文档内容
湖南省常德市汉寿县第一中学2025—2026学年
高二上学期期中考试数学试卷
一、单选题
1．复数 （i是虚数单位），则 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．直线 的方程为 ，则直线 的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
3．若点 在圆 外，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．在等差数列{an}中，若a＝6，a＝15，则a 等于( )
5 8 14
A．32 B．33 C．－33 D．29
5．在斜四棱柱 中， ， ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
6． ， ， ， 四人之间进行投票，各人投自己以外的人 票的概率都是 （个人不投
自己的票），则仅 一人是最高得票者的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ， ， 是双曲线上关于原点对称的两点，并且 ，则 的面积等于（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在等腰△ 中，已知 分别是边 的点，且
，其中 且 ，若线段 的中点分别为 ，
则 的最小值是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．对抛物线 ，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为
B．开口向右，准线方程为
C．开口向右，焦点为
D．开口向上，准线方程为
10．已知函数 ，则（ ）
试卷第2页，共3页A． 的最小正周期为 B． 是曲线 的一个对称中心
C． 是曲线 的一条对称轴 D． 在区间 上单调递增
A． 可能为直角三角形 B．点 为 的垂心
C． D．
三、填空题
12．已知向量 ， ，若 ，则实数 .
13．已知数列 的前 项和为 ，且 ，则 .
14．已知点 是椭圆 的下顶点， 是 的右焦点，延长 交 于
点 ，若 ，则 的离心率为 .
四、解答题
15．已知圆C：（x+2）2+（y+2）2=3，直线l过原点O．若直线l与圆C相切，求直线l的
斜率．
16．如图，三棱柱ABC﹣ABC 的各个侧面均是边长为2的正方形，O为BC 与BC的交
1 1 1 1 1
点，D为AC的中点．求证：（1）AB∥平面BC D；
1 1
（2）BD⊥平面ACC A．
1 1
17．在 中，角 所对的边分别为 ，已知 ， .
(1)若 ，求 的值；
(2)若 的面积 ，求 和 的值.
18．已知函数 的图象关于原点对称.
（1）求 的值；
（2）判断 的单调性；
（3）若 ，不等式 恒成立，求实数 的取
值范围.
19．已知 为椭圆 的左右焦点，椭圆的离心率为 ，椭圆上
任意一点到 的距离之和为 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过 的直线 分别交椭圆 于 和 ，且 ，试求四边形 的面积S
的取值范围.
试卷第4页，共3页参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B C B A C B C AD ACD
题号 11
答案 BCD
1．A
【分析】根据复数的除法运算法则求出复数 ，再根据复数的几何意义可得结果.
【详解】因为 ，
所以 对应的点 位于第一象限.
故选：A
2．B
【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系求直线 的倾斜角.
【详解】设直线倾斜角为 ，则 ，又 ，
∴ .
故选：B.
3．C
【分析】根据圆的方程可得圆心和半径，结合点与圆的位置关系分析求解.
【详解】由题意可知：圆 的圆心 ，半径 ，
若点 在圆 外，则 ，
解得 或 ，所以实数 的取值范围是 .
故选：C.
4．B
【分析】由等差数列的定义，列出方程分别求出 和 即可.
【详解】设等差数列 的公差为 ，
因为a＝6，a＝15，
5 8
所以 ，解得则 .
故选:B.
5．A
【分析】利用空间向量数量积可求 .
【详解】 ，
则
．
故选：A.
6．C
【分析】确定 的得票数，分情况计算概率，求和即可.
【详解】若仅 一人是最高得票者，
则 的票数为 ， ．
若 的票数为 ，则 ；
若 的票数为 ，则 ， ， 三人中有两人投给 ，剩下的一人与 不能投同一个人，
．
所以仅 一人是最高得票者的概率为 ，
故选：C.
7．B
【分析】连接 ， ， ， ，由条件证明四边形 为矩形，利用勾股定理和
双曲线定义联立求出 的值，代入三角形面积公式即得.
【详解】由双曲线的对称性以及 ， 是双曲线上关于原点对称的两点可知， ， ，
答案第2页，共2页三点共线，
连接 ， ， ， ， ，则四边形 为矩形，
所以 ， ，
由双曲线 可得 ， ，
则 ，
所以 ，所以 ，
又 ，
所以 ，解得 ，
所以 .
故选：B.
8．C
【分析】根据几何图形中线段对应向量的线性关系，可得 ，
，又 且 且 ，可得 关于 的函数
式，由二次函数的性质即可求 的最小值.
【详解】在等腰△ 中， ，则 ，
∵ 分别是边 的点，
∴ ， ，而，
∴两边平方得：
，而 ，
∴ ，又 ，即 ，
∴当 时， 最小值为 ，即 的最小值为 .
故选：C
【点睛】关键点点睛：应用几何图形中线段所代表向量的线性关系求得 ，
结合已知条件转化为 关于 的二次函数，求最值.
9．AD
【分析】把抛物线化为标准形式 ，结合抛物线的几何性质，即可求解.
【详解】由题意，把抛物线 化为标准形式 ，
则抛物线的开口向上，且 ，所以焦点为 ，直线方程为 .
故选：AD.
10．ACD
【分析】A选项，利用三角恒等变换得到 ，故利用 求出最
小正周期；BC选项，代入 ，由函数值判断出 是 的一条对称轴；D选
答案第4页，共2页项，求出 ，数形结合得到 在区间 上单调递增.
【详解】A选项，
，
故 的最小正周期为 ，A正确；
B选项，当 时， ，
故 不是曲线 的一个对称中心，B错误；
C选项，当 时， ，故 是
的一条对称轴，也是 的一条对称轴，C正确；
D选项， 时， ，由于 在 上单调递增，
故 在区间 上单调递增，D正确.
故选：ACD
11．BCD
【分析】假设 ， ， ，求出 ， ， ，根据长度和三角形形状的
关系判断A选项，根据垂心的定义判断B选项，根据海伦公式求出 判断C选项，求出
和 、 、 的关系判断D选项.
【详解】假设 ， ， ，
所以 ， ， ，因为任何两边的平方和大于第三边的平方，
所以 是锐角三角形，故A选项错误；
由 两两垂直易证 平面 ，
所以 ，因为 ，
所以易证 平面 ，所以 ，
同理可得 ， ，
所以点 为 的垂心，故B选项正确；
设 的面积为 ，因为四面体体积为 ，
所以 ，等式两边平方可得 ，
由海伦公式可得 ，其中 ，
所以
，
所以代回可得 ，故C选项正确；
， ， ， ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
答案第6页，共2页因为 ， ， ，
所以 ，故D选项正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据海伦公式求出 判断C选项，求出 和 、 、
的关系判断D选项.
12．
【分析】由向量的数量积为0可得．
【详解】由 得 ， ．
故答案为： ．
13．51
【分析】根据题意，可知当 时， ，当 时，根据 求出
，再检验 ，从而得出通项公式 ，即可求出 的结果.
【详解】解：由题可知，当 时， ，
当 时， ，
可知 时上式成立，所以 ，
则 ， ， ，
所以 .
故答案为：51.
14．
【分析】根据椭圆的基本性质，和椭圆离心率的定义，利用向量共线，求出点的坐标，进
而求出离心率.【详解】设椭圆 的焦距为 ，设 ，所以
，因为 ，所以 ，即 ，即
，
因为点 在椭圆 上，所以 ，所以 ，所以 的离心率为 .
故答案为： .
15．
【分析】设出直线方程，由题意利用点到直线的距离公式即可求解.
【详解】设直线l的方程为y=kx．
由直线l与圆C相切．则 ，
整理为k2﹣8k+1=0．解得： ．
【点睛】本题考查了点斜式方程、直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式，属于基
础题.
16．（1）证明见解析；（2）证明见解析
【分析】（1）推导出OD∥AB，由此能证明AB∥平面BC D.
1 1 1
（2）推导出BD⊥AC，AA⊥BD，由此能证明BD⊥平面ACC A.
1 1 1
【详解】证明：（1）∵三棱柱ABC﹣ABC 的各个侧面均是边长为2的正方形，
1 1 1
O为BC 与BC的交点，
1 1
∴O是BC的中点，∵D为AC的中点.∴OD∥AB，
1 1
∵OD 平面BC D，AB⊄平面BC D，
1 1 1
⊂
答案第8页，共2页∴AB∥平面BC D.
1 1
（2）∵三棱柱ABC﹣ABC 的各个侧面均是边长为2的正方形，D为AC的中点.
1 1 1
∴BD⊥AC，AA⊥BD，
1
∵AC∩AA＝A，∴BD⊥平面ACC A.
1 1 1
【点睛】本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关
系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.
17．(1)
(2) ，
【分析】（1）由 求出 ，由正弦定理得到答案；
（2）由三角形面积公式得到方程，求出 ，由余弦定理得到 .
【详解】（1） ，且 ，
，
由正弦定理得 ，
又 ，
；
（2） ，
.
由余弦定理得： ，
.
18．（1） ；（2） 在 上单调递增；（3）
【分析】（1）易知 为奇函数，可得 ，代入解析式，可求出 的值；
（2）先判断 在 上的单调性，再结合 是定义在 的奇函数，可推出 在定义域上单调递增；
（3）根据 的奇偶性，可得 在 上恒成立，再
结合函数 的单调性，可知 在 上恒成立，进而令
，可得 ，从而不等式可转化为 在
上恒成立，进而分离参数可得 ，求出 的最大值，即可求出 的取值范
围.
【详解】（1）因为 的图象关于原点对称，所以 为奇函数，
所以 ，即 ，
解得 .
（2）易知 的定义域为 ，令 ，
因为函数 及 都在 上单调递增，所以 在 上单调递增，
根据复合函数的性质，可知 在 上单调递增，
又因为 是定义在 的奇函数，所以 在 上单调递增.
（3）由题意， 在 上恒成立，
等价于 在 上恒成立，
则 在 上恒成立.
令 ，显然 是增函数，则 .
，
答案第10页，共2页所以 在 上恒成立.
则 ，
令 ，则 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立.
所以
所以 ，即 ，
故 的取值范围为 .
【点睛】方法点睛：已知不等式恒成立求参数值（取值范围）问题常见的方法：
（1）函数法：讨论参数范围，借助函数的单调性求解；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画
出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
19．（1） ；（2） .
【分析】(1)由椭圆的定义及离心率的意义求出a，b即可得解；
(2)按直线l 的斜率是否存在及是否为0的三种情况讨论，分别求出AC，BD长，再建立起
1
S的函数关系，探讨其值域即可得解.
【详解】（1）由椭圆定义知2a=4，即a=2，又离心率 得半焦距 ，
，
所以椭圆 的标准方程为： ；（2）由(1)知点 ，
①当直线 的斜率为0时，直线 的方程为 ，则 ，直线 的方程为
，
则 与椭圆 的二交点坐标为 ， ，此时 ，可得
；
②当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ，则 与椭圆 的二交点坐标为
， ，此时 ，
直线 的方程为 ，则 ，可得 ；
③当直线 的斜率存在且不为0时，设直线 的斜率为 ，则直线 ，
由 得 ，
，设 ，则 ，
所以
，
同理可得 ，
所以
答案第12页，共2页．
由于 （当 时取等号）， ， ，
， ，所以 ，
综合①②③可知，四边形 面积的取值范围是 ．
【点睛】结论点睛：直线l：y=kx+b上两点A(x，y)，B(x，y)间的距离
1 1 2 2
；
直线l：x=my+t上两点A(x，y)，B(x，y)间的距离 .
1 1 2 2
