBD的夹角的大小 .
17. 已知椭圆 的离心率为 ，左、右焦点分别为 ，过右焦点 的直线
与椭圆交于 两点，且 的周长为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）若 ，求直线 的方程.
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）根据题意，由椭圆定义，可得 ，再由离心率以及椭圆中a，b，c之间的关系即可求
出椭圆方程；
（2）先根据 可设直线 ，代入椭圆方程，根据韦达定理，利用数量积
，从而求出直线方程.
【小问1详解】
由题意得 的周长为 ，
所以 ，即 ，
又离心率 ，所以 ，所以 ，
所以椭圆 的方程是 ；
【小问2详解】显然直线 的斜率不为0，所以设直线 ，
与椭圆 联立得 ， ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
即 ，
所以 ，
解得 ，
所以直线 的方程为 .
18. 如图1是一个由菱形 和两个直角三角形 和 所组成的平面图形，其中
，现将 和 分别沿 折
起，使得点 与点 重合于点 ，连接 ，得到如图2所示的四棱锥 .（1）求证： 平面 ；
（2）若 为棱 上一点，记
（i）若 ，求直线 与平面 所成角的正切值；
（ii）是否存在点 使得直线 与直线 所成角为 ，若存在请求出 的值，若不存在请说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）（i） ；（ii）存在， .
【解析】
【分析】（1）利用 ， ，可得到 平面 ，从而得到 ，再利用菱
形可得 ，最后就可得到 平面 ；
（2）①由 平面 ，可知直线 与平面 所成角就是 ，从而利用已知数据进行计算
即可；
②由 可得 或其补角为直线 与直线 所成角，再利用余弦定理解得
,利用勾股定理得 ，最后由已知角 的余弦定理得到关于
的方程，从而可解得 .
【小问1详解】
连结AC，交BD于点O，又∵底面 为菱形，∴ ,
由题可得 ， ，且 ， 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，又 平面 ，∴ ，
∵ ， 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ．
【小问2详解】（i）连结SO交CE于点G，由（1）得 平面 ,
∴ 为直线CE与平面SBD所成角,
∵ ， ， ,
∴ ,
∵ ，∴ ，
在三角形 中，由 ， ，所以由余弦定理得：
，
，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴直线 与平面 所成角的正切值为 ．
（ii）连结 ，∵ ,
∴ 或其补角为直线 与直线 所成角,则假设存在点 ，满足 ，
由 得 ， ,在三角形 中，由 ，所以由余弦定理得：
，
过点 作 ，交 于 ，
由 平面 ， 平面 ，得 ，所以 ，
由 可得 ，因为 ，所以 ， ，
在
三角形 中，由余弦定理得：
，
再由 ， 平面 可得 平面 ，
又因为 平面 ，所以 ，
在直角三角形 中，由勾股定理得：
．
在三角形 中，又因为 ， ，所以由余弦定理得：
,
解得 ,
∴存在 使得直线 与直线 所成角为 ．19. 已知双曲线 的渐近线方程是 ，且过点 .
（1）求 的标准方程；
（2） ， 分别为双曲线的左、右顶点， ， 分别为 的左、右焦点，与 轴不垂直的直线 与双曲
线 的左支相交于 ， 两点，记直线 ， ， ， 的斜率分别为 已知
.
（i）证明直线 过定点，并求出该定点的坐标；
（ii）求 面积的取值范围.
【答案】（1）
（2）（i）证明见解析， （ii）
【解析】
【分析】（1）由已知渐近线方程，设设双曲线的方程为 ，代入点 求解即可；
（2）（i）设直线 的方程为 ,联立直线与双曲线，由韦达定理代入 关系式，
化简整理得 的关系，求得定点；
（ii）由（2）得 的关系，代入韦达定理，代入面积表达式，换元结合基本不等式求最值即可..
【小问1详解】设双曲线的方程为 ，
因为双曲线过点 ，
所以 ，
所以双曲线 的方程为 .
【小问2详解】
（i）设直线 的方程为 ， ， ，
又 ， ，
所以
同理， ，
所以 ，所以 ，
由 消去 得， ，
所以 ，
所以 ，
整理，得 ，
即
整理，得 ，解得 或 ，
当 时，直线 过点 ，不合题意，舍去，
当 时，直线 过点 ，满足题意，
所以直线 过点 .
（ii）因为 ，
又 ，所以 ，
由直线 与双曲线的左支有两个交点，且 与坐标轴不垂直，
得 ，令 ，
则 ， ，
因为 在 上单调递减，
所以 ，
所以得 的取值范围是 .
